Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi d là đường trung trực của BC. Gọi T là điểm chính giữa cung BAC; M là một điểm bất kì trên d. Gọi I, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABM và ACM. Chứng minh bốn điểm A, I, K, T cùng thuộc một đường tròn.

Cho đa giác đều $A_{1}A_{2}...A_{n}$ tâm O. P là 1 điểm bên trong đa giác. $P_{1}$, $P_{2}$ , ..., $P_{n}$ lần lượt là hình chiếu của P lên các cạnh $A_{1}A_{2}$ , $A_{2}A_{3}$ , ... , $A_{n}A_{1}$ . Chứng minh rằng: $\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{PP_{i}}=\frac{n}{2}\overrightarrow{PO}$

Tìm các số nguyên dương $x$ và $y$ sao cho $x^{2}+1\vdots y$ và $y^{3}+1 \vdots x^{2}$.

Đâu thấy đường nào song song, bạn sửa lại đề xem .Chỉ thấy là $HH\perp  OO'$

Mình vẽ ra nó song song mà bạn, H và H' lần lượt là trực tâm tam giác ABM và CDM.

Cho (O) và (O') có bán kính khác nhau cắt nhau tại M và N. Gọi AB, CD là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn với A và C thuộc (O) còn B và D thuộc (O'). Gọi H và H' lần lượt là trực tâm tam giác ABM và CDM. Chứng minh rằng OO' song song với HH'.

Cho tam giác nhọn ABC có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với cạnh BC tại D. Phân giác góc IDC cắt CI tại M, phân giác góc IDB cắt BI tại N. Chứng minh góc BAN bằng góc IAM.

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại I. Từ một điểm P trên đoạn AC vẽ PM song song với CB (M thuộc đoạn AB) và PN song song với AD (N thuộc đoạn CD). CM cắt BN tại L. Gọi E và F lần lượt là trung điểm AD và BC. Chứng minh EF song song với IL.

Từ điểm P bên trong góc xOy vẽ đường thẳng vuông góc với PO cắt Ox và Oy lần lượt tại A và B. Gọi A' là hình chiếu của A trên Oy, B' là hình chiếu của B trên Ox. 1 đường tròn bất kì đi qua 2 điểm O và P cắt tia Ox tại M, cắt tia Oy tại N. Gọi H là trực tâm tam giác OMN. Chứng minh A', H, B' thẳng hàng.

Từ điểm M bên ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến MA, MB tới (O). Lấy điểm N trên cung nhỏ AB của đường tròn O. AN cắt MB tại Q, BN cắt MA tại S. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp của 3 tam giác MNO, SAN và QBN cùng nằm trên một đường thẳng.

Cho $Q=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x+y+z}$.

Tìm giá trị nguyên dương của x,y,z để Q đạt giá trị dương nhỏ nhất.

Mình thấy nghiệm xấu xấu sao í   hay là đề sai 

http://www.wolframal...(2x+1)(2x+3)=18

Mình cũng nghĩ vậy, vì đặt ẩn phụ cũng không đưa về tích được.

Giải phương trình $(x+2)^{2}(2x+1)(2x+3)=18$.

Thật không, bạn hãy kiểm tra bằng máy tính Casio đi  Xét hiệu cái đó trừ 1/2007 thì hiệu dương mà >_<

Xin lỗi nhé! Minh sai đề! Cám ơn bạn! Mình đã sửa rồi đó bạn!

Bạn có thể thấy bài toán sai ngay .Với k=6021 mà a=1;b=2;c=10 thì bất đẳng thức ban đầu vẫn đúng bạn coi lại đi

Khi k=6021, a=1, b=2, c=10 thì BDT sai mà bạn.

Cho $a,b,c,k> 0$ thoả $\frac{a}{c+kb}+\frac{b}{a+kc}+\frac{c}{b+ka}\geqslant \frac{1}{2007}$

Chứng minh rằng nếu BĐT đúng với mọi a,b,c thì $0< k\leqslant 6020$

Cho $(x+\sqrt{1+y^{2}})(y+\sqrt{1+x^{2}})=1$. (x,y là các số thực)

C/m: $(x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=1$

Cho các số a, b, c, d thỏa mãn:

$a^{2}+b^{2}+\left ( a-b \right )^{2}=c^{2}+d^{2}+(c-d)^2$.

Chứng minh rằng: $a^{4}+b^{4}+(a-b)^{4}=c^{4}+d^{4}+\left ( c-d \right )^{4}$

Ta có: $a^2+b^2+(a-b)^2=c^2+d^2+(c-d)^2$

$\Rightarrow 2(a^2+b^2)-2ab=2(c^2+d^2)-2cd \Rightarrow a^2+b^2-ab=c^2+d^2-cd$

$\Rightarrow a^4+b^4+3a^2b^2-2a^3b-2ab^3=c^4+d^3+3c^2d^2-2c^3d-2cd^3$

$\Rightarrow 2(a^4+b^4+3a^2b^2-2a^3b-2ab^3)=2(c^4+d^3+3c^2d^2-2c^3d-2cd^3)$

$\Rightarrow a^4+b^4+(a-b)^4=c^4+d^4+(c-d)^4$ (đpcm)

 

Ta có $A=\frac{(\sqrt{3x}-1)^{2}}{\sqrt{3x}-2}=\frac{3x-2\sqrt{3x}+1}{\sqrt{3x}-2}=\frac{(\sqrt{3x}-2)^{2}+2(\sqrt{3x}-2)-7}{\sqrt{3x}-2}$

$=>A=\frac{(\sqrt{3x}-2)(\sqrt{3x}-2+2)-7}{\sqrt{3x}-2}$

$=>A=\sqrt{3x}-\frac{7}{\sqrt{3x}-2}$

  Vậy để A nguyên

=> $\sqrt{3x}$ nguyên (**) và$\frac{-7}{\sqrt{3x}-2}$ nguyên(*)

Ta sẽ phân tích (*) trước

Ở (*) khi xét giá trị ta được $x\in \left \{ 3;27;\frac{1}{3} \right \}$

Thử các giá trị trên vào (**) ta thấy mọi giá trị ở (*) đều thoả mãn

 Vậy ta có $x\in \left \{ 3;27;\frac{1}{3}$

Khi x=1 thì $A=-2$ vẫn nguyên mà bạn.

Cho $A=\frac{(\sqrt{3x}-1)^{2}}{\sqrt{3x}-2}$.

Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. AD là phân giác góc HAC. Gọi M là trung điểm AC, MD cắt AH tại E. Chứng minh rằng BE//DA.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\sqrt{x^{2}-6x+2y^{2}+4y+11}+\sqrt{x^{2}+2x+3y^{2}+6y+4}$

Chứng minh:

$\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{25}}> 7$

Cho mình hỏi là có dạng tổng quát hay không?

Cho tam giác ABC có góc A bằng tổng góc B và 2 lần góc C. Biết 3 cạnh của tam giác là 3 số tự nhiên liên tiếp, tính AB, BC, CA.

Cho $(x-y)^{2}\leqslant(y-z)^{2}\leqslant(z-x)^{2}$

Chứng minh

$(x-y)^{2}\leqslant \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}$

Cho a,b,c là 3 số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

$\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{(c-a)^{2}}\geqslant 2$