a, Ta chứng minh số đối của số thực $^t(AX)BX\in\mathbb{R} $ bằng chính nó.

Ta có $^t(AX)BX=^t(^t(AX)BX)=^tX^tBAX=^tXBAX=^tXABX=-^tX^tABX=-^t(AX)BX$

Do đó: $^t(AX)BX=0$

Theo mình nghĩ nó chỉ đảm bảo tính liên tục trong $[0,1]$ thôi, không nhất thiết cần phải khả vi. Thường người ta ký hiệu $C^k$ là lớp các hàm khả vi và liên tục $k$ lần, còn để chỉ vô hạn lần thì người ta dùng kí hiệu $C^\infty$

Bạn xem thêm ở đây nhé: https://en.wikipedia...wiki/Smoothness

Hàm f thuộc [0;1], liên tục và khả vi 1 lần (có đạo hàm bậc nhất f' và f'' cũng liên tục trong [0,1]) bạn nhé.

Mình có một số bài toán tổng tổ hợp dưới đây, nhờ các bạn làm giúp. Mình xin cám ơn.

Chứng minh các hệ thức sau:

1/ $(C_{n}^{0})^{2}+(C_{n}^{1})^{2}+(C_{n}^{2})^{2}+...+(C_{n}^{n})^{2}=C_{2n}^{n}$

2/ $C_{m}^{k}C_{n}^{0}+C_{m}^{k-1}C_{n}^{1}+C_{m}^{k-2}C_{n}^{2}+...+C_{m}^{0}C_{n}^{k}=C_{m+n}^k, 0\leq k\leq m,n$

3/ $\sum_{j=0}^{m}C_{m}^{j}C_{n-j}^{k}=\sum_{i=0}^{m}C_{m}^{i}C_{n-m}^{k-i}.2^{m-i}$

Cám ơn bạn. Mình đã down được quyển đầu tiên rồi

- Giải giúp mình bài này với ạ

 

$\dpi{300} \bg_white \large \left\{\begin{matrix} xy-\sqrt{xy}=6 & & \\ \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4 & & \end{matrix}\right.$

Anh cho hướng rồi em tự làm nhé.

Đặt $P=\sqrt{xy}, P\geq 0$, từ pt thứ nhất suy ra: $P^2-P-6=0$, giải ra $P$ rồi lấy nghiệm dương.

Bình phương hai vế của pt thứ 2, đặt $S=x+y$, thay $P^2=xy$ vừa tìm được ở trên vào hệ thức khai triển. Giải phương trình căn có ẩn là $S$.

Có $S$, $P^2$ sẽ suy ra $x, y$

Giải HPT : 
$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=6+xy& & \\ x^{2}+y^{2}+x+y=5 \end{matrix}\right.$
 

Hệ đối xứng loại I. Đặt $S=x+y$ và $P=xy$, giải hệ của $S$ và $P$ ra thôi.

Mình đóng góp chút ít. Giải các hệ phương trình sau (đối xứng loại II):

1/ $\left\{\begin{matrix} x^2=4x+3y\\ y^2=4y+3x \end{matrix}\right.$

2/ $\left\{\begin{matrix} x^2=y^3-4y^2+8y\\ y^2=x^3-4x^2+8x \end{matrix}\right.$

3/ $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-1}+\sqrt{6-y}=3\\ \sqrt{y-1}+\sqrt{6-x}=3\end{matrix}\right.$

4/ $\left\{\begin{matrix} x^3+1=2\sqrt[3]{2y-1}\\ y^3+1=2\sqrt[3]{2x-1} \end{matrix}\right.$

5/$\left\{\begin{matrix} 2x^2+1=3\sqrt{\frac{3y-1}{2}}\\ 2y^2+1=3\sqrt{\frac{3x-1}{2}} \end{matrix}\right.$

Tìm $a$ để hai phương trình sau đây tương đương

$\sin 3x=a\sin x+(4-2\left | a \right |)\sin^{2}x$

$\sin 3x+\cos 2x=1+2\sin x .\cos 2x$

Em cần tìm sách về độ đo và tích phân $Lebesgue$. Anh/chị/bạn nào trong diễn đàn có quyển/link nào hay thì giới thiệu giúp mình nhé.

Olympic môn gì vậy? Mình chỉ có olp toán cơ thôi.

Chứng minh rằng

$\sin(\frac{\pi}{25})+\sin(\frac{2\pi}{25})+...+\sin(\frac{24\pi}{25})=\cot(\frac{\pi}{50})$

 

B1: Xét tính tăng, giảm của dãy: $u_{n} = \frac{\sqrt{n+1}}{2^{n}}$

B2: Cho dãy số ($s_{n}$) với 

$$s_{n}=sin(4n-1)\frac{\Pi }{6}$$

Chứng minh rằng $s_{n} = s_{n+3}  \forall n\geqslant 1$

 

Bài 1:

Xét tỉ số: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}=\frac{1}{2}.$ $\sqrt{1+\frac{1}{n+1}}<1

$

Do đó dãy số giảm.

Bài 2

Có:  $s_{n+3}=\sin{(4(n+3)-1)\frac{\Pi }{6}}=\sin{(4n-1+12)\frac{\Pi }{6}}=\sin{[(4n-1)\frac{\Pi }{6}+2\Pi]}=\sin{[(4n-1)\frac{\Pi }{6}]}=s_n$

Bài 3 hơi dài, có thời gian mình sẽ post sau.

//Dear Mod

LaTeX của diễn đàn đang có vấn đề, mình đã thử vài lần mà không hiển thị được công thức hoàn toàn nên nếu được bạn chinh lại giúp mình với. Cám ơn bạn nhiều!

Từ sáng nay mình không gõ được $LaTeX$ bằng trình soạn thảo (nút $fx$), khi ấn vào nó hiện ra một khung trắng trơn. Còn gõ code trực tiếp vào khung trả lời thì biểu thức vẫn hiện ra. Mong Ban Quản Trị sớm sửa.

1/ Cho $\log_{6} {10} =a$ và $\log_{12} {45} = b$. Tính $\log_{30}{54}$ theo $a$ và $b$

2/ Cho $\log_{56} {18} =a$ và $\log_{36} {48} = b$. Tính $\log_{21}{6}$ theo $a$ và $b$

Theo giả thiết, $A^3=0$, nên: $I^3-A^3=I^3-0=I^3=I$, với $I$ là ma trận đơn vị cùng cấp với $A$ (mình ngại viết $I_n$)

Câu A đúng. Tập sinh phải có tối thiểu 3 véc tơ.

A đúng nên B sai.

C sai: Tập có 2 véc-tơ không cùng phương là độc lập tuyến tính.

D sai: Hệ quả của B (hoặc C) sai.

Với các ma trận vuông đó em cộng đại số và giải như giải hệ phương trình được. Cách làm của bạn nữ là đúng rồi.

$Pe Rika$ lần sau đánh công thức nhớ sử dụng trình soạn Latex $fx$ cho mọi người dễ nhìn nhé!

Kí hiệu $det$ là $\left | \right |$.

$|A|=2$, $|B|=-3$

$|4A^2B^2|=4^n.|A|^2.|B|^2=4^n.4.9=4^n.36$

Ở đây $n$ là cấp của các ma trận $A, B$. Nếu đề bài nêu rõ cấp của các ma trận đã cho thì tính được cụ thể.

Ma trận vuông $A$ là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông $B$ cùng cấp sao cho: $AB=BA=I$

Ở trên ta chỉ ra điều đó.

1/ Đúng.

2/ Để M là tập sinh của V thì điều kiện cần là $m\geq \dim V=n$, đủ là $r=n$

    M là cơ sở thì điều kiện cần là $m=n$, đủ là $r=n=m$

$1+i=\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$

$z=e^{i\varphi}\rightarrow \bar{z}=e^{-i\varphi}$

$\left |(1+i)^{10}\bar{z}^{10} \right |=\left |(\sqrt2)^{10}e^{10\frac{i\pi}{4}}.e^{-10i\varphi} \right |=2^5$

Kí hiệu $\left | \right |$ chỉ Modul

Bài 3 dùng phép thế Euler, lúc chiều trao đổi với Nhân anh nhầm.

Vì: $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$

Đặt: $\sqrt{x^2+3x+2}=t(x+1)\Rightarrow (x+1)(x+2)=t^2(x+1)^2$

$\rightarrow t^2=\frac{x+2}{x+1}\rightarrow x=\frac{2-t^2}{t^2-1}$

$\sqrt{x^2+3x+2}=t(x+1)=t\left (\frac{2-t^2}{t^2-1}+1 \right )=\frac{t}{t^2-1}$

$\frac{x-\sqrt{x^2+3x+2}}{x+\sqrt{x^2+3x+2}}=\frac{\frac{2-t^2}{t^2-1}-\frac{t}{t^2-1}}{\frac{2-t^2}{t^2-1}+\frac{t}{t^2-1}}=\frac{2-t^2-t}{2-t^2+t}$

$dx=\frac{-2tdt}{(t^2-1)^2}$

$\int \frac{x-\sqrt{x^2+3x+2}}{x+\sqrt{x^2+3x+2}}dx=\int -\frac{(t-1)(t+2)}{(t+1)(t-2)}.\frac{2t}{(t-1)^2(t+1)^2}dt$

$=\int -\frac{2t(t+2)}{(t-2)(t+1)^3(t-1)}$

Để gọn đặt $u=t+1$

$\int -\frac{2t(t+2)}{(t-2)(t+1)^3(t-1)}dt=2 \int -\frac{(u-1)(u+1)}{u^3(u-3)(u-2)}du$

Đến đây thì tách thôi:

$-\frac{(u-1)(u+1)}{u^3(u-3)(u-2)}=\frac{1}{6u^3}+\frac{5}{36u^2}-\frac{17}{216u}+\frac{3}{8(u-2)}-\frac{8}{27(u-3)}$

Bạn xem bổ đề 3.6 trong file đính kèm này nhé:

a, $\lambda=0$ giải dễ dàng.

b, Biến đổi ma trận mở rộng:

$\begin{bmatrix} 1 &2 &\lambda &| &-1 \\ 2&7 & 2\lambda+1 & | &2 \\ 3& 9 & 4\lambda &| &1 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 &2 &\lambda &| &-1 \\ 0&3 &1 & | &4 \\ 0& 3 & \lambda &| &4 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 &2 &\lambda &| &-1 \\ 0&3 &1 & | &4 \\ 0& 0 & \lambda-1 &| &0 \end{bmatrix}$

Hệ vô số nghiệm khi $rank(A)=rank(A|b)<n$ với n là số ẩn của hệ pt.

Ở đây ta thấy $rank(A)=rank(A|b)=2<3$ khi $\lambda-1=0\rightarrow \lambda=1$