Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}-\frac{3y}{2}+\frac{y^{2}}{x^{2}} & =\frac{7x}{2y} & \\ y^{2}-\frac{3x}{2}+\frac{x^{2}}{y^{2}} & =\frac{7y}{2x} & \end{matrix}\right.$

Giải: 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-\frac{3y}{2}+\frac{y^{2}}{x^{2}} & =\frac{7x}{2y} (1) & \\ y^{2}-\frac{3x}{2}+\frac{x^{2}}{y^{2}} & =\frac{7y}{2x} (2) & \end{matrix}\right. (x, y \neq 0) $

$(1)- (2)\Leftrightarrow x=y \vee x+y +\frac{3}{2} - \frac{(x+y)(x^2 +y^2)}{x^2 y^2}= \frac{7(x+y)}{2xy}(3)$

$(1)+(2)\Leftrightarrow x^2 +y^2 -\frac{3}{2}(x+y) + \left(\frac{x^2}{y^2 }+ \frac{y^2 }{x^2} \right )= \frac{7}{2}\left(\frac{x^2 +y^2}{xy}\right)( 4) $

Đặt $S= x+y, P= xy ( S^2 -4P \geq 0)  $, ta có: 

$(3)\wedge (4)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-S^3 -\frac{3}{2}PS + P^2S+ \frac{3}{2}P^2 =0 (5) \\ S^4 - \frac{15}{2}PS^2 +P^2S^2- \frac{3}{2}P^2S +9P^2 - 2P^3 =0  (6)\end{matrix}\right.$

$S(5)+ (6)\Leftrightarrow P= \frac{9}{2}\vee P=0(L) \vee S^2 = P(L)$

$\bullet x =y, (1)\Leftrightarrow x= \frac{5}{2 }\vee x= -1$

$\bullet P = \frac{9}{2}, (5) \Leftrightarrow x= 3 \vee x =\frac{3}{2}$

Thử lại thấy thỏa. 

Vậy $\left(x,y \right )= \left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right), (-1,-1), \left(\frac{3}{2},3\right ), \left(3 ,\frac{3}{2}\right )$

p/s : ko biết có cách nào ngắn hơn ko :v 

Giúp mình bài này với ạ, phương trình 1 nhóm lại được thành nhân tử dễ dàng, nhưng thay vào pt 2 thì mình nghĩ k ra cách giải

$\left\{\begin{matrix} (x+1)^2 +y^2=2(1+\frac{1-y^2}{x}) & \\4y^2=(y^2-x^3+3x-2)(\sqrt{2-x^2}+1) & \end{matrix}\right.$

Giải : 

$\left\{\begin{matrix} (x+1)^2 +y^2=2(1+\frac{1-y^2}{x}) (1) & \\4y^2=(y^2-x^3+3x-2)(\sqrt{2-x^2}+1) (2) & \end{matrix}\right. \mathbb{D}= \left[-\sqrt{2}, \sqrt{2} \right ]$

$(1)\Leftrightarrow x^2 +y^2 =1(3) \vee x= -2(L)$

Thế $(3)$ vào $(2)$, ta có: 

$(2)\Leftrightarrow 4(1-x^2)= (-1-x^2 +3x -x^2)(\sqrt{2-x^2}+1 )$

$\Leftrightarrow x= 1 \vee x= -1(L) \vee 4( \sqrt{2-x^2})= (x-1)(-x^2 -2x+1 )(4)$

Đặt: $f(x)= 4( \sqrt{2-x^2}+1), g(x)= (x-1)( -x^2 - 2x+1 )$

Ta nhận thấy $\forall x \in \mathbb{D}, f(x)\geq 4 \wedge g(x)\leq \frac{4}{27}(5\sqrt{10}-14 )$

Vậy $(x,y) = ( 1,0) $ 

Giải PT: $x+\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+2}}=\sqrt{2}$

Giải: 

Đặt $a=\sqrt {x^2 +2 }, b= x$

Ta có: $\left\{\begin{matrix} ab + 2b = a\sqrt{2} (1) \\ a^2 -2 = b^2 (2) \end{matrix}\right.$

$(1)\Leftrightarrow b= \frac{a\sqrt{2}}{a+2}(3)$

Thế $(3) $ vào $(2)$, ta được: $(2)\Leftrightarrow a^4 + 4a^3 -8a -8 =0 $

$\Leftrightarrow (a^2 +2a )^2- 4(a^2 + 2a) -8 =0$

Tới đây thì giải ra rồi thử lại là xong !! 

 

\left\{\begin{matrix}

xy-3x-2y=16 & \\x^2+y^2-2x-2y=33 

 & 

\end{matrix}\right.

 

Gợi ý: 

Đặt $S= x+y, P =xy $ rồi giải tiếp 

Mình mong các mods sẽ xem xét TH ở đây. Theo mình, đây ko khác gì quảng cáo. 

Có ai có cách giải tổng quát cho hệ phương trình này ko ạ?

 

$\left\{\begin{matrix}a_{1}x^2+b_{1}x+c_{1}y^2+d_{1}y+e_{1}=0 & \\ a_{2}x^2+b_{2}x+c_{2}y^2+d_{2}y+e_{2}=0 & \end{matrix}\right.$

Bạn tham khảo ở đây 

Giải bất phương trình sau:$y^2+20\sqrt{(y+2)^3}\geq 14y+24+9\sqrt{y+2}$

Giải

$y^2+20\sqrt{(y+2)^3}\geq 14y+24+9\sqrt{y+2}(1)$

Đặt $x= \sqrt{y+2}(x\geq 0) $, ta có : 

$(1)\Leftrightarrow x^4+ 20x^3 - 18x^2 -9x +8\geq 0$

Còn lại thì b tham khảo ở đây 

 

Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}-y^{2}=4x+6y-1\\   x^{4}+y^{4}-5x^{2}-5y^{2}=2x^{2}y^{2}-10xy-1 \end{matrix}\right. $$

 

Giải: 

$\left\{\begin{matrix}x^{2}-y^{2}=4x+6y-1\\   x^{4}+y^{4}-5x^{2}-5y^{2}=2x^{2}y^{2}-10xy-1 \end{matrix}\right.$ 

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}(x-2)^2 =(y+3)^2-6\\(x^2-y^2)^2 -5(x-y)^2 =-1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}(x-y-5)(y+x+1)= -6\\(x-y)^2\left[(x+y)^2-5 \right ]=-1\end{matrix}\right.$

Đặt $a= x-y, b = x+y$, ta có: 

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}(a-5)(b+1)= -6\\a^2\left(b^2-5 \right )=-1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}b= \frac{a+1}{5-a}\\-4a^4 +52x^3 - 123x^2 -10x+25=0\end{matrix}\right.$

pt bậc 4 kia nghiệm khá xấu nên ..

 

$15. \left\{\begin{matrix} 2-\sqrt{x^{2}y^{4}+2xy^{2}-y^{4}+1}=2\left ( 3-\sqrt{2}-x \right )y^{2} & \\ \sqrt{x-y}+x=3 & \end{matrix}\right.$

Giải: 

$ \left\{\begin{matrix} 2-\sqrt{x^{2}y^{4}+2xy^{2}-y^{4}+1}=2\left ( 3-\sqrt{2}-x \right )y^{2}(1) \\ \sqrt{x-y}+x=3(2) \end{matrix}\right.$

Ta có $(x;y ) = (0;0)$ ko la nghiem cua hpt 

 Đặt $a= xy^2 +1, b= y^2 (a,b > 0) $

 $(1)\Leftrightarrow\sqrt{a^2- b^2}= 2(3-\sqrt{2})b- 2a(3) $

Bình phương hai vế ta được : 

$(3)\Leftrightarrow b= \frac{a}{3}\vee b=-\frac{3a}{8\sqrt{2}-15} $

Lại có : $\frac{a}{b}= x$

Từ đây thế và thử lại là xong

Giải phương trình sau : 

$8x^{2}-13x+7=(1+\frac{1}{x})\sqrt[3]{(x+1)(2x-1)+x^{2}-x-1}$

 

@MOD : chú ý cách đặt tiêu đề 

Tham khảo tại đây

Ai có thể giải thích hộ mình vì sao $(1+\frac{1}{n})^{-\frac{3}{2}}=1-\frac{3}{2n}$ ?

Cho mình hỏi là làm sao bạn có được đẳng thức này nhỉ ? Trang nàycó vẻ ko dồng tình lắm thì phải?  

 

8) $\left\{\begin{matrix}4x^2y^2-6xy-3y^3=-9\\6x^2y-y^2-9x=0\end{matrix}\right.$

 

 

 

Giải:

$\left\{\begin{matrix}4x^2y^2-6xy-3y^3=-9\\6x^2y-y^2-9x=0\end{matrix}\right. (I)$

Rõ ràng $(x;y)=(0;0)$ ko là nghiệm của hpt

$(I)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4x^2y^2-6xy-3y^3=-9(1)\\6x^2y^2-y^3-9xy=0(2)\end{matrix}\right.$

$(2)-(1)\Leftrightarrow 2x^2y^2 +2y^3 -3xy -9=0$

$\Leftrightarrow x= \frac{9\pm\sqrt{81+24y^3}}{12y}(3)$

Từ $(2)$ ta lại có: $\Leftrightarrow x= \frac{3\pm\sqrt{81-16y^3}}{4y}(4)$

$(3)\wedge (4) \Leftrightarrow y= \frac{3\sqrt[3]{49}}{7}$

Thế vào $(1)$ ta có: $\Leftrightarrow x= \frac{\sqrt{105}\pm 7}{4.7^{\frac{2}{3}}}$

Thử lại ta thấy thoả mãn

Vậy $S= \left \{ \frac{\sqrt{105}\pm 7}{4.7^{\frac{2}{3}}}; \frac{3\sqrt[3]{49}}{7} \right \}$

Cho hệ:

$\left\{\begin{matrix}  x^{2}+y^{2}+2x <2& \\ x-y+m=0& \end{matrix}\right.$

Tìm m để hệ có nghiệm

 

@MOD : chú ý cách đặt tiêu đề

nếu coi phương trình đầu tiên là phương trình đường tròn thì bạn giải tiếp được không?

Giải:

$\left\{\begin{matrix}  x^{2}+y^{2}+2x <2 \\ x-y+m=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}(x+1)^2+y^{2} <3(1)\\ y=x+m(2)\end{matrix}\right. (I)$

Từ bpt $(1)$, ta nhận thấy nghiệm của nó là diện tích của đường tròn $(C): (x+1)^2 +y^2 =3 $ không tính đường tròn này

Như vậy, hệ $(1)$ có nghiệm khi pt(2) tạo 2 giao điểm vs $(C)$ hay là pt $(2)$ nằm trong giới hạn của 2 đg` tt vs $(C)$ cùng phương vs $(2)$

Gọi $I(-1;0)$ là tâm của $(C)$ , $(d): y=x+k$

Ta có: $d[I, (d)]=\frac{\left | -1+k \right |}{\sqrt{2}}$

Để $(d)$ la tt cua $(C)\Leftrightarrow d[I,(d)]= R= \sqrt{3}$

$\left\{\begin{matrix} x^2y+xy^2+x-5y=0 & & \\2xy+y^2-5y+1=0 & & \end{matrix}\right.$

Giải:

$\left\{\begin{matrix} x^2y+xy^2+x-5y=0\\2xy+y^2-5y+1=0 \end{matrix}\right.$

Dễ thấy $\left(x;y\right)= (0;0)$ ko là nghiệm của hpt

$\left\{\begin{matrix} x^2y^2+xy^3+xy-5y^2=0(1) \\2x^2y^2+xy^3-5xy^2+xy=0(2)\end{matrix}\right.$

$(2)-(1)\Leftrightarrow x^2 -5x + 5 =0$

Từ đây ta chỉ còn những pt bậc 2 thôi

Cho hệ:

$\left\{\begin{matrix}  x^{2}+y^{2}+2x <2& \\ x-y+m=0& \end{matrix}\right.$

Tìm m để hệ có nghiệm

 

@MOD : chú ý cách đặt tiêu đề

Giải:

$\left\{\begin{matrix}x^2 +y^2 +2x <2 \\x-y+m =0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2 +x(m+1)-1 +\frac{m^2}{2}<0 \\x+m=y\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow -1-\sqrt{6}<m< -1+ \sqrt{6}$

chứng minh với mọi n lẻ, a>0 thì phương trình sau có nghiệm duy nhất 

$(n+1)x^{n+2} = a^{n+2} + 4(n+2)x^{n+1}$

Giải:

$f(x)= (n+1)x^{n+2}- 4(n+2)x^{n+1 }- a^{n+2}$

$\Rightarrow f'(x)= (n+1)(n+2)x^n(x-4)$

$f'=0\Leftrightarrow x=0\vee x=4$

Ta có: dấu của $f '$ phụ thuộc vào $x^n(x-4)$

Với $n $ lẻ, ta có bảng biến thiên

$$\begin{array}{c|ccccccccc}
x & -\infty & \;  & 0 & \; & 4 &\; & +\infty\\
\hline
f' & \; &  + & 0 & - & 0 & + &\; \\
\hline
& \; & \; &  -a^{n+2}  & \; & \; & \; & \; +\infty \\
f & \; & \nearrow & \;  & \searrow & \; & \nearrow & \; \\
&-\infty & \; & \; &  \; & -4^{n+2} & \; & \; \\
\end{array}$$

Từ BBT ta có đpcm

$1/2{({x^2} + x - 1)^2} + 2{x^2} + 2x = 3 + \sqrt {5 + 4x} $

$2/2\sqrt[3]{{{x^3} + 7}} + 1 = \sqrt {1 + 16x + 8{x^2}} $

$3/(2 - x)\sqrt {1 + x}  + (2 + x)\sqrt {1 - x}  + \frac{{16}}{{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} = 12$

 

MOD: Chú ý tiêu đề

Giải: 

$2{({x^2} + x - 1)^2} + 2{x^2} + 2x = 3 + \sqrt {5 + 4x}(x\geq - \frac{5}{4}) (1)$

Đặt $y= x^2 +x-1$

$\Leftrightarrow 2(y^2 + y-1) +1 =  \sqrt {5 + 4x} $

$\Leftrightarrow (y^2 + y -1)^2 + (y^2 + y -1)-1 =x$

Đặt $z= y^2 + y-1 $

Ta có hpt: $\left\{\begin{matrix}y= x^2 +x-1 \\x= z^2 + z-1\\z= y^2 +y-1\end{matrix}\right.$

Xét hàm đại diện $f(t)= t^2 + t-1 (t\geq -\frac{5}{4})$

CMĐ $f(t )$ đơn điệu trên $\left[ -\frac{5}{4}; -\frac{1}{2}\right ], (-\frac{1}{2};+\infty)$

Đến đây ta xét 2 TH và nhận $x=y=z=1$ là nghiệm duy nhất của hệ 

Vậy $S=\left \{ 1 \right \} $

tìm m để hệ phương trình sao có nghiệm :

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}-2y-4z=4\\ (y+2z)(x+y+m^{2})+2x+y-2z+2m^{2}-2=0\end{matrix}\right.$

Giải: 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}-2y-4z=4\\ (y+2z)(x+y+m^{2})+2x+y-2z+2m^{2}-2=0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(y+2z+2)\\ (y+2z+2)(x+y+m^{2})= 2+ 2z+ y \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 =9 \\ x+y+m^{2}=1 \end{matrix}\right. (  (x;y;z)=(0;0;0)$ ko là nghiệm của hpt $)$ 

Xét mặt cầu $S(I;3)$ và mp $Oxy$ có tập hợp giao điểm là $(C): x^2 + (y-1)^2 = 5$

PTHĐGĐ của $(d): y+ m^2 + x=1$ và $(C)$ là: $x^2 + (x^2 + m^2)^2 =5 $

$\Leftrightarrow t + (t+m^2)^2=5 $

pt này có thể biện luận đc. Nên bài toán sẽ cho ra kết quả từ đây 

p/s: @DANH0612, cám ơn bạn đã nhắc, mình ko cẩn thận trong lúc đang bài nên kết luận sai mất. Mình rất biết ơn. 
Nhưng, mình nghĩ vs pt $(2)$ chỉ có mặt $x,y $, chắc ta ko cần xét đến các mp khác ngoài Oxy. Vì dù $\forall m\in\mathbb{R}$, ta vẫn chỉ có ptđt $(d)$ nằm trong mp $Oxy$ thôi, phải ko? Mong bạn hãy đóng góp ý kiến.  

Từ pt1:$\Leftrightarrow$ $$(x^2y^2-3xy^2+y^2)+(4x^2y-12xy+4y)+(x^2-3x+1)=0\\ (x^2-3x+1)(y^2+4y+1)=0 $$ 

C thế vào pt 2 là ra rồi

hệ số tự do bạn ghi ngược dấu rồi kìa !!! 

Giải HPT sau :

$\left\{\begin{matrix} 2^{\frac{1-x^2}{x^2}}+xy+\frac{3}{2}=2^y & \\ (x^2y+2x)^2-2x^2y-4x+1=0 & \end{matrix}\right.$

@Mod: chú ý cách đặt tiêu đề

Giải: 

$\left\{\begin{matrix} 2^{\frac{1-x^2}{x^2}}+xy+\frac{3}{2}=2^y (1)  \\ (x^2y+2x)^2-2x^2y-4x+1=0 (2) \end{matrix}\right.$

$(2)\Leftrightarrow x^4y^2 +2(2x^3 -x^2)y + 4x^2 -4x+1 =0 $

$\Delta_{y}= (2x^3-x^2)^2 - x^4(4x^2 -4x +1)=0 $

$\Leftrightarrow y= \frac{1-2x}{x}(3)$

Thay $(3)$ vào $(1) $, ta có :

$(1)\Leftrightarrow 2^{\frac{1}{x^2 }-1}+\frac{1-2x}{x}+\frac{3}{2}= 2^{\frac{1-2x}{x^2}}(4)$

Đặt $a= \frac{1}{x}(a\neq 0)$

$(4)\Leftrightarrow 2^{a^2 }- 2^{(a-1)^2 }= \frac{1}{4}(1-2x)$

Xét hàm số $f(a)= 2^{a^2 }- 2^{(a-1)^2 }- \frac{1}{4}(1-2x))(a\in\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\} )$

Có: $f'(a)= 2\log(2)\left(a2^{a^2 }-(a-1)2^{(a-1)^2} \right )+2$

Đặt  $ t(a) = a 2^{a^2 }-(a-1) 2^{(a-1)^2 }$

Xét hàm số $g(t) = t2^{t^2}(t\in\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\})$ có $g'(t)= 2^{t^2}+2t^2\log(2)2^{t^2}>0\forall t$

Do đó: $t(a)=0\Leftrightarrow  g(a)=g(a-1)\Rightarrow a = a-1 (!)$

$\Rightarrow a 2^{a^2 }-(a-1) 2^{(a-1)^2}\neq 0\forall a \neq 0 $ 

mà, với $a =1$, ta có : $t(1)= 2>0$

 $\Rightarrow\forall a\neq 0, t(a)>0\Rightarrow  \forall a\neq 0,f'(a)>0 $  

Suy ra $f(a)$ đồng biến với $a\in\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}$

Lại có: $f(\frac{1}{2})=0, f(0)\neq 0.$

$\Rightarrow x=2, y= -\frac{3}{4}$

Vậy hpt  có  cặp nghiệm $(x;y)$ duy nhất là $(2; -\frac{3}{4})$

Giải PT:$\frac{11}{x^{2}}-\frac{25}{\left ( x+5 \right )^{2}}= 1$

Giải : 

$\frac{11}{x^{2}}-\frac{25}{\left ( x+5 \right )^{2}}= 1$

$\Leftrightarrow x^4 +10x^3 +39x^2 -110x-275 =0 $

$\Leftrightarrow \left(x^2 -x-5  \right )\left(x^2 +11x+55 \right )=0 $

Tìm m để phương trình sau có nghiệm: $2\sqrt{-x^{2}-2x+3}-(m-1)(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x})+m+1=0$

Giải: 

$2\sqrt{-x^{2}-2x+3}-(m-1)(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x})+m+1=0(1)(-3\leq x\leq 1)$

Đặt $t= \sqrt{x+3}+ \sqrt{1-x} (t>0)$ 

$\Rightarrow t^2-4 = \sqrt{-x^2 -2x +3 }$

$(1)\Leftrightarrow 2(t^2 -4)-(m-1)t+ m+1 =0 $ 

$\bullet\Delta = m^2 - 10m +57 > 0\forall m\in \mathbb{R}$

Suy ra  $\forall m\in \mathbb{R}$, pt đều có 2 nghiệm phân biệt $x_{1,2}= \frac{1}{4}\left(-1+m \pm \sqrt{57 -10m +m^2 } \right )$

Từ đk $-3 \leq x\leq 1 $,  ta có đc với  $m> -2 $ thì pt luôn có nghiệm 

Vậy $m>-2$ là đk của m thỏa YCĐB

Cho $m\geq 2008$. CMR hệ pt sau có không quá 1 nghiệm $$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+19}-\sqrt{y+6}=(m-2008)y+1 & \\ \sqrt{y+19}-\sqrt{x+6}=(m-2008)x+1 & \end{matrix}\right.$$

Giải : 

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+19}-\sqrt{y+6}=(m-2008)y+1 (1) \\ \sqrt{y+19}-\sqrt{x+6}=(m-2008)x+1 (2)\end{matrix}\right.$

$(1)- (2)\Leftrightarrow \sqrt{x+19}+ \sqrt{x+6}+ ax=\sqrt{y+19}+ \sqrt{y+6}+ ay (a= m- 2008\geq 0)$

Xét hàm số : $f(t)=\sqrt{t+19}+ \sqrt{t+6}+ at (t\geq -6)$ 

có :

$f'(t)=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{t+19}}+\frac{1}{\sqrt{t+6}}+ 2a \right ) >0 \forall t\in \left[-6;+\infty \right)$

Nhận thấy hàm số  đồng biến trên tập xác định nên suy ra $x=y$

Thay $x=y$ vào $(1)$, ta có : 

$(1)\Leftrightarrow \sqrt{x+19}- \sqrt{x+6}- ax-1=0 $

Xét hàm số: $g(x)=  \sqrt{x+19}- \sqrt{x+6}- ax-1(x\geq -6)$

có :

$g'(x)= \frac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{x+19}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}}- 2a \right)<0 \forall x\in \left[-6;+\infty \right)$

Suy ra  hàm số $g(x)$ nghịch biến nên pt $g(x)=0$ chỉ có 1 nghiệm duy nhất. 

Vậy hpt đã cho chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất.

giải pt : $\sqrt{4x+6}+2=x^{2}+\sqrt[3]{x^{3}+7x^{2}+12x+6}$

Giải: 

$D=\left[-\frac{3}{2};+\infty  \right ) $

$\Leftrightarrow\sqrt{4x+6}+2=x^{2}+\sqrt[3]{x^{3}+7x^{2}+12x+6}$

$\Leftrightarrow\sqrt{4x+6}-(x+2)=x^{2}-2 +\sqrt[3]{x^{3}+7x^{2}+12x+6}- (x+2)$

$\Leftrightarrow (x^2 -2)\left[\frac{1}{\sqrt{4x+6}+x+2}+1 + \frac{1}{ a^2+a(x+2) + (x+2)^2}\right]=0(a=\sqrt[3]{x^{3}+7x^{2}+12x+6})$

$\Leftrightarrow x= \pm\sqrt{2}\vee\frac{1}{\sqrt{4x+6}+x+2}+1 + \frac{1}{ a^2+a(x+2) + (x+2)^2}=0(!)  (a=\sqrt[3]{x^{3}+7x^{2}+12x+6})$

Vậy $S= \left \{ \pm\sqrt{2} \right \}$

bài 1: giải phương trình sao: với x >0

        $2x(\sqrt{x^2+1}-1)=\sqrt{3x^2+3}$

 

Bài 2: giải hệ Phương trình sau:

a, $2x^2y + 3xy =4x^2 +9y$

và $7y+6 =2x^2 +9x$

 

b, $(x-y)^2 +x +y =y^2$

    và $x^4 -4x^2y +3x^2 =-y^2$

 

các bạn thông cảm chứ viết latex cái dấu : "và" khó quá

giải gium cái

Giải: 

$1/ 2x(\sqrt{x^2+1}-1)=\sqrt{3x^2+3}(x>0)$

$\Leftrightarrow 2x=(2x-\sqrt{3})\sqrt{x^2+1}$

$\Rightarrow 4x^2= (4x^2 -4\sqrt{3}x +3)(x^2 +1)\left(x\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\right )$

$\Rightarrow 4x^4 -4\sqrt{3}x^3 +3x^2-4\sqrt{3}x+3 =0$

$\Rightarrow x= \sqrt{3}(n)\vee x=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2-\sqrt{3} }}-\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}\right)(l)$

Vậy $S= \left \{ \sqrt{3} \right \}$

$2/a/  \left\{\begin{matrix}2x^2y + 3xy =4x^2 +9y(1)\\7y+6 =2x^2 +9x(2)\end{matrix}\right.$

$(2)\Leftrightarrow y =\frac{2x^2 +9x-6}{7}(3)$

Thế $(3)$ vào $(1)$, ta có: 

$(1)\Leftrightarrow 4x^4 + 24x^3 -31x^2 -99x+54=0 $

$\Leftrightarrow x= \frac{1}{2}\vee x= -2\vee x= \frac{-9\pm 3\sqrt{33}}{4}$

Thế từng cặp $(x;y)$ vào hpt đầu ta thấy thỏa.

Vậy hpt đã cho có những nghiệm $(x;y)$ là $\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{7}\right),\left(-2;-\frac{16}{7}\right),\left(\frac{-9\pm 3\sqrt{33}}{4};3\right)$

$b/$ ta nhân pt đầu cho $x(x-2)$ rồi cộng cho pt sau ta sẽ đc $(x-y)(2x^3 -x^2 +x-y)=0$