BT áp dụng.
Bài 1. Cho $a,b\in R,ab \geq 1$.CM $a^{2}+b^{2} \geq a+b$
 

Ta cần CM:

$\left ( a+b \right )^2 \leq 2\left ( a^2+b^2 \right )\leq \left ( a^2+b^2 \right )^2$

BĐT: $\left ( a+b \right )^2 \leq 2\left ( a^2+b^2 \right )$ thì dễ r

CM $2\left ( a^2+b^2 \right )\leq \left ( a^2+b^2 \right )^2$

$\Leftrightarrow$ $a^4+2a^2b^2+b^4 - 2a^2 -2b^2 \geq 0$

$\Leftrightarrow (a^4-2a^2b^2+b^4)+4a^2b^2-2a^2-2b^2\geq 0$

$\Leftrightarrow (a^2-b^2)^2-2(a^2+b^2)+4a^2b^2\geq (a^2-b^2)^2-2(a^2+b^2)+4ab\geq 0$ ( dễ chứng minh $4a^2b^2\geq 4ab$)

$\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)^2-2(a^2-2ab+b^2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2[(a+b)^2-2]\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+b^2+2ab-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a^2+b^2+2ab-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow 2ab-2\geq 0$

$\Leftrightarrow ab-1\geq 0$ ( luôn đúng theo GT)

Dấu"=" xảy ra khi a=b=1