Tính nguyên hàm của $\sqrt{x^2 + k}$

A. $\dfrac{1}{2}\sqrt{x^2 + k} +\dfrac{x}{2} ln \left | x + \sqrt{x^2 + k} \right | $

B. $\dfrac{x}{2} \sqrt{x^2 + k} + \dfrac{k}{2}ln \left | x + \sqrt{x^2 + k} \right | $

C. $\dfrac{k}{2} ln \left |  x + \sqrt{x^2 + k} \right | $

D. $\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + k}}$

Giải phương trình: $(2x - 1)\sqrt{2x + 1} = 8x^3 -52x^2 + 82x - 29$ với $x \ge 0$

Ta có $log_{x^2 - 2x + 5}{4}= 2log_{x^2 - 2x + 5}{2}= \dfrac{2}{log_{2}{x^2 - 2x + 5}}$

Bài toán đã cho chuyển thành: Tìm m để pt $x - \dfrac{2m}{x} = 5$ có nghiệm thuộc (2;3)

ĐK: $x \ge 2; y \ge 0$

 Xử lí pt (1) của hệ: 

$2\sqrt{x - 2}.\sqrt{y} \le \dfrac{4(x - 2) + y}{2}$ 

$2\sqrt{x}.\sqrt{y + 8} \le \dfrac{4x + y + 8}{2}$ 

=> $VT(1) \le y + 4x = VP(1)$ 

"=" xảy ra $\leftrightarrow y = 4x - 8$ 

Thay y = 4x - 8 vào pt(2) của hệ có: 

$(2) \leftrightarrow 4x^2 - 6x - 11 + \sqrt{3x + 4} + \sqrt{7 - 3x} = 0$ 

ĐK: $ 2 \le x \le \dfrac{7}{3}$

$PT(2) \leftrightarrow 4(x^2 - x - 3) - (x + 1 - \sqrt{3x + 4}) - (x  - 2 - \sqrt{7 - 3x}) = 0$ 

$\leftrightarrow (x^2 - x - 3)(4 - \dfrac{1}{x + 1 + \sqrt{3x + 4}} - \dfrac{1}{x - 2 + \sqrt{7 - 3x}}) = 0$ 

Ta có: $\dfrac{1}{x + 1 + \sqrt{3x + 4}} \ge \dfrac{1}{3 + \sqrt{10}}$ 

Đặt $h(x) = x - 2 + \sqrt{7 - 3x} \rightarrow h'(x) = 1 - \dfrac{3}{2\sqrt{7 - 3x}} = \dfrac{2\sqrt{7 - 3x} - 3}{2\sqrt{7 - 3x}} < 0$ với $x \ge 2$ 

=> h(x) nghịch biến trên $x = [2; \dfrac{7}{3}]$ 

=> $\dfrac{1}{x -2 + \sqrt{7 - 3x}} \le \dfrac{1}{h(\dfrac{7}{3})} = 3$ 

=> $4 - \dfrac{1}{x + 1 + \sqrt{3x + 4}} - \dfrac{1}{x - 2 + \sqrt{7 - 3x}} > 4 - \dfrac{1}{3 + \sqrt{10}} - 3 > 0$ 

=> (2) $\leftrightarrow x^2 - x - 3 = 0 ...$ 

2) $1 + 2\sqrt{x^2 - 9x + 18} = x + \sqrt{x^2 - 14x + 33}$ 

ĐKXĐ: $x \le 3$ hoặc $x \ge 11$ 

PT $\leftrightarrow 2(\sqrt{x^2 - 9x + 18} - x) = \sqrt{x^2 - 14x + 33} - (x + 1)$ 

$\leftrightarrow 2.\dfrac{-9(x - 2)}{\sqrt{x^2 - 9x + 18} + x} = \dfrac{-16(x - 2)}{\sqrt{x^2 - 14x + 33} + (x + 1)}$ 

*TH1: x = 2 

*TH2: $-18\sqrt{x^2 - 14x + 33} + 16\sqrt{x^2 - 9x + 18} = 2x + 18$ 

Kết hợp với pt đã cho ta có hệ tạm: 

$\left\{\begin{matrix} -18\sqrt{x^2-14x+33} + 16\sqrt{x^2 - 9x + 18} = 2x + 18 & & \\ \ \sqrt{x^2 - 14x + 33} - 2\sqrt{x^2 - 9x + 18} = 1 - x \end{matrix}\right.$

$\leftrightarrow \sqrt{x^2 - 14x + 33} = \dfrac{3x - 13}{5}$ 

$\leftrightarrow x = \dfrac{17 + 5\sqrt{5}}{2}$ 

Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất :

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2 + 2013} + \left | y + 1 \right| = m & \\ \left | x \right |\sqrt{y^2 + 2y + 2013} = \sqrt{2013 - x^2} - m \end{matrix}\right.$

Bài 1: Giải pt: 

1) $(x^3 + 2)^3 + 2x^5 + 4x^2 = 33x^3$ 

2) $(x^3 - 1)^3 - 16x = 8$ 

3) $(2x^2 - x - 4)^2 + 2x = 8$ 

Bài 2: Giải pt: 

1) $(x^3 - 2x - 1)^3 - 1 = 3x$

2) $(\dfrac{x^3 - 3x^2 + 3x - 3}{3})^3 + 1 = 3x$ 

 

1. Cho $a,b,c >0 $ thỏa mãn $21ab+2bc+8ac \le 12$

Tìm GTNN của BT : $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$

 

VNTST 2001, bài này hay 

Đặt $\dfrac{1}{a} = x; \dfrac{2}{b} = y; \dfrac{3}{c} = z$ 

Bài toán trở thành cho x;y;z > 0 thỏa $\dfrac{7}{xy} + \dfrac{2}{yz} + \dfrac{4}{xz} \le 2$. Tìm Min $P = x + y + z$ 

Có : $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{5/2} + \dfrac{15/2}{xy} \ge 3$ (1) 

$\dfrac{y}{5/2} + \dfrac{z}{2} + \dfrac{5}{yz} \ge 3 (2)$ 

$\dfrac{z}{2} + \dfrac{x}{3} + \dfrac{6}{xz} \ge 3 (3)$ 

$\rightarrow \dfrac{14}{15}. VT(1) + \dfrac{2}{5}.VT(2) + \dfrac{2}{3}.VT(3) \ge 3(\dfrac{14}{15} + \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{3})$ 

$\rightarrow \dfrac{8}{15}.P + (\dfrac{7}{xy} + \dfrac{2}{yz} + \dfrac{4}{xz}) \ge 6$ 

$\rightarrow P \ge \dfrac{15}{2}$ 

"=" $\leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}; y = \dfrac{4}{5}; z = \dfrac{3}{2}$ 

 Bài 1: Cho các số nguyên m,n,p,q thỏa mãn |pm - qn| = 1. CMR: với mọi cặp số nguyên (a;b) ta đều có (ma + nb,pa + qb) = (a,b)