Trước tiên đặt $n=ka$ khi đó thì ta cần chứng minh $b=(a+1)(k+1)$

Đặt $t=(n,y)$ và $n=t.t_1,y=t.t_2$ khi đó thì $t_2|b$ rõ ràng $b$ nhỏ nhất lớn hơn y thì $b=(t+1)t_2$ và để $b$ nhỏ nhất $t_2$ cũng cần nhỏ nhất có thể vì $y>n$ nên $t_2$ nhỏ nhất bằng $t_1+1$. Như vậy $b=(t+1)(t_1+1)=n+t_1+t_2+1$.

Đến đây ta chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của $t_1+t_2$ thôi. Trong những cặp số không âm có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hiệu nhỏ nhất, Dựa vào biểu thức $4mn+(m-n)^2=(m+n)^2$. Từ đây dễ dàng suy ra $t_1=a,t_2=k$

P/s:Lâu lâu ghé thăm diễn đàn lấy chút không khí của toán, rất vui là các bạn tham gia rất nhiệt tình, không định post bài đâu nhưng trông thấy ava của bạn nên nghĩ lại

Mình vẫn chưa hiểu đoạn màu đỏ, bạn có thể trình bày cụ thể dùm mình.

Tìm tất cả các hàm f: $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, liên tục trên R và thoả mãn: $(x+y+z)f(x+y)=xf(x+z)+yf(y)+2xy+yz$

Bài này thật ra không cần $f$ liên tục.

Chọn $x=0$ ta có : $(y+z)f(y)=yf(y)+yz <=>zf(y)=yz$

<=> $f(y)=y$.

Thử lại thỏa.

Vậy $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$

Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^k+b^k+c^k+d^k\in \mathbb{Z},\forall k\in \mathbb{N}$. CMR $P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$ là đa thức có hệ số nguyên.

Cho $n$ nguyên dương, $n>3$. GS $a$ là ước nguyên dương lớn nhất của $n$ thỏa mãn $a\leq \sqrt{n}$, $b$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn $b>n$ và tồn tại số nguyên dương $y$ mà $n<y<b$ sao cho $nb$ chia hết cho $y$. CMR $ab=(a+1)(a+n)$.

Cho $x,y,z$ dương thỏa $x+y+z+1=4xyz$ . CMR $xy+yz+xz\geq x+y+z$

Trong $Oxy$ cho Tam giác $ABC$ có $\widehat{ABC}=135^o$, đường cao $BH:3x+y+10=0$ , trung điểm $BC$ là $M(\frac{1}{2},\frac{-3}{2})$ và trực tâm $K(0,-10)$. BIết tung độ của $B$ âm. Xác định tọa độ $A,B,C$.

Tính $I=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{xln(x^2+1)+(x^2+1)lnx}{(x^2+1)^2}dx$

 

1. x^3-x^2-x=1/3tuong duong voi 3x^3-3x^2-3x=1  tuong duong voi 4x^3=(x+1)^3ta tim ra dc x ok nhe ban
2.                                

 

Học gõ Latex cho dễ xem nhé bạn.

PT <=> $3x^3-3x^2-3x=1$

<=> $(x+1)^3=4x^3$ 

Đế đây căn bặc 3 2 vế là ok

$\left\{\begin{matrix} mx-y=2 \\ 3x+my=5 \end{matrix}\right.$

 

a) chứng minh rằng với mọi m thì hệ luôn có nghiệm duy nhất

b) tìm m thuộc Z để hệ có nghiệm (x:y) thoả mãn x+y nguyên

Sao bài này chưa ai sửa tiêu đề vậy ta?

Dễ thấy hệ có nghiệm : $x=\frac{2m+5}{m^2+3}$ và $y=\frac{4m^2+5m+6}{m^2+3}$.

a) Theo trên .

b) $x+y=\frac{2m+5}{m^2+3}+\frac{4m^2+5m+6}{m^2+3}=\frac{4m^2+7m+8}{m^2+3}=4+\frac{7m-4}{m^2+3}$

Cần tìm $m$ sao cho $\frac{7m-4}{m^2+3}=a\in \mathbb{Z}$

=> $am^2-7m+3a+4=0$

$\Delta_m =49-4a(3a+4)=-12a^2-16a+49\geq 0$

<=> $a=-2,-1,0,1$

Thay vào ta tìm không tìm được a $m$ nguyên.

Vậy ko tồn tại $m$ thoả đề .

Hai bạn đó có trao đổi bài với nhau đâu dosonhaiphong

Bất kì ai có câu trả lời đều đáng quí và đáng được nhận lời cảm ơn mà

Mình chỉ thấy bài trên hay hơn và bài dưới dựa theo ý tưởng bài trên thôi.

Đến đó thì suy ra y = x + 1 hoặc $\sqrt{x+y}+\sqrt{2x+1}=\sqrt{3y+1}+\sqrt{x+2y+2}$

phần thế biểu thức thì thôi không bàn, cái còn lại sẽ tương tự như lời giải của mystery266 mà.

Mình thấy nếu thế thì tại sao không giải giống bài trên vậy bạn? Vì sau 1 số bước biến đổi thì bài giải vẫn y hệt bên trên .

Đề mới :

 

Bài 42 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(x+y+f(y))=(f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2})$

 

Bài 43: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(x)^2+2yf(x)+f(y)=f(y+f(x))$ .

 

Bài 44 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(f(y)+x)=f(f(y)-x)+4xf(y)$ .

Bài 42 : Em làm không biết đúng không .

Thay $y=0$ ta có : $f(f(x))=f(x)^2+f(0)$

Thay $y$ bởi $f(y)$ ta có : $f(f(x)+f(y))=(f(x)+f(y))^2+f(0)$

Đặt $z=f(x)+f(y)$ ta có : $f(z)=z^2+f(0)$

Thay vào tìm $f(0)$ ta có KQ .

Tức là  Ai đang học KHTN như bạn đó hoặc sẽ học KHTN vào chém với bạn đó tí .

Mình , sẽ thi vào KHTN khoa Toán.

 

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012

Môn thi : TOÁN; Khối A, A1

ĐỀ DỰ BỊ 1

• Trong không gian tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $\left( \Delta \right)$ đi qua A(3;-2;-4), song song với mặt phẳng $\left( P \right):3x-2y-3z-7=0$ và cắt đường thẳng $\left( d \right):\frac{x-2}{3}=\frac{y+4}{-2}=\frac{z-1}{2}.$

 

Gọi $P'$ là $mp$ đi qua $A$ và song song với $P$ .

Khi đó $\frac{x-3}{3}+\frac{y+2}{-2}+\frac{z+4}{-3}=0$

$P\cap d=B(\frac{17}{4};\frac{-17}{2};\frac{5}{2})$

Công việc cuối cùng chỉ là viết PT đt thuộc $P'$ và đi qua B .

Câu III :  Ta có $\int \frac{2cosx(sinx+xlnx)+cosx+1+lnx}{sinx+xlnx}dx=\int 2cosxdx+\int \frac{1}{sinx+xlnx}d(sinx+xlnx)$

=> $\int \frac{2cosx(sinx+xlnx)+cosx+1+lnx}{sinx+xlnx}dx=2sinx-\frac{1}{(sinx+xlnx)^2}$

=> $I=2-1-\frac{1}{(1+\frac{\pi }{2}ln\frac{\pi }{2})^2}+\frac{1}{(\frac{1}{2}+\frac{\pi }{6}ln\frac{\pi }{6})^2}$

Mình ủng hộ ý kiến bạn Nam .Mình xin góp vui 1 bài.

 

Bài 41: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:

$$f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-xy-x+1$$

Đặt $P(x,y)$ có tính chất $f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-xy-x+1$

$P(0,0)=>f(f(0))=0$

$P(0,x)=>f(x+f(0))=f(x)+1$

$P(x,f(0))=>f(f(x)+f(0))=f(x+f(0))+xf(f(0))-xf(0)-x+1$

=> $f(f(x)+f(0))=f(x)+1+xf(0)+x-xf(0)-x+1=f(x)+2$

=> $f(x)=x+2-f(0)$

Thay vào ta được $f(0)=1$

Thử lại $f(x)=x+1$ thoả .

Vậy $f(x)=x+1, \forall x\in \mathbb{R}$

Bài này em giải tổng quát: 

•  
• Cách 1: đặt $\sqrt{2x^{2}-1}=t$ rồi viết pt lại dưới ẩn t bậc 4 => giải
• Cách 2:

$(x+3)\sqrt{2x^{2}-1}+3=x\left ( 5x+\frac{3}{2} \right )$

 

<=>$10x^{2}+3x-6-2(x+3)\sqrt{2x^{2}-1}=0$ (*)

- Đưa số $\alpha$ vào: 

(*)<=> $\alpha(2x^{2}-1)-2(x+3)\sqrt{2x^{2}-1}+(10-2\alpha)x^{2}+3x-(6-\alpha)=0$

 

Xét $f(x)=\Delta _{x}=(x+3)^{2}-\alpha[(10-2\alpha)x^{2}+3x-(6-\alpha)]$ =$[1-(10-2\alpha)]x^{2}+(6-3\alpha)x+9+\alpha(6-\alpha)=0$

- Thay lần lượt các giá trị $\alpha$ (số mấy cũng được, miễn $f(x)$ chính phương là OK)  Việc tìm $\alpha$ có thể còn dựa vào may mắn, nhưng thường thay cỡ 1,2...5 hoặc quanh quanh đó là ra rồi... bài anh Nam vô nghiệm làm em tìm quài không ra   

p/s: cách giải này có thể giải quyết 1 số bài tương tự như

• HSG Đà Nẵng 2011: Câu III

Spoiler

http://diendantoanho...nẵng-2011-2012/

Vậy bài này CM vô nghiệm sao bạn?

Topic này cho post ảnh bạn trai không ?

Spoiler

Đùa thôi

Mình cũng là fan MU, hy vọng có thể làm quen được với các manucian khác .

Tính tích phân $\int_{2}^{3}\frac{x^{3}+3x }{x^{4}-5x^{2}+6} dx$

Ta sẽ phân tích $\frac{x^3+3x}{x^4-5x^2+6}=\frac{a}{x-\sqrt{2}}+\frac{b}{x+\sqrt{2}}+\frac{c}{x-\sqrt{3}}+\frac{d}{x+\sqrt{3}}$

Đồng nhất hệ số ta được $\left\{\begin{matrix} a=b=\frac{-5}{2}\\ c=d=3 \end{matrix}\right.$

Khi đó $I=\frac{-5}{2}\int_{2}^{3}\frac{1}{x-\sqrt{2}}-\frac{-5}{2}\int_{2}^{3}\frac{1}{x+\sqrt{2}}+3\int_{2}^{3}\frac{1}{x-\sqrt{3}}+3\int_{2}^{3}\frac{1}{x+\sqrt{3}}$

=> $I$ quá dể 

Tính $I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^5xdx$

Giải phương trình $2^{2x^{2}+1}-9.2^{x^{2}+x}+2^{2x+2}=0$

PT<=> $2.(2^{x^2})^2-9.2^{x^2+x}+4.(2^x)^2=0$

<=> $\begin{bmatrix} 2^{x^2}=4.2^{x}\\ 2^{x}=2.2^{x^2} \end{bmatrix}$

<=> $\begin{bmatrix} 2^{x^2-x}=4\\ 2^{x-x^2}=2 \end{bmatrix}$

<=> $\begin{bmatrix} x^2-x-2=0\\ x-x^2-1=0(VN) \end{bmatrix}$

<=> $\begin{bmatrix} x=2\\ x=-1 \end{bmatrix}$

Vậy ............

 

MÔN THI: TOÁN HỌC

(Thời gian: 120 phút)

--------------------------------------------

 

Câu 1 (1 điểm). Không dùng máy tính cầm tay hãy rút gọn biểu thức sau: $$A=\sqrt{18}-\sqrt{50}+\sqrt{ \left( 2-2\sqrt{2}\right) ^2}$$

Câu 4 (1 điểm). Không dùng máy tính cầm tay hãy giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l} 2014x+y=2013\\ x+2014y=-2013 \end{array}\right.$$

 

 

2 bài dễ nhất

Câu 1 : Ta có $3\sqrt{2}-5\sqrt{2}+2\sqrt{2}-2=-2$

Câu 2 : $\left\{ \begin{array}{l} 2014x+y=2013\\ x+2014y=-2013 \end{array}\right.$

Lập $D$, $D_x$, $D_y$ ra được bài này.

1) Cho x, y là các số dương. Chứng minh rằng $x+y-2\left ( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right )+2\geq 0$

. Dấu = xảy ra khi nào ?

2)Tìm các cặp số (x, y) thoả mãn $x^{2}+y^{2}=\left ( x+y \right )\left ( \sqrt{x} +\sqrt{y}\right-1$

  với  $x> \frac{1}{4}, y> \frac{1}{4}$

1) $x+y-2(\sqrt{x}+\sqrt{y})+2\geq \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-4(\sqrt{x}+\sqrt{y})+4}{2}=\frac{[(\sqrt{x}+\sqrt{y})-2]^2}{2}$

Bài toán 1 : Có lẽ là bài này .

Bài toán 2 :  

Ban có thể dự đoán , nhưng mình nghĩ cần phải có ĐK của dãy $F_n$