cho các số thực không âm x,y thỏa mãn x²+y²+(3x-2)(y-1)=0.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:                                                  $P=x^{2}+y^{2}+x+y+8\sqrt{4-x-y}$

mấy bài này trong sách của Võ Quốc Bá Cẩn và sáng tạo bất đẳng thức có hết

 cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x+y+z=1.

Tìm max , min của S=$\sqrt{}\frac{{1-x}}{{1+x}}+\sqrt{\frac{1-y}{1+y}}+\sqrt{\frac{1-z}{1+z}}$

 Cho $x,y,z$ là các số thực thuộc khoảng $(0;1)$.CMR
\begin{equation}\frac{1}{x(1-y)}+\frac{1}{y(1-z)}+\frac{1}{z(1-x)}\geq \frac{3}{xyz+(1-x)(1-y)(1-z))} \label{eq:1}\end{equation}

cho $x,y,z\epsilon \sqsubset 1;2\sqsupset$ .Tìm Max :

$A=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

 cho 3 số thức dương a,b,c thuộc đoạn [a:b] mà $\beta -\alpha \leq 2$ .CMR

$\sqrt{ab+1}+\sqrt{bc+1}+\sqrt{ca+1}> a+b+c$

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$ mà bạn

 cho a,b,c là các số dương a,b # 0 , ab=1.CMR:

$\frac{4}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq 4$

$$MA^{2}+MB^{2}=90\Leftrightarrow (MA-MB)^{2}+2MAMB=90$ \Leftrightarrow AB^{2}+2MAMB=90$

 Ta có MAMB=MT² với MT là tiếp tuyến từ M đến (C) và MT²=MI²-R²

Do đó tìm được AB , bài toán quy về viết PTĐT qua M cắt đt (C) tại A,B với AB biết .

Từ GT suy ra: $3\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant 4$

$P=\sum \frac{a^{4}}{a^{2}b+2a^{2}c}\geqslant \frac{(\sum a^{2})^{2}}{a^{2}b+2\sum a^{2}c}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3(\sqrt{\sum a^{2}}\sqrt{\frac{(\sum a^{2})^{2}}{3}})}=\sqrt{\frac{\sum a^{2}}{3}}\geqslant 1$

từ GT suy ra như thế nào bạn , tớ quan tâm mỗi cái đấy

cho a,b,c dương thỏa mãn $3(a^{4}+b^{4}+c^{4})-7(a^{2}+b^{2}+c^{2})+12=0$ . Tìm Min

P=  $\frac{a^{2}}{b+2c}+\frac{b^{2}}{c+2a}+\frac{c^{2}}{c+2a}$

cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ . CMR

   $\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq \frac{9}{2}$

 

  cho a,b,c,d dương thỏa mãn $\frac{1}{2+a^{2}}+\frac{1}{2+b^{2}}+\frac{1}{2+c^{2}}+\frac{1}{2+d^{2}}=1$

 CMR $(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})(\frac{1}{b}+\frac{1}{d})\leq \frac{4}{\sqrt{3}}$

   cho a,b là các số dương thỏa mãn a²+b²=5. CMR

$a^{3}+b^{6}\geq 9$

Áp dụng BDT cauchy-scharz ta được BĐT tương đương

$\sqrt{(\sum (b+2c+3a))(\sum \frac{a}{(a+2b+3c)(b+2c+3a)}) }\leq \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sqrt{(6(a+b+c)(\sum \frac{a(c+2a+3b)}{(a+2b+3c)(b+2c+3a)(c+2a+3b)})}\leq \sqrt{\frac{3}{2}}$ . Khai triển và rút gọn ta được BĐT tương đương :

$a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)\geq 0 \Leftrightarrow -(a-b)(b-c)(c-a)\geq 0$

không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c \Rightarrow a-b\geq 0 ,b-c\geq 0, c-a\leq 0$ , từ đây suy ra đpcm.

  Dùng pp điều kiện cần , điều kiện đủ. Đk cần : giả sử hệ cho có cặp nghiệm duy nhất (x,y) , suy ra (-x,-y-2) là nghiệm của hệ , dẫn tới hệ có nghiệm duy nhất khi x=0, y=-1 , từ đây suy ra a . Đk đủ là thay a vừa tìm đc rồi giải hệ .

 sử dụng bdt cauchy-schwarz vế trái , quy đồng vế phải ta đưa bdt đã cho về CM $\frac{(x+y+z)^{2}}{xy+yz+zx}\geq \frac{5(x^{2}+y^{2}+z^{2})+4(xy+yz+zx)}{(x+y+z)^{2}}$ , bdt này thuần nhất nên chuẩn hoá $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\Rightarrow xy+yz+zx=\frac{(x+y+z)^{2}-1}{2}$ , thay vào và rút gọn ta được bất đẳng thức trở thành CM $(x+y+z)^{2}\leq 3$ (luôn đúng do $(x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) =3$ )

     Ta có $9(xy+yz+zx)\leq 3(x+y+z)^{2}\leq (a^{2}+2)(1+\frac{(a+b)^{2}}{2}{})$  , việc còn lại cm $(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(1+\frac{(a+b)^{2}}{2})$ , phân tích rút gọn thu đc $(bc-1)^{2}\geq 0$ , luôn đúng nên Bdt được cm

nghiệm là 2 đặt nhân tử (x-2)^2 , còn lại chuyển 1 vế nhân liên hợp

cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.CMR

$\frac{1}{5-6bc}+\frac{1}{5-6ca}+\frac{1}{5-6ab}\leq 1$

cho x,y,z dương.CMR

$\sum \frac{x^{3}}{x^{3}+(y+z)^{3}}\geq \frac{1}{3}$

cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1.CMR

$\sum \frac{a}{(a+1)(b+2)}\geq \frac{1}{2}$

BDT không đúng thay thử a=2,b=c=1/2

cho $\mathbb{P}x=(1+x+x^{2})^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{2n-1}x^{2n-1}+a_{2n}x^{2n}$ .Tính  tổng:

 $S=a_{0}+a_{2}+...+a_{2n-2}+a_{2n}$

 

 cho a,b,c là các số thực dương:

CMR:

$\sum \frac{1}{(a+b)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ca)^{3}}$