Đến nội dung

John Carterer nội dung

Có 49 mục bởi John Carterer (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#510156 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 01-07-2014 - 15:54 trong Tài liệu tham khảo khác

Đây là bộ đề thi đề nghị các trường cho kì thi Olympic 30-4 toán 10 năm 2001. Em nên đăng từng đề vào từng chủ đề riêng để dễ thảo luận.

Vâng  :luoi: tại em đặt chủ đề sai




#510150 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 01-07-2014 - 15:25 trong Tài liệu tham khảo khác

Trường: THPT Lê Quý Đôn (TPHCM)

Bài 1: Giải các phương trình:

1) $\frac{25}{\sqrt{x-5}}+\frac{1}{\sqrt{y-z}}+\frac{1369}{\sqrt{z-606}}=86-\sqrt{x-5}-\sqrt{y-3}-\sqrt{z-606}$

2) $\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2x+1}+\frac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+4x+1}=\frac{5}{6}$

Bài 2: Chứng minh rằng:

$$\frac{\sqrt{27-24\sin48^{\circ}}}{6+24\sin8^{\circ}}> \frac{\sin \frac{\pi}{14}\sqrt{\cos \frac{\pi}{7}}}{1-\sin\frac{\pi}{14}}$$

Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên có $4$ chữ số $\overline{abcd}$ sao cho: $\overline{ab};\overline{ac}$ là các số nguyên tố và $b^{2}=\overline{cd}+b-c$

Bài 4: Gọi $m, n, p$ là $3$ nghiệm thực của phương trình

                   $ax^{3}+bx^{2}+cx-a=0$                 $\left ( a\neq 0 \right )$

Chứng minh rằng: $\frac{\sqrt{2}}{m}+\frac{\sqrt{3}}{n}-\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{p}\leq m^{2}+n^{2}+p^{2}$

Dấu $"="$ xảy ra khi nào?




#510145 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 01-07-2014 - 15:09 trong Tài liệu tham khảo khác

Trường: THPT Chuyên Lê Hồng Phong (TPHCM)

Bài 1: Tìm tất cả các nghiệm số thực của phương trình:

$$64x^{6}-112x^{4}+56x^{2}-7= 2\sqrt{1-x^{2}}$$

Bài 2: Cho $n-$ giác đều cạnh $a$. Một điểm $M$ ở trong đa giác này. Gọi $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ đến các cạnh của đa giác.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+...+\frac{1}{x_{n}}> \frac{2\pi}{a}$

 




#510143 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 01-07-2014 - 15:03 trong Tài liệu tham khảo khác

Trường: THPT Hùng Vương (Gia Lai)

Bài 1: Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} \frac{x+\sqrt{x^{2}-y^{2}}}{x-\sqrt{x^{2}-y^{2}}}=\frac{9x}{5}\\ \frac{x}{y}=\frac{5+3x}{6(5-y)} \end{cases}$$

Bài 2: Gọi $A$ là hập hợp các số nguyên tố $p$ sao cho phương trình $x^{2} +x +1=py$ có nghiệm nguyên $x, y$

Chứng minh rằng $A$ là tập vô hạn.

Bài 3: Cho $n$ số thực dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}$         $\left ( n\in \mathbb{N}^{*} \right )$

Chứng minh bất đẳng thức:

$$\frac{1}{a_{1}}+\frac{2}{a_{1}+a_{2}}+\frac{3}{a_{1}+a_{2}+a_{3}}+...+\frac{n}{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}< 4\left ( \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}} +...+\frac{1}{a_{n}}\right )$$

Bài 4: Cho $\Delta ABC$. Chứng minh rằng nếu $\Delta ABC$ có góc lớn nhất là $C$ thì trọng tâm của nó nằm bên trong đường tròn có đường kính là $AB$




#510142 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 01-07-2014 - 14:54 trong Tài liệu tham khảo khác

Trường: THPT Thị xã Sa Đéc (Đồng Tháp)

Bài 1: Giải phương trình:

$$\sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}}\left [ \sqrt{(1+x)^{3}}-\sqrt {(1-x)^{3}} \right ]= \frac{2}{\sqrt{3}}+\sqrt{\frac{1-x^{2}}{3}}$$

Bài 2: Cho $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ là các số tự nhiên đôi một khác nhau và các ước số nguyên tố của chúng không lớn hơn $3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}< 3$$

Bài 3: Tính giá trị:

$$A=\frac{1}{\sin^{2} \frac{\pi }{7}}+\frac{1}{\sin^{2} \frac{2\pi}{7}}+\frac{1}{\sin^{2}\frac{4\pi}{7}}$$

Bài 4: Tìm tập hợp những điểm $M(x;y)$ sao cho tọa độ $(x;y)$ của chúng thỏa mãn bất đẳng thức sau đây với mọi giá trị thực của $t$:

$$\sin^{2}(t+x)+\sin(t+y)+\sin(t+2x-y)+\frac{1}{4}> 0$$

Bài 5: Chứng minh rằng hình bình hành là tứ giác lồi duy nhất có tính chất: Tổng các khoảng cách từ mỗi đỉnh đến hai cạnh không đi qua nó là như nhau




#510139 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 01-07-2014 - 14:18 trong Tài liệu tham khảo khác

Trường:THPT Thị xã Cao Lãnh (Đồng Tháp)

Bài 1: Chứng minh rằng:

$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\leq 2-\frac{x^{2}}{4}$               $\forall x\in \left [ 0;1 \right ]$

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $u=x^{2} + y^{2}$, biết rằng $x$ và $y$ thỏa mãn phương trình

$$\left ( x^{2}-y^{2}+1 \right )^{2}+4x^{2}y^{2}-5x^{2}-2y^{2}+2= 0$$

Bài 3: Giải phương trình:

$$\sqrt{\frac{1}{16}+\cos^{4} x-\frac{1}{2} \cos^{2} x}+\sqrt{\frac{9}{16}+\cos^{4} x-\frac{3}{2}\cos^{2} x}=\frac{1}{2}$$

Bài 4: Cho $\Delta ABC$ $(\widehat A=90^{o})$. Kẻ $AD\bot BC$, đường thẳng nối $O_{1}O_{2}$ cắt $AB, AC$ tương ứng tại $K, L$ ($O_{1}O_{2}$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABD$ và $\Delta ACD$)

Chứng minh rằng: $S_{ABC}\geq 2S_{AKL}$




#510071 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 30-06-2014 - 23:42 trong Tài liệu tham khảo khác

Trường: THPT Chuyên Lương Thế Vinh (Đồng Nai)

Bài 1: Cho hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa $\forall x\in R: 4f\left [ f\left ( x \right ) \right ]=2f\left ( x \right )+x$.

Chứng minh: $f\left ( 0 \right )=0$.

Bài 2: Cho $30$ số $x_{1},x_{2},...,x_{30}\in \mathbb{Z}^{+}$ thỏa $\sum \limits_{j=1}^{30}x_{j}= 2001$

Đặt $P=\prod \limits_{j=1}^{30}x_{j}$.

Tìm $min P$ và $max P$.

Bài 3: Tìm các số nguyên $a, b, c$ thỏa mãn bất đẳng thức:

$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+3< ab+3b+2c$$

Bài 4: Cho $\Delta ABC$ và cho ba số $\alpha ,\beta ,\gamma$ thỏa:

          $\alpha +\beta +\gamma \neq 0$,

          $\alpha \beta AB^{2}+\beta \gamma BC^{2}+\gamma \alpha CA^{2}=0$

Gọi $G$ là điểm thỏa điều kiện: $\alpha \vec{GA}+\beta \vec{GB}+\gamma \vec{GC}=\vec{0}$

Hãy tìm quỹ tích của $G$.




#510067 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 30-06-2014 - 23:18 trong Tài liệu tham khảo khác

Trường:THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Đà Nẵng)

Bài 1: Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $2$, $p-2 \vdots 3$.

Gọi $S=\left \{ y^{2}-x^{3}-1 | x,y\in \mathbb{Z},0\leq x,y\leq p-1 \right \}$.

Chứng minh rằng có tối đa $p-1$ phần tử của $S$ chia hết cho $p$

Bài 2: Cho $\Delta ABC$, một điểm $M$ nằm trong tam giác này. $MA$ cắt $BC$, $MB$ cắt $CA$, $MC$ cắt $AB$ lần lượt tại $C_{2}, A_{2}, B_{2}$. Đặt $S, S_{1}, S_{2}$ lần lượt là diện tích tam giác $ABC, A_{1}B_{1}C_{1}, A_{2}B_{2}C_{2}$. Chứng minh: $S\cdot S_{2}\geq S{_{1}}^{2}$

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, hai trung tuyến $AA'$ và $BB'$. Chứng minh:

$$sin\alpha +sin\beta \leq \frac{2}{\sqrt{3}}$$

với $\alpha = \widehat {A'AC}, \beta = \widehat {B'BC}$

Bài 4: Tìm các số thực $a$ và $b$ thỏa mãn các điều kiện sau:

$a< b\leq 2000\cdot 2001$ và $\left ( x+y+z-2000\cdot 2001 \right )^{2}\leq \frac{xyz}{500\cdot 2001}$

với mọi $x,y,z\in \left [ a;b \right ]$ và $(b-a)$ đạt giá trị lớn nhất.




#510061 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 30-06-2014 - 23:04 trong Tài liệu tham khảo khác

Trường: THPT Chuyên Nguyễn Du (Đăk Lăk)

Bài 1: Giải phương trình: $2\left ( x^{2}+2 \right )=5\sqrt{x^{3}+1}$

Bài 2: Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{3}{2}\\ xy+yz+zx=-\frac{3}{4}\\ xyz=\frac{1}{8} \end{cases}$$

Bài 3:Cho $\Delta ABC$ và ba phương trình:

$x^{2}-a_{i}x+b_{i}=0$              $(i)$                    $(i=1,2,3)$

Biết $\tan \frac{A}{4}, \tan \frac{B}{4}$ là hai nghiệm của $(1)$; $\tan \frac{B}{4},\tan \frac{C}{4}$ là hai nghiệm của $(2)$ và $\tan \frac{C}{4},\tan \frac{A}{4}$ là hai nghiệm của $(3)$.

Xác định hình dạng $\Delta ABC$ để biểu thức

$$P=\left ( 1+a_{1}+b_{1} \right )\left ( 1+a_{2}+b_{2} \right )\left ( 1+a_{3}+b_{3} \right )$$

dat giá trị lớn nhất.Tính giá trị đó.

Bài 4: Xác định vị trí điểm $M$ nằm trong $\Delta ABC$ để $a \cdot MA^{2} + b \cdot MB^{2} + c \cdot MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.Tính giá trị đó theo $a, b, c$ với $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$.




#509947 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 30-06-2014 - 09:11 trong Tài liệu tham khảo khác

Trường:THPT Chuyên Lý Tự Trọng (Cần Thơ)

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$f\left ( x,y,z \right )= \frac{\left | 2001\cdot 2002-xy \right |}{(x+y)z}+\frac{\left | 2001\cdot 2002-yz \right |}{(y+z)x}+\frac{\left | 2001\cdot 2002-zx \right |}{(z+x)y}$$

$\forall x, y, z\in \left [ 2001;2002 \right ]$

Bài 2: Giả sử $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - mx + 1 = 0$ với $m$ là số nguyên lớn hơn $3$. Chứng minh với mọi số nguyên dương $n$ thì: $S_{n}= x{_{1}}^{n}+{x_{2}}^{n}$ là số nguyên và không chia hết cho $m-1$

Bài 3: Giải phương trình: 

$$\left ( 8x^{3} +1\right )^{3}=162x-27$$

Bài 4: Trên đường tròn $(O;R)$ cho năm điểm phân biệt $A, B, C, D, E$ theo thứ tự đó sao cho $AB = BC = DE = R$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $AE$. Hãy xác định giá trị lớn nhất có thể có của chu vi $\Delta BMN$




#509946 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 30-06-2014 - 09:09 trong Tài liệu tham khảo khác

Trường:THPT Chuyên Trần Hưng Đạo (Bình Thuận)

Bài 1: Cho dãy số gồm $2n+1$ số nguyên dương liên tiếp sao cho tổng các bình phương của $n+1$ số hạng đầu bằng tổng các bình phương của $n$ số hạng còn lại. Hỏi trong dãy số đó có số $2001$ không?

Bài 2: Giả sử $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai số: $\sqrt[n]{m}$, $\sqrt[m]{n}$ không vượt quá $\sqrt[3]{3}$

Bài 3: Cho $\Delta ABC$ có: $\widehat{A}<\widehat{B}<\widehat{C}=90^{o}$. Gọi $O$ và $I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp. Biết $\Delta BIO$ vuông, hãy tính tỉ số giữa độ dài các cạnh $\Delta ABC$




#509945 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 30-06-2014 - 09:07 trong Tài liệu tham khảo khác

Trường:THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định)

 

Bài 1: Cho $x, y, z\in \left [ 1;2 \right ]$. Tìm giá trị lớn nhất của:

 

$$P=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$$

 

Bài 2: Giải phương trình:

 

$$3(\sqrt{2x^{2}+1}-1)=x(1+3x+8\sqrt{2x^{2}+1})$$

 

Bài 3: Cho $M$ nằm trong $\Delta ABC$. Đặt $x=MA$, $y=MB$, $z=MC$ và $p, q, r$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ đến $BC, CA, AB$. Chứng minh rằng:

 

$$\frac{1}{p\cdot q\cdot r}\geq (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})$$

 

Bài 4: Trên mặt phẳng cho $2001$ điểm, trong đó $3$ điểm bất kì không thẳng hàng. Nối hai điểm bất kì bởi một đoạn thẳng sao cho không có hai đoạn nào cắt nhau (tại các điểm khác hai đầu mút). Tìm số đoạn thẳng lớn nhất kẻ được 




#509944 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 30-06-2014 - 09:05 trong Tài liệu tham khảo khác

Trường:THPT Bến Tre

 

Bài 1:

 

a) Cho $\Delta ABC$ và $3$ số dương $x, y, z$. Chứng minh rằng:

 

$$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 2yz \cos A+2xz \cos B+2xy \cos C$$

 

b) Tính các góc của $\Delta ABC$ biết:

 

$$\frac{140}{59} \sin^{2} \frac{A}{2}+\frac{84}{59} \sin^{2} \frac{B}{2}+\frac{60}{59} \sin^{2} \frac{C}{2}=1$$

 

Bài 2: Cho phương trình $mx^{2} - mpx + p = 0$          $(m \neq 0)$

 

1. Tìm hệ thức giữa $p$ và $m$ để hai nghiệm của phương trình trên là $\sin$ và $\tan$ của một góc $\alpha$

 

2. Tính $m$ theo $\alpha$

 

3. Nếu $mp=-\frac{1}{2}$, tính $\alpha$

 

Bài 3: Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $a$ sao cho với mọi số nguyên $k$, các số $m=k^{2} + k - 3a$ và $n=k^{2} + k + 1 - 3a$ đều không chia hết cho $2000^{2001}$

 

Bài 4: Chứng minh rằng: $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ ta có:

 

$$(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{4})...(1+\frac{1}{n})< 3$$

 




#509943 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 30-06-2014 - 09:02 trong Tài liệu tham khảo khác

Trường:THPT Chuyên Bạc Liêu

 

Bài 1: Giải hệ phương trình sau trên $\mathbb{R}^{+}$

 

$$\begin{cases} xyz=32\\ x^{2}+4xy+4y^{2}+2z^{2}=96 \end{cases}$$

 

Bài 2: Cho $A,B,C$ là 3 góc trong một tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

$$M=\sin \frac{A}{2}\cdot \sin \frac{B}{2}\cdot \sqrt{\sin \frac{C}{2}}$$

 

Bài 3: Tồn tại hay không cặp số nguyên dương $a,b$ thỏa:

 

$$(30a+b)(a+30b)=4^{2001}$$

 

Bài 4: Cho $P$ là điểm nằm trong $\Delta ABC$ sao cho

 

$$\widehat{APB}-\widehat{ACB}=\widehat{APC}-\widehat{ABC}$$

 

Gọi $D,E$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $APB,ACP$.

 

Chứng minh $AP, BD, CE$ đồng quy

 




#509941 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 30-06-2014 - 09:01 trong Tài liệu tham khảo khác

Trường:THPT Lê Quý Đôn (BR-VT)

 

Bài 1: Giải hệ phương trình:

 

$$\begin{cases} \sqrt{x+30.4}+\sqrt{y-2001}=2121\\ \sqrt{x-2001}+\sqrt{y+30.4}=2121 \end{cases}$$

 

Bài 2: Cho $\Delta ABC$ tùy ý, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

$$M=2\sqrt{3}\sin B\sin C+\sin A-2(\sin B + \sin C)$$

 

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, hãy dựng $\Delta XYZ$ nội tiếp $\Delta ABC$ $(X\in BC,Y\in CA,Z\in AB)$ sao cho $\Delta XYZ\sim \Delta ABC$ và $S_{XYZ}$ nhỏ nhất

 

Bài 4: Cho tập hợp $A$={${0,1,2,3,4,5}$}. Có bao nhiêu số gồm $8$ chữ số lấy từ $A$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:

 

1.Chữ số $0$ có mặt $3$ lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần

 

2.Các số lập được đều phải chẵn và không bắt đầu bởi nhóm các chữ số $1,0,0,0$

 




#509939 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 30-06-2014 - 09:00 trong Tài liệu tham khảo khác

Trường: THPT Thoại Ngọc Hầu (An Giang)

 

Bài 1: Cho lục giác đều $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}$ tâm $I$, hình tròn $(O;R)$ bất kì chứa $I$. Các tia $IA_{i}$ $(1\leq i\leq 6)$ cắt $(O)$ tại $B_{i}$  $(1\leq i\leq 6)$. Tính theo $R$ tổng:

 

$$IB{_{1}}^{2}+IB{_{2}}^{2}+IB{_{3}}^{2}+IB{_{4}}^{2}+IB{_{5}}^{2}+IB{_{6}}^{2}$$

 

Bài 2: Cho $n$ số: $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\in [0;1]$

 

Chứng minh rằng: $\left ( 1+a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n} \right )^{2}\geq 4\left (a{_{1}}^{2}+a{_{2}}^{2}+a{_{3}}^{2}+...+a{_{n}}^{2} \right )$

 

Bài 3: $\Delta ABC$ có $AB=c$, $BC=a$, $CA=b$. Chứng minh rằng:

 

$$a^{2}(1-\sqrt{3} \cot A)+ b^{2}(1-\sqrt{3} \cot B)+c^{2}(1-\sqrt{3}\cot C)\geq 0$$

 

Bài 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

 

$$10+11^{x}+6^{x}=(\sqrt{3})^{y!}$$

 




#509924 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 30-06-2014 - 00:03 trong Tài liệu - Đề thi

Trường:THPT Chuyên Lý Tự Trọng (Cần Thơ)

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$f\left ( x,y,z \right )= \frac{\left | 2001\cdot 2002-xy \right |}{(x+y)z}+\frac{\left | 2001\cdot 2002-yz \right |}{(y+z)x}+\frac{\left | 2001\cdot 2002-zx \right |}{(z+x)y}$$

$\forall x, y, z\in \left [ 2001;2002 \right ]$

Bài 2: Giả sử $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - mx + 1 = 0$ với $m$ là số nguyên lớn hơn $3$. Chứng minh với mọi số nguyên dương $n$ thì: $S_{n}= x{_{1}}^{n}+{x_{2}}^{n}$ là số nguyên và không chia hết cho $m-1$

Bài 3: Giải phương trình: 

$$\left ( 8x^{3} +1\right )^{3}=162x-27$$

Bài 4: Trên đường tròn $(O;R)$ cho năm điểm phân biệt $A, B, C, D, E$ theo thứ tự đó sao cho $AB = BC = DE = R$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $AE$. Hãy xác định giá trị lớn nhất có thể có của chu vi $\Delta BMN$




#509923 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 29-06-2014 - 23:36 trong Tài liệu - Đề thi

Trường:THPT Chuyên Trần Hưng Đạo (Bình Thuận)

Bài 1: Cho dãy số gồm $2n+1$ số nguyên dương liên tiếp sao cho tổng các bình phương của $n+1$ số hạng đầu bằng tổng các bình phương của $n$ số hạng còn lại. Hỏi trong dãy số đó có số $2001$ không?

Bài 2: Giả sử $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai số: $\sqrt[n]{m}$, $\sqrt[m]{n}$ không vượt quá $\sqrt[3]{3}$

Bài 3: Cho $\Delta ABC$ có: $\widehat{A}<\widehat{B}<\widehat{C}=90^{o}$. Gọi $O$ và $I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp. Biết $\Delta BIO$ vuông, hãy tính tỉ số giữa độ dài các cạnh $\Delta ABC$




#509920 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 29-06-2014 - 23:19 trong Tài liệu - Đề thi

Trường:THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định)

Bài 1: Cho $x, y, z\in \left [ 1;2 \right ]$. Tìm giá trị lớn nhất của:

$$P=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$$

Bài 2: Giải phương trình:

$$3(\sqrt{2x^{2}+1}-1)=x(1+3x+8\sqrt{2x^{2}+1})$$

Bài 3: Cho $M$ nằm trong $\Delta ABC$. Đặt $x=MA$, $y=MB$, $z=MC$ và $p, q, r$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ đến $BC, CA, AB$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{p\cdot q\cdot r}\geq (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})$$

Bài 4: Trên mặt phẳng cho $2001$ điểm, trong đó $3$ điểm bất kì không thẳng hàng. Nối hai điểm bất kì bởi một đoạn thẳng sao cho không có hai đoạn nào cắt nhau (tại các điểm khác hai đầu mút). Tìm số đoạn thẳng lớn nhất kẻ được




#509917 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 29-06-2014 - 23:08 trong Tài liệu - Đề thi

Trường:THPT Bến Tre

Bài 1:

a) Cho $\Delta ABC$ và $3$ số dương $x, y, z$. Chứng minh rằng:

$$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 2yzcosA+2xzcosB+2xycosC$$

b) Tính các góc của $\Delta ABC$ biết:

$$\frac{140}{59}sin^{2}\frac{A}{2}+\frac{84}{59}sin^{2}\frac{B}{2}+\frac{60}{59}sin^{2}\frac{C}{2}=1$$

Bài 2: Cho phương trình $mx^{2} - mpx + p = 0$          $(m \neq 0)$

1. Tìm hệ thức giữa $p$ và $m$ để hai nghiệm của phương trình trên là $sin$ và $tang$ của một góc $\alpha$

2. Tính $m$ theo $\alpha$

3. Nếu $mp=-\frac{1}{2}$, tính $\alpha$

Bài 3: Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $a$ sao cho với mọi số nguyên $k$, các số $m=k^{2} + k - 3a$ và $n=k^{2} + k + 1 - 3a$ đều không chia hết cho $2000^{2001}$

Bài 4: Chứng minh rằng: $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ ta có:

$$(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{4})...(1+\frac{1}{n})< 3$$

 




#509915 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 29-06-2014 - 22:55 trong Tài liệu - Đề thi

Trường:THPT Chuyên Bạc Liêu

Bài 1: Giải hệ phương trình sau trên $\mathbb{R}^{+}$

$$\begin{cases} xyz=32\\ x^{2}+4xy+4y^{2}+2z^{2}=96 \end{cases}$$

Bài 2: Cho $A,B,C$ là 3 góc trong một tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$M=sin\frac{A}{2}\cdot sin\frac{B}{2}\cdot \sqrt{sin\frac{C}{2}}$$

Bài 3: Tồn tại hay không cặp số nguyên dương $a,b$ thỏa:

$$(30a+b)(a+30b)=4^{2001}$$

Bài 4: Cho $P$ là điểm nằm trong $\Delta ABC$ sao cho

$$\widehat{APB}-\widehat{ACB}=\widehat{APC}-\widehat{ABC}$$

Gọi $D,E$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $APB,ACP$.

Chứng minh $AP, BD, CE$ đồng quy




#509913 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 29-06-2014 - 22:47 trong Tài liệu - Đề thi

Sau đây là tuyển tập đề thi Olympic mình vừa sưu tầm được

Trường:THPT Lê Quý Đôn (BR-VT)

Bài 1: Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} \sqrt{x+30.4}+\sqrt{y-2001}=2121\\ \sqrt{x-2001}+\sqrt{y+30.4}=2121 \end{cases}$$

Bài 2: Cho $\Delta ABC$ tùy ý, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$M=2\sqrt{3}sinBsinC+sinA-2(sinB + sinC)$$

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, hãy dựng $\Delta XYZ$ nội tiếp $\Delta ABC$ $(X\in BC,Y\in CA,Z\in AB)$ sao cho $\Delta XYZ\sim \Delta ABC$ và $S_{XYZ}$ nhỏ nhất

Bài 4: Cho tập hợp $A$={${0,1,2,3,4,5}$}. Có bao nhiêu số gồm $8$ chữ số lấy từ $A$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:

1.Chữ số $0$ có mặt $3$ lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần

2.Các số lập được đều phải chẵn và không bắt đầu bởi nhóm các chữ số $1,0,0,0$




#509901 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 29-06-2014 - 22:24 trong Tài liệu - Đề thi

Trường: THPT Thoại Ngọc Hầu (An Giang)

Bài 1: Cho lục giác đều $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}$ tâm $I$, hình tròn $(O;R)$ bất kì chứa $I$. Các tia $IA_{i}$ $(1\leq i\leq 6)$ cắt $(O)$ tại $B_{i}$  $(1\leq i\leq 6)$. Tính theo $R$ tổng:

$$IB{_{1}}^{2}+IB{_{2}}^{2}+IB{_{3}}^{2}+IB{_{4}}^{2}+IB{_{5}}^{2}+IB{_{6}}^{2}$$

Bài 2: Cho $n$ số: $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\in [0;1]$

Chứng minh rằng: $\left ( 1+a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n} \right )^{2}\geq 4\left (a{_{1}}^{2}+a{_{2}}^{2}+a{_{3}}^{2}+...+a{_{n}}^{2} \right )$

Bài 3: $\Delta ABC$ có $AB=c$, $BC=a$, $CA=b$. Chứng minh rằng:

$$a^{2}(1-\sqrt{3}cotgA)+ b^{2}(1-\sqrt{3}cotgB)+c^{2}(1-\sqrt{3}cotgC)\geq 0$$

Bài 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

$$10+11^{x}+6^{x}=(\sqrt{3})^{y!}$$




#509898 Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 môn toán

Đã gửi bởi John Carterer on 29-06-2014 - 22:10 trong Tài liệu - Đề thi

Sau đây là tuyển tập đề thi Olympic mình vừa sưu tầm được




#503072 Bài hình thứ 23

Đã gửi bởi John Carterer on 31-05-2014 - 21:37 trong Hình học

a/ Xét hai tam giác vuông $OAM$ và $OBI$ ta có $\widehat {AOM}=\widehat{OBI}$=1v, $\widehat {OAM}=\widehat {OBI}$ và $OA=OB$

Vậy $\Delta OAM=\Delta OBI$

=>$OM=OI$

Tứ giác $OMHI$ có tổng hai góc đối $\widehat {IOM} + \widehat {MHI}=$ 1v + 1v=2v

Vậy nội tiếp được trong một đường tròn.

b/ *Chứng minh $OK=OH$

Theo câu a) tứ giác $OMHI$ nội tiếp mà $OM=OI$ nên $\stackrel\frown{OM}=\stackrel\frown{OI}$

=> $\widehat {MHO}=\widehat {OHK}= \frac {1} {2} \widehat {MHK} = \frac {1} {2} \cdot 90^{\circ} = 45^{\circ}$

$\Delta {OKH}$ có một góc nhọn là $45^{\circ}$ nên là tam giác vuông cân => $OK=KH$

*Tìm tập hợp các điểm $K$

1/Phần thuận: $\widehat {OKB} =$ $90^{\circ}$, từ $K$ ta luôn luôn nhìn đoạn thẳng cố định $OB$ dưới góc $90^{\circ}$, do đó $K$ chạy trên đường tròn đường kính $OB$

Giới hạn: Khi $M \equiv O$ thì $K \equiv O$, khi $M \equiv B$ thì $H \equiv B$, do $\Delta {OKH}$ vuông cân nên khi đó $K \equiv K_0$ là điểm chính giữa của nửa đường tròn đường kính $OB$

Vậy $K$ chỉ chuyển động trên cung $\stackrel\frown {OK_0}$ ($\frac {1} {4}$ đường tròn đường kính $OB$)

2/Phần đảo: Đảo lại lấy một điểm $K'$ bất kì thuộc $\stackrel\frown {OK_0}$, $BK'$ cắt đường thẳng $AO$ tại $I'$, $\widehat {OK'B}= 90^{\circ}$ (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $OB$) suy ra $K'$ là chân của đường vuông góc hạ từ $O$ xuống $BI'$

3/Kết luận: Tập hợp các điểm $K$ là cung tròn $OK_0$ bằng $\frac {1} {4}$ đường tròn đường kính $OB$

File gửi kèm