BĐT đã cho tương đương với $(\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c})+(\frac{b}{c}-\frac{b}{c+a})+(\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b})\geq \frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$

$\Leftrightarrow \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)}\geq \frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có 

$\left [ \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)} \right ]\left [ \frac{bc}{a(b+c)}+\frac{ca}{b(c+a)}+\frac{ab}{c(a+b)}\right ]\geq (\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c})^2$ 

(1)

Ta lại có 

$\left [ \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)} \right ]-\left [ \frac{bc}{a(b+c)}+\frac{ca}{b(c+a)}+\frac{ab}{c(a+b)}\right ]=\frac{1}{abc}\left [ \frac{a^2c^2}{a+c}+\frac{a^2b^2}{c+a}+\frac{c^2b^2}{a+b}-\frac{b^2c^2}{b+c}-\frac{c^2a^2}{c+a}-\frac{a^2b^2}{a+b} \right ]$ 

(2)

Do $a^2b^2, a^2c^2, c^2b^2$ và $\frac{1}{a+b}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{b+c}$ là 2 dãy đơn điệu ngược chiều nhau nên áp dụng BĐT hoán vị, ta có $\frac{b^2c^2}{b+c}+\frac{c^2a^2}{c+a}+\frac{a^2b^2}{a+b}\leq \frac{a^2c^2}{a+c}+\frac{a^2b^2}{c+a}+\frac{c^2b^2}{a+b}$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có ngay đpcm

BĐT hoán vị là BĐT gì vậy hả bạn?Chỉ cho mình với

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b}$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2+bc}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2+ca}{b^2+(c+a)^2}+\frac{c^2+ab}{c^2+(a+b)^2}\leq \frac{18(a^2+b^2+c^2)}{5(a+b+c)^2}$

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng 

$\sqrt{x+(y-z)^2}+\sqrt{y+(z-x)^2}+\sqrt{z+(x-y)^2}\geq \sqrt{3}$

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng $xy+yz+zx\geq 3+\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}$