Cám ơn Trung, Tuấn và Dũng đã đóng góp các lời giải hay, bài 2 cũng rất thú vị mọi người hãy quan tâm !

Bài 1 là mở rộng đề thi IGO 2017 khi MN=BC/2 ta có bài IGO 2017 !

Các bạn có thể xem chi tiết thêm hai bài hình học ở đây

http://analgeomatica...-hoc-trong.html

QH.

Lời giải bài 1 của em khác đáp án hoàn toàn, có nhiều ý hay!

Bài 2 nếu có lời giải không nghịch đảo là hay nhất

Lời giải của Tuấn cho bài ngày 2 rất tốt, đúng hướng đáp án, câu b) cũng là 1 ý dùng hàng điều hòa thú vị.

Câu hình ngày 1 là bài cũng có giá trị, phát biểu cần 2 ý liên kết, đặc trưng cho phương pháp hàng điểm điều hòa. Chúng ta hãy thử tìm một lời giải không dùng pp hàng điều hòa cho bài đó ?

2 ngày thi kết thúc thành công, các bài trong đề thi hợp lý, hay và đẹp. Bài hình ngày 2 là một kết quả có giá trị, có thể viết gọn lại đề như sau

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có tâm nội tiếp $I$. $AI$ cắt $(O)$ tại $K$ khác $A$. $P$ là điểm sao cho $KP=KI$. $KP$ cắt $BC$ tại $L$. $AL,AP$ cắt $(O)$ tại $E,F$ khác $A$. $EK$ cắt $BC$ tại $T$. Chứng minh rằng $KF$ chia đôi $PT$.

Lời giải bài 2 của Tuấn hay, khác hẳn đáp án , hãy đón đọc cuối tuần này nhé.

Mình tạo ra bài 1 từ bài vô địch Nga năm 2017, các bạn có thể xem bài toán đó ở đây

https://artofproblem...c6t48f6h1439916

Ý tưởng định lý con bướm là chuẩn rồi, nhưng vẫn có cách khác !

Nghịch đảo là cách mình tạo ra bài toán 1, chú ý rằng trong lời giải của Đồng thì $(O)$ tiếp xúc $(TGH)$ đơn giản vì $M$ là tâm bàng tiếp của $TGH$ khi đó $(O)$ là đường tròn mixtilinear ngoại của tam giác $TGH$.

Chú ý bài toán 2 sẽ đúng với $P$ bất kỳ trên phân giác góc $\angle BAC$ như sau

Cho tam giác $ABC$ tâm ngoại tiếp $O$. $P$ nằm trong tam giác sao cho $\angle PAB=\angle PAC$. $PO$ cắt $(PAB)$ tại $D$ khác $A$. $J$ thuộc $(PAB)$ sao cho $PJ\perp BD$. Chứng minh rằng đối xứng của $J$ qua $OP$ nằm trên $(PAC)$.

Cách giải của Hoàng vẫn hiệu lực trong bài toán này.

THCS không nên dùng hàng điều hòa, sau đây là đáp án

Giải bài 51. Gọi $CV$ là đường kính của $(L)$. $U$ thuộc $CV$ sao cho $MU\parallel DL$. Gọi $DP$ cắt $QR$ tại $X$ thì $P$ là trung điểm $DX$. Ta có $\frac{VL}{UL}=\frac{CL}{UL}=\frac{CD}{MD}=\frac{QV}{MD}=\frac{PV}{PD}=\frac{VP}{PX}$ do đó $XU\parallel PL\parallel QR$ nên $U$ thuộc $QR$. Từ đó $\angle AUM=\angle AQD=\angle ACD$ do đó tứ giác $AUCM$ nội tiếp. Dễ thấy tam giác $UMC$ cân do tam giác $LDC$ cân nên $AX$ là phân giác ngoài $\angle MAC$. Tương tự $AX$ cũng là phân giác ngoài $\angle NAB$ nên $\angle MAN=\angle BAC$.

Rất cám ơn các em đã đóng góp nhiệt tình cho topic với đặc biệt là nhiều đề hình hay của THPT chuyên KHTN. Vừa qua mình bị một số việc quan trọng phải xử lý nên không thường xuyên qua được. Giờ mọi việc tạm ổn, mình sẽ cố gắng quay lại thường xuyên hơn. Xin đóng góp một bài hình khá mới cho THCS của mình

Bài toán 51. Cho tam giác $ABC$ có $D$ nằm trên đoạn $BC$. $(K),(L)$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ADB,ADC$. $DR,DQ$ là đường kính của $(K),(L)$. $P$ thuộc đoạn $KL$ sao cho $DP\perp BC$. $QP,RP$ lần lượt cắt $BC$ tại $M,N$. Chứng minh rằng $\angle MAN=\angle BAC$.

Bài 1 có thể coi là mở rộng của EGMO 2017 P1

https://artofproblem...36082_2017_egmo

Một cách phát biểu khác của bài toán hình và các lời giải khác có thể xem tại đây

https://artofproblem...c6t48f6h1429562

Đúng vậy thầy chế ra bài này từ bài của Tuấn!

Đúng đây cũng là cách đáp án, thầy chế ra từ ý b) bài 4 TST năm 2017 vừa rồi , thực ra nó là 1 cách tổng quát ý b) đó!

Bài toán 171 (Kiểm tra dự tuyển 10 THPT chuyên KHTN). Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ và trực tâm $H$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt $(O)$ tại $G$ khác $A$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $GA$ cắt $OB,OC$ lần lượt tại $M,N$. $AH$ cắt $OB,OC$ theo thứ tự tại $P,Q$. $MQ$ cắt $NP$ tại $R$. Chứng minh rằng $AR$ song song đường thẳng Euler của tam giác $ABC$.

Chính xác hơn là bài Oympic chuyên KHTN 2014 câu V

http://diendantoanho...uyên-khtn-2014/

Lời giải bài toán 165. Giả sử $\frac{AP}{AQ}=\frac{BP}{BQ}$. Gọi phân giác $\angle BAC$ cắt $PQ$ tại $I$ do thì $\frac{IP}{IQ}=\frac{AP}{AQ}=\frac{BP}{BQ}$ nên $BI$ là phân giác $\angle ABC$. Từ đó $I$ là tâm nội tiếp và $CI$ là phân giác $\angle ACB$ đồng thời cũng là phân giác $\angle PCQ$ nên $\frac{CP}{CQ}=\frac{IP}{IQ}=\frac{AP}{AQ}=\frac{BP}{BQ}$, ta hoàn thành chứng minh.

Em đã viết ra và gửi thầy qua mail. Nhận xét của em đúng và lời giải thầy cần bổ sung thêm một đoạn cuối, cám ơn em. Thầy viết cẩn thận như sau

Lời giải bài toán 165. Khi $P=Q$ thì ta có kết luận hiển nhiên đúng.

Khi $P\not=Q$. Giả sử $\frac{AP}{AQ}=\frac{BP}{BQ}$. Gọi phân giác $\angle BAC$ cắt $PQ$ tại $I$ do thì $\frac{IP}{IQ}=\frac{AP}{AQ}=\frac{BP}{BQ}$ nên $BI$ là phân giác $\angle ABC$. Từ đó $I$ là tâm nội tiếp và $CI$ là phân giác $\angle ACB$ đồng thời cũng là phân giác $\angle PCQ$ nên $\frac{CP}{CQ}=\frac{IP}{IQ}=\frac{AP}{AQ}=\frac{BP}{BQ}$. Từ đó $(ABC)$ là đường tròn Apollonius của đoạn $PQ$ như vậy $I$ cũng nằm trên $(ABC)$ điều này vô lý.

Em viết rõ chỗ "kết hợp định lý Ceva dạng lượng giác suy ra "... thầy nghĩ chỗ đó có vấn đề.

Lời giải bài toán 165. Giả sử $\frac{AP}{AQ}=\frac{BP}{BQ}$. Gọi phân giác $\angle BAC$ cắt $PQ$ tại $I$ do thì $\frac{IP}{IQ}=\frac{AP}{AQ}=\frac{BP}{BQ}$ nên $BI$ là phân giác $\angle ABC$. Từ đó $I$ là tâm nội tiếp và $CI$ là phân giác $\angle ACB$ đồng thời cũng là phân giác $\angle PCQ$ nên $\frac{CP}{CQ}=\frac{IP}{IQ}=\frac{AP}{AQ}=\frac{BP}{BQ}$, ta hoàn thành chứng minh.

Mình có đôi lời. Vì sắp tới công việc của mình có nhiều biến chuyển nên mình chưa thể tập trung duy trì topic này liên tục đươc. Vậy mong những bạn yêu hình học có tâm huyết hãy đề nghị các bài toán hay có chất lượng để topic vẫn là sân chơi cho những bạn yêu thích hình học.

Lời giải bài toán 164. Gọi $AD$ là đường kính của $(O)$ ngoại tiếp $ABC$ thì $D,H$ đối xứng qua $K$. Từ đó gọi $P,Q$ là hình chiếu của $I$ lên $CA,AB$ và $R,S$ là hình chiếu của $H$ lên $CA,AB$ thì $AR=AB=c,AS=AC=b,AP=AQ=p-a,AF=p-b, AE=p-c$. Từ đó sử dụng tích vô hướng 2 vector.

$$\vec{IH}.\vec{EF}=\vec{IH}(\vec{AF}-\vec{AE})=QS.AF-PR.AE=(p-b)(c-(p-a))-(p-c)(b-(p-a))=0.$$

Nhận xét. Bài này có lẽ thu được từ bài quen thuộc từ việc lấy đối xứng trục.

Bài toán 165 (Crux). Cho tam giác $ABC$ có $P,Q$ là hai điểm đẳng giác. Giả sử hai trong ba tỷ số $\frac{AP}{AQ},\frac{BP}{BQ},\frac{CP}{CQ}$ bằng nhau. Chứng minh rằng cả ba tỷ số bằng nhau.

Cám ơn Hiếu, đúng là phần quan trọng nhất của bài toán này là từ bổ đề 2. Tuy nhiên việc phát biểu bài toán là từ một bài Iran trên AoPS, trong đó cũng có lời giải của Bảo. Em hãy đề nghị tiếp một bài toán cho topic được duy trì.