*cho a,b,c>0. cmr: $(1+\frac{a}{b})^{n}+(1+\frac{b}{a})^{n}\geq 2^{2n+1}$

với mọi a,b dương. Cmr: $m\sqrt[m]{a} +n\sqrt[n]{b}\geq (m+n)\sqrt[m-n]{ab}$

cho a,b,c dương và a+b+c=1. Tìm GTLN của S= $\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{a+c}$

 

BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ

Trong nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức ở cấp THPT, ta thường bắt gặp các Bất đẳng thức phụ , các Bổ đề nhỏ.
Có khi các Bất đẳng thức, Bổ đề đó ta có thể dễ dàng nghĩ tới để sử dụng. Nhưng cũng có khi ta băn khoăn không hiểu vì sao lại sử dụng bất đẳng thức phụ đó và đôi khi ta không biết về nó.
Chính vì vậy, mình mở topic này để cùng anh em VMF thảo luận, thu thập, tổng hợp các Bất đẳng thức phụ.
Biết càng nhiều Bất đẳng thức phụ xem như ta có thêm nhiều vũ khí, khi cần có thể đem ra dùng để đối phó với các bài toán Bất đẳng thức.
Rất mong được mọi người ủng hộ.

* Một số yêu cầu nhỏ:
- Các Bất đẳng thức phụ đưa ra phải có hình thức ngắn gọn.
- Cách chứng minh các Bất đẳng thức phụ đó cần rõ ràng, mạch lạc, càng ngắn gọn càng tốt.
- Mọi người đưa BĐT phụ lên nếu có thể thì chứng minh luôn.
- Mọi người có thể post nhiều cách chứng minh bổ đề.
- Topic ứng dụng các BĐT phụ này sẽ được mở sau khi đã có số lượng BĐT phụ phong phú.

Hy vọng mọi người tham gia nhiệt tình để tổng hợp thành một tài liệu hay cho VMF.

 

các anh cho em xin các ứng dụng của nguyên lí dirichlet trong giải BĐT ạ, e xin cám ơn

chuẩn cmnr, nếu các bạn ủng hộ mình sẽ post tiếp các bài tập hay khác

cmr: với n nguyên dương và n không là số chính phương => $\sqrt{n}$ là số vô tỉ

gợi ý: nếu không biết làm có thể sử dụng tính chất của số nguyên tố

cmr: với n nguyên dương và n không là số chính phương => $\sqrt{n}$ là số vô tỉ

cho đường tròn (O;R) và hai đường kính AB vuông góc CD. Trên cung nhỏ DB, lấy điểm N ( N khác B và D). Gọi M là giao điểm của CN và AB và DN = R, gọi E là giao điểm của AN và CD. Tính ED, EC theo R

dùng phương pháp quy nạp không hoàn toàn được không ạ???

$$\sqrt{1^2\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1^2+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+....+\sqrt{1^2+\frac{1}{1998^2}+\frac{1}{1999^2}}+\sqrt{1^2+\frac{1}{1999^2}+\frac{1}{2000^2}}$$

bài 1: $\left\{\begin{matrix} (m-1)x-my=3m-1& & \\ 2x-y=m+5 & & \end{matrix}\right.$

tìm m để hệ đã cho thỏa mãn $S=x^{2}+y^{2}$

bài 2: $\left\{\begin{matrix} (m+1)x+my=2m-1 & & \\ mx-y=m^{2}-2& & \end{matrix}\right.$

tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn $P=x.y$ đạt GTLN

bài 3: $\left\{\begin{matrix} 2x-y=m-1 & & \\ 3x+y=4m+1 & & \end{matrix}\right.$

tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn $x+y> 1$

bài 4: $\left\{\begin{matrix} x+my=m+1 & & \\ mx+y=3m-1 & & \end{matrix}\right.$

tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn : $A=x.y$ đạt GTNN

bài 5: trong mặt phẳng toạ độ:

a) vẽ tập hợp các điểm thỏa mãn phương trình

$\left | x-1 \right |+\left | y+2 \right |=1$

b) tìm giá trị của M để phương trình có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} \left | x-1 \right |+\left | y-2 \right |=1 & & \\ (x-y)^{2}+m(x-y-1)-x+y=0 & & \end{matrix}\right.$

mời các anh giải giúp em ạ

$x\sqrt{y-9}+y\sqrt{x-9}=\frac{5}{6}xy$

Bài 2:

Ta có : $1+3^2+3^4+3^6=820\equiv 0(mod10)$

$\Rightarrow 3^{0}+3^{2}+3^{4}+3^{6}+3^{8}+.....3^{2008}=\left ( 1+3^2+3^4+3^6 \right )+3^{8}\left ( 1+3^2+3^4+3^6 \right )+3^{2000}\left ( 1+3^2+3^4+3^6 \right )+3^{2008}\equiv 3^{2008}\equiv \left ( 3^4 \right )^{502}\equiv 1(mod10)$

anh ơi phiền anh giúp em luôn bài này nha http://diendantoanho...-tích-tam-giác/

1/ So sánh:

Biết: $A= \frac{2009}{2010}+\frac{2010}{2011}+\frac{2011}{2012}$

$B=\frac{2009+2010+2011}{2010+2011+2012}$

2/ Tìm chữ số tận cùng của tổng :$3^{0}+3^{2}+3^{4}+3^{6}+3^{8}+.....3^{2008}$ giả thích vì sao??

3/ Cho a,b thỏa mãn: $ab+\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})}=\sqrt{2014}$

tìm giá trị biểu thức : $P=a\sqrt{1+b^{2}}+b\sqrt{1+a^{2}}$

4/ Tìm x,y biết:

$2x\sqrt{y-9}+3y\sqrt{x-9}=\frac{5}{6}xy$

mời các anh giúp em ạ

1/ Tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). P,Q,N là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC, COA, AOB. CMR:$OP+OQ+ON \geq 3R$

2/cho hình thang ABCD có $\angle A=\angle D=90^{\circ}$, 2 đường chéo vuông góc với nhau tại O

+CMR: hình thang này có chiều cao bằng trung bình nhân của 2 đáy

+ cho AB=9, CD=16, tính diện tích ABCD.

Bài 1:  cho hình vuông ABCD có độ dài a trên các cạnh AD và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho $\angle MBN = 45^{\circ}$ . BM và BN cắt AC lần lượt tại E và Fa

a) cmr: 4 điểm M,E,N,F cùng thuộc một đường tròn

b) MF và NF cắt nhau tại H, BH cắt MN tại I tính độ dài BI theo a

c) Xác định vị trí của M, N sao cho diện tích MDN đạt GTLN

Bài 2: cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M là trung điểm của OB. N là trung điểm của cạnh CD

a) cmr: $\angle AMN = 45^{\circ}$ suy ra  4 điểm A,M,N,D cùng thuộc một đường tròn và AN > MD

b) trên cạnh AB và AD lần lượt lấy các điểm I và K sao cho AI = A. Từ A vẽ AP vuông góc DI tại P. AP cắt  BC tại Q. Cmr: 5 điểm C,D,K,P,Q cùng thuộc một đường tròn

Bài 3: cho 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau của đường tròn (O;R) và M là một điểm di động trên đường tròn này

a) cmr: tổng các bình phương khoản cách từ M đến 2 đường kính trên bằng 1 hằng số và tính hằng số đó

b)cmr: tổng khoản cách từ M đến 2 đường kính đã cho không vượt quá khoảng cách giữa B và C

c) tìm các vị trí của điểm M trên đường tròn để tổng các khoản cách đến 2 đường kính trên lớn nhất

Em xin phiền các anh chị trên diễn đàn giúp em ạ!!!

cho hai đường tròn (O;R) và (O;r) với R>r. Một điểm M cố định trên (O;r) qua M ta vẽ được 2 đường thẳng vuông góc một đường thẳng cắt (O;r) tại A đường kia cắt (O;R) tại B và C

cmr: 1/ khi hai đường thẳng quay xung quanh M thì tổng $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}=2(R^{2}+r^{2})$

2/ trọng tâm của tam giác ABC là điểm cố định

chỉ em các bác ơi, bí rồi

có ai giúp em k ạ

cho điểm I cố định nằm trong đường tròn (O;R) (I  $\neq$ 0). Đặt OI=a, hai đoạn AC và BD vuông góc với nhau tại I và di động quanh I. Gọi M,N thứ tự là hình chiếu của O trên AC, BD

1/cmr:  $OM^{2}+ON^{2}$ không đổi

2/cmr: $AC^{2}+BD^{2}$ không đổi

3: xác định vị trí dây AC, BD để:

a) AC +BD lớn nhất, nhỏ nhất

b) diện tích ABCD lớn nhất, nhỏ nhất

1/cho đường tròn (O;R) và 1 dây cung AB cố định. M là trung điểm di động trên đường tròn. Vẽ hình bình hành MABC tìm quỹ tích điểm C

2/ Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn (O;R). R là điểm di động trên đường tròn O. Gọi M,I lần lượt là trung điểm của AB và OA

+ CMR: IM = $\frac{R}{2}$ . Suy ra M thuộc một đường cố định

+ CMR: OA -R  $\leq$ A $\leq$ OA+R

có ai giúp em hk

dạ đúng rồi ạ, đề ghi thế đấy anh

dk chưa vậy a

ý của em là tính BC theo a phải không????

dạ đúng rồi ạ, đề ghi thế đấy anh

dạ a là anpha