Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a^3+8b^3+27c^3-18abc-1=0$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$$P=a^2+4b^2+9c^2$$

P/s.Không biết có cần điều kiện $a,b,c$ không âm không nhỉ

Cho các số $a,b,c$ thuộc $[0,\frac{1}{2}]$ thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh rằng

$$a^3+b^3+c^3+4abc\leq\frac{9}{32}$$

Toc Ngan : Topic bị khóa do đặt sai tiêu đề

BÀI 63

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn$1\leq a,b,c \leq 4$ và $a+b+2c=8$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$$P=a^3+b^3+5c^3$$

1. Cho x,y,z thuộc đoạn [ 0;2] và x+y+z=3.

Tìm min và max của P= $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx$

 

2. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P = $\frac{x^{2}}{x+y^{2}} + \frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$

 

3. Cho x,y,z>0 thỏa x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) $\leq$6

Tìm min P = $\frac{1}{x+y+1} + \frac{1}{y+z+1} + \frac{1}{z+x+1}$

 

4. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P= $\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^{3}}+4x-2)}+ \frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^{3}}+4y-2)} + \frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^{3}}+4z-2)}$

Bài 4

Ta có $2\sqrt{1+8x^3}=2\sqrt{(1+2x)(1-2x+4x^2)}\leq\sqrt{\dfrac{(2+4x^2)^2}{4}}=2+4x^2$

Tương tự với các biểu thức còn lại ta có

$P\geq\frac{x}{xy+y^3}+\frac{y}{yz+z^3}+\frac{z}{zx+x^3}$

 $=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-(\frac{x}{x^2+z}+\frac{y}{y^2+x}+\frac{z}{z^2+x})$

$\geq(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-\frac{1}{2}(\frac{x}{x\sqrt{z}}+\frac{y}{y\sqrt{x}}+\frac{z}{z\sqrt{y}})$

$=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}})$

$\geq\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}})-3$

$\geq\frac{27}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}})-3\geq\frac{27}{2\sqrt{3(x+y+z)}}-3=\frac{3}{2}$

1. Cho x,y,z thuộc đoạn [ 0;2] và x+y+z=3.

Tìm min và max của P= $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx$

 

2. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P = $\frac{x^{2}}{x+y^{2}} + \frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$

 

3. Cho x,y,z>0 thỏa x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) $\leq$6

Tìm min P = $\frac{1}{x+y+1} + \frac{1}{y+z+1} + \frac{1}{z+x+1}$

 

4. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P= $\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^{3}}+4x-2)}+ \frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^{3}}+4y-2)} + \frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^{3}}+4z-2)}$

Bài 2

$P=x+y+z-[\dfrac{xy^2}{x+y^2}+\dfrac{yz^2}{y+z^2}+\dfrac{zx^2}{z+x^2}]\geq x+y+z-\dfrac{1}{2}(\sqrt{x}y+\sqrt{y}z+\sqrt{z}x)$

$\geq x+y+z-\dfrac{1}{2}\sqrt{(xy+yz+zx)(x+y+z)}\geq x+y+z-\dfrac{1}{2}\sqrt{\frac{(x+y+z)^3}{3}}=\dfrac{3}{2}$

1. Cho x,y,z thuộc đoạn [ 0;2] và x+y+z=3.

Tìm min và max của P= $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx$

 

2. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P = $\frac{x^{2}}{x+y^{2}} + \frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$

 

3. Cho x,y,z>0 thỏa x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) $\leq$6

Tìm min P = $\frac{1}{x+y+1} + \frac{1}{y+z+1} + \frac{1}{z+x+1}$

 

4. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P= $\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^{3}}+4x-2)}+ \frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^{3}}+4y-2)} + \frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^{3}}+4z-2)}$

Bài 3

Ta có $\dfrac{(x+y+z)^2}{3} \leq x^2+y^2+z^2 \leq x+y+z+6$

Suy ra $x+y+z\leq6$

$$P\geq\dfrac{9}{2(x+y+z)+3}\geq\dfrac{3}{5}$$

Bài 23. Cho $a,\,b,\,c\geq0$ và $a+b+c=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+3\left(ab+bc+ca\right)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

$P\geq(ab+bc+ca)^2+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{1-2(ab+bc+ca)}=t^2+3t+2\sqrt{1-2t}=f(t) $ Với $t=ab+bc+ca$

Từ điều kiện bài toán suy ra $t$ thuộc đoạn $[0;\dfrac{1}{3}]$

Ta có $f'(t)=2t+3-\dfrac{2}{\sqrt{1-2t}}=g(t)$

$g'(t)=2+\dfrac{2}{(1-2t)\sqrt{1-2t}}>0$, suy ra hàm $g(t) $ đòng biến nên$g(t)\geq g(0)=1>0$

Suy ra $f(t) $.đồng biến $f_{min}=2 $khi$t=0$

Vậy $P_{min}=2$ khi $(a,b,c)=(0,0,1) $và các hoán vị

Bài 22. Cho $a,\,b,\,c>0$ và $a+b+c=3.$ Tìm giá trị lớn nhất của: $$P=\dfrac{2}{3+ab+bc+ca}+\dfrac{\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}$$

$$P\leq\dfrac{2}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+3}+\dfrac{\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}$$

Đặt $t=\sqrt[3]{abc}$, suy ra $0 < t\leq1$

Khi đó Xét hàm số $f(t)=\dfrac{2}{3+3t^2}+\dfrac{t}{t+1}$ với  $0 < t\leq1$

$f'(t)=0$ khi$ t=\dfrac{\sqrt{7}+1-\sqrt{2\sqrt{7}-1}}{3}$

Lập bảng biến thiên ta được $P_{max}=\dfrac{6}{(\sqrt{7}+1-\sqrt{2\sqrt{7}-1})^2+9}+\dfrac{\sqrt{7}+1-\sqrt{2\sqrt{7}-1}}{\sqrt{7}+4-\sqrt{2\sqrt{7}-1}}$

Bài 26 : Giải hệ phương trình sau 

                  $\left\{\begin{matrix} 2x^3+xy^2+x-2y=4\\2x^2+xy+2y^2+2y=4 \end{matrix}\right.$

Nhân PT1 với 2, PT2 với x, rồi trừ theo vế 2PT trên ta được  

$(x^2+2x+4)(2x-y-2)=0$

Cho $a,b,c>0$Chứng minh rằng

$$P=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a^2}}\leq\frac{3}{\sqrt{2}}$$

Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng

$$ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq4$$

Đây là BĐT hoán vị nên không thể giả sử $a\geq b\geq c$

Cho mình hỏi, bất đẳng thức có dạng như thế nào thì là các biến hoán vị, hoán vị với đối xứng khác nhau như thế nào????

Cho a,b,c là các số dương, chứng minh rằng

$$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq\frac{3}{\sqrt{2}}$$

Mình làm thế này không biết có ổn không, mong mọi người xem giúp

Giả sử $a\geq b\geq c$

Ta có $\sqrt{2}VT=\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b(a+b)}{(a+b)(b+c)}}+\sqrt{\frac{c2(b+c)}{(b+c)(c+a)}}$

                            $\leq\frac{1}{2}(1+\frac{2a}{a+b}+ \frac{2b}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{2(b+c)}{c+a)}  $

                             $=2+\frac{b+c}{c+a}$

Ta cần chứng minh $\frac{b+c}{c+a}\leq1$<=>$b\leq a$ 

Từ đó suy ra điều phải chứng minh , dấu = xảy ra khi $a=b=c$

Cho a,b là các số thực lớn hơn 1 thì ta có bất đẳng thức

$$\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}\geq\frac{2}{\sqrt{ab}-1}$$ 

Chứng minh

BĐT trên tương với$(a+b-2)(\sqrt{ab}-1)\geq2(ab-a-b+1)$

               <=>$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(\sqrt{ab+1})\geq0$ (với mọi $a,b>1$)

bài 31: Giải HPT $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=3-xy & \\ \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}=7-\frac{x^{2}y^{2}+2}{xy} & \end{matrix}\right.$

Đề thi thử lần 1 chuyên Lam Sơn Thanh Hoá 2012-2013

bài 32: $\left\{\begin{matrix}x+y^{2}-y\sqrt{x+3y^{2}}=0 & \\ 2y^{2}-3y-x+1+\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}+1}{21}}=0 & \end{matrix}\right.$

(Đề thi thử lần 2 chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An)

bài 33: $\left\{\begin{matrix}x^{4}-2x=y^{4}-y & \\ (x^{2}-y^{2})^{3}=3 & \end{matrix}\right.$

(Đề thi thử lần 1 chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)

bài 34: $\left\{\begin{matrix}4x^{2}y+y^{2}+2=7xy & \\ 2x^{2}+2y^{2}+3y^{3}=6xy^{2} & \end{matrix}\right.$

(Đề thi thử lần 2 chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)

mod: bạn nhớ ghi rõ số bài nhé

 

Bài 32

Phương trình 1 của hệ tương đương với

$(x+3y^2)-y\sqrt{x+3y^2}-2y^2=0$

<=>  $\sqrt{x+3y^2}=-y hoặc \sqrt{x+3y^2}=2y$

*TH1: $\sqrt{x+3y^2}=2y$ <=>$x=y^2(với y\geq0)$ thế vào PT 2 ta được

$y^2-3y+1+\sqrt{\frac{y^4+y^2+1}{21}}=0$

suy ra $10y^4-6y^3+115y^2-63y+10=0$(*)

xét $y=0$(loại),ta chia cả hai vế của PT(*) cho $y^2$ ta đượcPT

$10t^2-63t+95=0$  (với $t=y+\frac{1}{y}$)

Giải PT trên ta sẽ tìm đk nghiệm

*TH2$ \sqrt{x+3y^2}=-y$<=>$x=-2y^2$  (với$y\leq0$)

thế vào PT2 ta đượcPT$4y^2-3y+1+\sqrt{\frac{4y^4+y^2+1}{21}}=0$ (PT vô nghiệm với $y\leq0$)

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b=c=3$,chứng minh bất đẳng thức sau

$$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}\geq3$$

Cho a,b,c là các số thực dương ,chứng minh rằng

$$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$$

Giải PT

$$\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2+4x+3}=\sqrt{(x+2)^3}$$

Đk$x\geq1$

Bình phương 2 vế ta được Phương trình

$$x^3+5x^2+7x+4=2\sqrt{(x+1)^2(x+3)}$$

<=> $$(x^3+5x^2+7x+3)-2\sqrt{x^3+5x^2+7x+3}+1=0$$

<=>$$\sqrt{x^3+5x^2+7x+3}=1$$

<=>$$(x+2)(x^2+3x+1)=0$$

<=>$x=-2(loại),x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2} (loại) ;x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$$

Vậy PT có nghiệm là$x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$

Giải PT

$$\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2+4x+3}=\sqrt{(x+2)^3}$$

Cho $a,b,c\geq1$.Chứng minh bất đẳng thức sau

$$a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)+2(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2})\geq9$$

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng

$$\frac{1}{a^2+abc}+\frac{1}{b^2+abc}+\frac{1}{c^2+abc}\geq\frac{3}{2}$$

Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng

$$\frac{a}{b^3+16}+\frac{b}{c^3+16}+\frac{c}{a^3+16}\geq\frac{1}{6}$$

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a+b+c=3$, chứng minh rằng 

$$\frac{a^2b}{2a+b}+\frac{b^2c}{2b+c}+\frac{c^2a}{2c+a}\leq\frac{3}{2}$$

Cho a, b , c dương thỏa a+ b+c=3abc .CM:$\frac{1}{a^5}+\frac{1}{b^5}+\frac{1}{c^5}\geq 3$

Cho x$\geq$ 0 , y$\geq$0 thỏa $2\sqrt{x}-\sqrt{y}=1 .CM: x+y\geq \frac{1}{5}$.CMR:

Bài đầu

Ta có $$\frac{1}{a^5}+\frac{1}{b^5}+1+1+1\geq\frac{5}{ab}$$

Tương tự suy ra $2VT\geq5(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})-9=15-9=6$

suy ra điều phải chứng minh, dấu= xảy ra khi $a=b=c=1$

Cho a, b , c dương thỏa a+ b+c=3abc .CM:$\frac{1}{a^5}+\frac{1}{b^5}+\frac{1}{c^5}\geq 3$

Cho x$\geq$ 0 , y$\geq$0 thỏa $2\sqrt{x}-\sqrt{y}=1 .CM: x+y\geq \frac{1}{5}$.CMR:

Mình làm bài thứ 2

Ta có$x+y-\frac{1}{5}=x+(2\sqrt{x}-1)^2=5(\sqrt{x}-\frac{2}{5})^2\geq0$

Từ đó suy ra điều phải chứng minh