Lời giải:

Ta luôn có $sin^2{x}+cos^2{x}=1$

$tan{x}.cot{x}=1$

1)
Áp dụng bất đẳng thức C-S,ta có:
$sin^4{x}+cos^4{x} \ge \dfrac{(sin^2{x}+cos^2{x})^2}{2}=\dfrac{1}{2}$

Vậy GTNN của $sin^4{x}+cos^4{x}$ là $1/2$ tại $x=45$

2)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM,ta có:

$cot^2{x}+tan^2{x} \ge 2cot{x}.tan{x}=2$

Vậy GTNN của $cot^2{x}+tan^2{x}$ là 2 tại $x=45$

3)

Do $0<sin{x};cos{x} <1$ với $0 \le x \le 90$

$\Longrightarrow sin^{2007}B < sin^2{B}=1-cos^2{B}$

$\Longrightarrow sin^{2007}B+ cosB < 1-cos^2{B}+cos{B} $

Mặt khác $1-cos^2{B}+cos{B} < \dfrac{5}{4}$

Bạn có thể chứng minh bằng cách đưa về HĐT

4)

Ta có: $sin^{2007}B+cos{2008}B < sin^2{B}+cos^2{B}=1$

bất đẳng thức C-S

 cho tớ cái công thức của bđt này dc ko?

ukm nhưng mà bài 2 thấy khó quá, cậu có cách giải ko?

Bài 1: Cho $0^{\circ}< 90^{\circ}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

1.A= $\sin^{4}x + \cos ^{4}x$

2.D= $\tan ^{2}x + \cot ^{2}x$

Bài 2: Cho $\Delta ABC$ ABC vuông tại A. Chứng minh rằng:

1.$\sin ^{2007}\widehat{B} + \cos \widehat{B}< \frac{5}{4}$

2. $\sin ^{2007}\widehat{B} + \cos ^{2008}\widehat{B}< 1$

Cho tam giác ABC có góc A = $60^{\circ}$ và I là tâm đường tròn nội tiếp. Trên các tia BA, CA theo thứ tự lấy cấc điể E, F sao cho BE = CF = BC. Chứng minh 3 điểm I, E, F thẳng hàng