Hãy tìm tất cả các bộ 3 số tự nhiên (x,y,n) thỏa mãn hệ thức:

$\frac{x!+y!}{n!}=3^{n}$

Cho a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác ABC,$a_{1},b_{1},c_{1}$ là độ dài các cạnh của tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$. CMR:

$\frac{a^{2}}{a_{1}}+\frac{b^{2}}{b_{1}}+\frac{c^{2}}{c_{1}} \geq \frac{R^{2}(a_{1}+b_{1}+c_{1})^{2}}{a_{1}b_{1}c_{1}}$

$\leftrightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\rightarrow yz=3$

Xét các TH là ra.

Cho tam giác ABC,M bất kì,kẻ MH vuông góc với BC,MK vuông góc với AC,MI vuông góc với AB.CMR: $\frac{a}{MH}.\vec{MH}+\frac{b}{MK}.\vec{MK}+\frac{c}{MI}.\vec{MI}=\vec{O}$

@Mod : chú ý cách đặt tiêu đề

Cho $A\subset Z$ có thỏa mãn:

i)Nếu a,b$\epsilon A$ thì a+b$\epsilon A$, 2a$\epsilon A$

ii)A chứa cả số âm và dương

C/M: nếu a,b$\epsilon A$ thì a-b$\epsilon A$

Cho E={1,2,3,4,5} và $E=A\bigcup B$.CM: 1 trong 2 tập A hoặc B có 2 phần tử có hiệu = 1 phần tử trong tập đó

Cho 1 hình vuông có cạnh 4cm được chia thành 16 ô vuông,mỗi ô vuông có cạnh 1 cm.Tại mỗi một trong 15 ô nào đó ta đánh dấu (+),ô còn lại đánh dấu (-).Những dấu ở các ô vuông có thể thay đổi đồng thời theo một hàng,một cột hoặc theo một đường chéo.Có khả năng sau hữu hạn lần đổi dấu theo nguyên tắc trên dấn đến tất cả các ô đều có dấu (+) hay không?

Cho a,b,c là các số thực không âm sao cho không có 2 số nào đồng thời =0

Chứng minh rằng: $\sum \frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+bc}\geq 6$

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ . Kẻ $EF || BC$ và $EF$ nằm trên cung $BC$ không có $A$ sao cho $AE$ nằm giữa $AB$ và $AF$ . Gọi $H$ là trực tam giác $ABC$ . Kéo dài $FH$ cắt $(O)$ ở $G$ . Gọi $L$ là tam đường tròn ngoại tiếp tam giác $AGH$ . 

 

b) Giả sử $(L)$ cắt $AB,AC$ ở $N,M$ . Chứng minh $MN$ vuông góc với $AF$

 

Gọi BP là đường cao của $\Delta ABC\rightarrow \widehat{PHM}+\widehat{HPM}=90^{\circ}\rightarrow \widehat{PHM}+\widehat{HGA}=90^{\circ}$ MÀ THEO PHẦN A TA CÓ:$\widehat{HAK}+\widehat{AGH}=90^{\circ}$$\rightarrow \widehat{MHP}=\widehat{HAK}$

Do EF song song với BC nên cung BF =cung CE$\rightarrow$$ \widehat{BAF}= \widehat{KAC}$

$\fn_cm \rightarrow \widehat{BAF}+\widehat{ANM}=\widehat{KAC}+\widehat{AHM}=\widehat{HAM}+\widehat{AHM}=90^{\circ}\rightarrow $ĐPCM

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ . Kẻ $EF || BC$ và $EF$ nằm trên cung $BC$ không có $A$ sao cho $AE$ nằm giữa $AB$ và $AF$ . Gọi $H$ là trực tam giác $ABC$ . Kéo dài $FH$ cắt $(O)$ ở $G$ . Gọi $L$ là tam đường tròn ngoại tiếp tam giác $AGH$ . 

a) Chứng minh $A,L,E$ thẳng hàng .

 

Gọi đường trung trực của AG $\cap$ AE tại K.$\rightarrow \Delta KAG$ cân tại K$\rightarrow 2\widehat{GAK}+\widehat{AKG}=90^{\circ}$(1)

Do AH vuông góc với BC nên AH vuông góc với EF

$\rightarrow \widehat{FEA}+\widehat{HAE}=90^{\circ}\rightarrow \widehat{HAE}+\widehat{AGH}=90^{\circ}\rightarrow \widehat{KAE}+\widehat{AGH}=90^{\circ}$

Xét $\Delta$AGH có: $\widehat{GAK}+\widehat{GHA}=90^{\circ}$ kết hợp với (1) $\rightarrow \widehat{GKA}=2\widehat{GHA}$

TỪ ĐÓ TA CÓ ĐPCM

Cho n>1 và n+2 các số nguyên dương:

$1\leq a_{1}< a_{2}< a_{3}< ...< a_{n+2}\leq 3n$

Chứng minh rằng tồn tại hai số $a_{i};a_{j}$  thỏa mãn:  $n< a_{i}-a_{j}< 2n$

Xét 3 tập hợp:A{1,2,...,n} ; B{n+1,n+2,...,2n} ;C{2n+1,2n+2,...,3n}

Đặt k=3n-$a_{n+2}$ $(0\leq k\leq 2n-2)(do   a_{n+2}\geq n+2)$

Xét dãy (*) sau:$b_{1}=k+a_{1},b_{2}=k+a_{2},...,b_{n+2}=k+a_{n+2}$

$\rightarrow b_{n+2}=3n$

  Nếu tồn tại trong dãy (*) 1 số $b_{i}$ mà $n\leq b_{i}\leq 2n$

$\rightarrow n\leq k+a_{i}\leq 2n\rightarrow n\leq 3n-a_{n+2}+a_{i}\leq 2n\rightarrow 2n\geq a_{n+2}-a_{i}\geq n$(đpcm)

  Nếu không tồn tại trong dãy (*) 1 số $b_{i}$ mà $n\leq b_{i}\leq 2n$

Xét các cặp số sau : (1,2n);(2,2n+1);...(n,3n-1) có hiệu của mỗi cặp là 2n-1

Do tập A và C không có quá n phần tử nên có không quá n số $b_{i}$$\epsilon$ tập A và có không quá n số $b_{j}$$\epsilon$ tập C mà trong dãy (*) có n+1 số (trừ $b_{n+2}=3n$) nên tồn tại ít nhất 1 cặp như trên.

Từ đó suy ra đpcm

 Bài 2.$a^{2}+b^{2}+c^{2}=9-2(ab+bc+ca)$ biến đổi tương đương ta cần cm:$2(ab+ac+bc)+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq 9 (1)$

$\left ( ab+bc+ca \right )^{2}\geq 3abc(a+b+c)=9abc\rightarrow ab+bc+ca\geq 3\sqrt{abc}$

(1)$\leftrightarrow 3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}+\frac{3}{abc} \geq 9$ (điều này luôn đúng )

bài 6: Ta phân tích $\frac{1}{xyz}= \frac{4}{4xyz}=\frac{x+y+z}{4xyz}= \frac{1}{4xy}+\frac{1}{4yz}+\frac{1}{4xz}$ mà ta có:$\frac{1}{x^{2}+4yz}< \frac{1}{4yz}$ tương tự ta suy ra đpcm

Cho n điểm $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ được tô bởi 5 màu($n\geq 5$).Có bao nhiêu cách xếp sao cho 2 điểm kề nhau tô màu khác nhau?

một cách khác:

 

$\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\geq \sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

bây giờ ta cần chứng minh rằng: $\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sum (b+c-a)^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca \Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$

đọc kĩ đề đi!

cho a,b,c >0. CMR : $\sum \frac{\left ( 2a+b+c \right )^{2}}{2a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\leq 8$

Hanoi Open Mathematical  Olympaid 2007: Junior Section, Sunday, 15 April 2007 ^^

$\sqrt{\bar{abc}}=1+\sqrt{\bar{acb}}\Leftrightarrow \bar{abc}=1+2\sqrt{\bar{acb}}+\bar{acb}\Leftrightarrow 9(b-c)=1+2\sqrt{\bar{acb}}$.Ta thấy vế phải lẻ nên vế trái lẻ,từ đó suy ra b-c lẻ

Ta có: $2\sqrt{\bar{acb}}\geq 2\sqrt{100}=20\Rightarrow 9(b-c)=1+2\sqrt{\bar{acb}}\geq 21\Rightarrow b-c\geq 3$

Mặt khác:$9(b-c)=1+2\sqrt{\bar{acb}}\leq 1+2\sqrt{999}< 65\Rightarrow b-c\leq 7$

Suy ra $3\leq b-c\leq 7$

Mà b-c lẻ $\Rightarrow b-c\epsilon{3,5,7}$

*Xét b-c=3 $\Rightarrow \bar{acb}=169$(thỏa mãn)

*xét b-c =5$\Rightarrow \bar{acb}=484$(không thỏa mãn)

*xét b-c=7$\Rightarrow \bar{acb}=961$(không thỏa mãn)

Vậy (a,b,c)=(1,9,6)

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 (1)& & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y(2) & & \end{matrix}\right.$$

 

(1)$\leftrightarrow 2x^{2}-5xy+3y^{2}=0\leftrightarrow 2x^{2}-2xy-(3xy-3y^{2})=0\leftrightarrow 2x(x-y)-3y(x-y)=0\leftrightarrow (2x-3y)(x-y)=0\leftrightarrow$ x=y hoặc 2x=3y

 *TH1: x=y

  Thay vào (2) ta được: $4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x\leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0\leftrightarrow x^{2}-x+\frac{1}{3}=0\leftrightarrow x^{2}-x+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=0\leftrightarrow (x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{12}=0$(vô lí)

*TH2:2x=3y $\leftrightarrow$ $4x^{2}=9y^{2},6x=9y$

 Thay vào (2) ta được: $9y^{2}-9y+1=y^{2}-3y\leftrightarrow (9y^{2}-6y+1)-y^{2}=0\leftrightarrow (3y-1)^{2}-y^{2}=0\leftrightarrow (2y-1)(4y-1)=0\leftrightarrow$ y=$\frac{1}{2}$ hoặc y=$\frac{1}{4}$

 +y=$\frac{1}{2}$$\leftrightarrow x=\frac{3}{4}$

 +y=$\frac{1}{4}$$\leftrightarrow x=\frac{3}{8}$

Vậy (x,y)=$(\frac{3}{4} ;\frac{1}{2});(\frac{3}{8};\frac{1}{4})$

______________________________________

$d = 10$

$ S = 44$

cho a,b,c là cá số dương và abc=1. tìm Max của A=$\sum \frac{ab}{a+ab+b}$

Nếu $m>1$ lẻ mà suy ra khẳng định trên mình nghĩ là không đúng vì bạn còn chưa xét trường hợp ngoại lệ là $k=0$.

ukm.sau lúc nộp bài mình mới nhận ra cái đấy nhưng mà tại mình không đọc kĩ điều lệ thi nên không biết là được gửi lại bài khác

chỗ tô đỏ tại sao lại có như vậy

vì m là số lẻ mà $(n^{2}+1)^{2^{k}}$ có mũ chẵn

P/s: mình viết nhầm...đã fix

* xét m chẵn:$\Rightarrow$ $44n^{3}+11n^{2}+10n+2$ phải là 1 số CP
Ta có: đặt A=$44n^{3}+11n^{2}+10n+2$ = $44n^{3}+12n^{2}+8n+2-n^{2}+2n$=$4(11n^{3}+3n^{2}+2n)+3-(n-1)^{2}$
do $a^{2}\equiv 0,1$(mod 4) $\Rightarrow 3-(n-1)^{2}\equiv 3,2$(mod 4)$\Rightarrow$ A$\equiv 3,2$(mod 4) (vô lí)
*xét m lẻ :

+m>1 : $44n^{3}+11n^{2}+10n+2\vdotsn^{2}+1$ (*)
Mặt khác:$44n(n^{2}+1)\vdots n^{2}+1$(1)
$11(n^{2}+1)\vdots n^{2}+1$(2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $44n^{3}+11n^{2}+44n+11\vdots n^{2}+1$(**)
Từ (*) và (**) $\Rightarrow 34n+9\vdots n^{2}+1$ $\Rightarrow (34n+9)\times (34n-9)\vdots n^{2}+1 \Rightarrow 34^{2}n^{2}-81\vdots n^{2}+1 \Rightarrow 34^{2}(n^{2}+1)-1237\vdots n^{2}+1$ $\Rightarrow 1237\vdots n^{2}+1\Rightarrow n^{2}+1 \in \left \{ 1 \right \}$ $\Rightarrow n=0\Rightarrow N^{m}=2\Rightarrow m=1$
Vậy m=1

Hai chỗ tô màu đỏ chưa chính xác. Trừ điểm Latex. Điểm bài: 7

S = 17 + 3*7 = 38

Cho x,y $\epsilon$ R và 21x^2-36xy+44y^2 $\leqslant$ 27. CMR: x+2y $\geq$ -3

Sử dụng phản chứng: G/s x+2y<-3 $\rightarrow (x+2y)^{2}>9$

Biến đổi biểu thức trở thành  $A=11(x+2y)^{2}+10x(x-8y) = 11(x+2y)^{2}+10x\left [ 5x-4(x+2y) \right ]>99+10x(5x+12)=27+2.36+2(25x^{2}+2.5x.6)=27+2(5x+6)^{2}\geq 27$$\rightarrow A>27$ mà theo đề bài ta có: $A\leq 27$ (mâu thuẫn) ,từ đó ta có  đpcm

không biết đúng hay sai.các bạn xem hộ

http://diendantoanho...c-cực-trị-thcs/

ở đây có bài này rồi mà bạn