Cho $\Delta ABC$ có AB<BC. Vẽ ra ngoài tam giác 2 tam giác đều ABE và BCF. H là trực tâm $\Delta ABE$. M là trung điểm AC. Chứng minh : EM<FM

Cho $\Delta ABC$ có AB<BC. Vẽ ra ngoài tam giác 2 tam giác đều ABE và BCF. H là trực tâm $\Delta ABE$. Chứng minh : EM<FM

15)Cho $\Delta ABC$ có AB<BC. Vẽ ra ngoài tam giác 2 tam giác đều ABE và BCF. H là trực tâm $\Delta ABE$. M là trung điểm AC. Chứng minh : EM<FM

Cho $\Delta ABC$ có AB<BC. Vẽ ra ngoài tam giác 2 tam giác đều ABE và BCF. H là trực tâm $\Delta ABE$. M là trung điểm AC. Chứng minh : EM<FM

Cho $\Delta ABC$ có AB<BC. Vẽ ra ngoài tam giác 2 tam giác đều ABE và BCF. H là trực tâm $\Delta ABE$. M là trung điểm AC. Chứng minh : EM<FM

Cho $\Delta ABC$ có AB<BC. Vẽ ra ngoài tam giác 2 tam giác đều ABE và BCF. H là trực tâm $\Delta ABE$. M là trung điểm AC. Chứng minh : EM<FM

Cho tam giác ABC cân ở A có AB=a, góc A=20 độ. Trung trực cạnh AB cắt AC tại M; trung trực cạnh Ac cắt AB tại N. BM cắt CN tại P. Gọi E, Q, F lần lượt là trung điểm của các đoạn PN, PB, CM

a)    Tâm giác PBC là tam giác gì?

b)   Chứng minh EQF là tam giác đều

c)    Chứng minh chu vi tam giác EQF<3/4 a

Cho a+b+c=2001 và $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{1}{10}$. Tính $S=\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}$

Cho $\Delta ABC$ (AB=AC). Từ điểm M bất kì thuộc cạnh BC dựng đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của PB, QC. Đường thẳng chứa đường cao AH của $\Delta ABC$ cắt đường thẳng MD tại I. CMR khi M chuyển động trên cạnh BC thì đường trung trực của DE luôn đi qua 1 điểm cố định.

Cho $\Delta ABC$ (AB=AC). Từ điểm M bất kì thuộc cạnh BC dựng đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của PB, QC. Đường thẳng chứa đường cao AH của $\Delta ABC$ cắt đường thẳng MD tại I. CMR khi M chuyển động trên cạnh BC thì đường trung trực của DE luôn đi qua 1 điểm cố định.

Bài 1: Cho $\Delta ABC$ cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng d song song với BC. Trên đó lấy điểm D khác A. CMR chu vi $\Delta DBC > \Delta ABC$

Bài 2: Goi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của $\Delta ABC$. Giả sử một trong các cạnh DE, EF, DF dài hơn các cạnh AD, BE, CF. CMR $\Delta ABC$ phải là tam giác có một góc tù

Bài 1: Cho $\Delta ABC$ cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng d song song với BC. Trên đó lấy điểm D khác A. CMR chu vi $\Delta DBC > \Delta ABC$

Bài 2: Goi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của $\Delta ABC$. Giả sử một trong các cạnh DE, EF, DF dài hơn các cạnh AD, BE, CF. CMR $\Delta ABC$ phải là tam giác có một góc tù

Bài 1: Cho $\Delta ABC$ có phân giác AD, $\widehat{B}>\widehat{C}$ . Chứng minh rằng :

a) $\widehat{ADC}>\widehat{ADB}; \widehat{ADC}-\widehat{ADB}=\widehat{B}-\widehat{C}$

b) So sánh DC và DB

Bài 2: Cho $\Delta ABC$ cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng d song song với BC. Trên đó lấy điểm D khác A. Chứng minh rằng chu vi $\Delta DBC > \Delta ABC$$\Delta DBC > \Delta ABC$.

Bài 3: Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của $\Delta ABC$. Giả sử một trong các cạnh DE, EF, FD dài hơn một trong các cạnh AD, BE, CF. Chứng minh rằng $\Delta ABC$ phải là tam giác có một góc tù.

Cho $\Delta ABC$ . Biết $\hat{B}-\hat{C}=90^{\circ}$ . Kẻ phân giác AD và đường cao AH. Chứng minh AH=DH

Tìm x,y là số tự nhiên sao cho $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=y^{2}$

Tìm x,y là số tự nhiên sao cho $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=y^{2}$

Tìm x,y là số tự nhiên sao cho $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=y^{2}$

 Cho tam giác ABC là tam giác bất kì; M,N thứ tự thuộc cạnh AB và AC sao cho AM=CN . CMR Trung trực của MN đi qua điểm O (O là giao điểm của phân giác góc A và trung trực cạnh AC)

Tìm x,y là số tự nhiên sao cho $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=y^{2}$

Bài 1. Cho dãy tỉ số bằng nhau $\frac{4}{x+1}=\frac{2}{y-2}=\frac{3}{z+2}$

          Tìm x, y, z $\epsilon$ Q, biết $2y^{2}-(z+5)^{2}=-25$

Bài 2: Tìm x, y, là số tự nhiên sao cho: $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=y^{2}$

Bài 3: CMR với mọi số n nguyên dương thì

          $S=3^{2n+1}+40n-67$ đều chia hết cho 64

Bài 4: CMR nếu 2n+1 và 3n+1 (n $\epsilon$ N) đều là số chính phương tì n $\vdots$ 40

Bài 5: Tìm các số nguyên tố có 4 chữ số $\overline{abcd}$ sao cho $\overline{ab},\overline{ac}$ là các số nguyên tố và $b^{2}=\overline{cd}+b-c$

Bài 6: Cho các số a, b, c, d đôi một khác nhau và khác 0, thỏa mãn $\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}$

          Hãy tính giá trị của biểu thức: $P=\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )$

Bài 7: a/Tìm x $\epsilon$ Z sao cho $A=\frac{9-x}{x-4}$ đạt giá trị nhỏ nhất

          b/Chứng minh rằng nếu: $\frac{\overline{ab}}{\overline{ba}}=\frac{a+1}{b+1}$ thì $\overline{ab}\vdots 9$ hoặc $\overline{ab}\vdots     11$

Bài 8: Cho 4 số không âm a, b, c, d thỏa mãn a+b+c+d=1. Gọi S là tổng các giá trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số có được từ 4 số này. Hỏi S có thể đạt được giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Bài 1 : Cho $\Delta ABC$ cân tại A có $\hat{A}=40^{\circ}$ . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ tia Bx sao cho $\widehat{CBx}=10^{\circ}$. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD=BA. Tính số đo góc $\widehat{BDC}$

Bài 1: Chứng minh rằng

Nếu $\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}$ thì x, y, z tương ứng tỉ lệ với a, b, c

Bài 2 : Cho 4 số $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ khác 0 sao cho $a_{2}^{2}=a_{1}.a_{3}$ ; và $a_{3}^{2}=a_{2}.a_{4}$

Chứng minh rằng: $\frac{a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}}{a_{2}^{3}+a_{3}^{3}+a_{4}^{3}}=\frac{a_{1}}{a_{4}}$

Bài 3 : Tìm các số a và b sao cho $a+b=\left | a \right |-\left | b \right |$

Bài 4 : Tìm các số x, y, z biết:

$\frac{x}{5}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}$ và $3x^{2}-5y^{2}+6z^{2}=216$

Bài 5 : Cho $\frac{3x-2y}{4}=\frac{2z-4x}{3}=\frac{4y-3z}{2}$

Chứng minh rằng $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$

Bài 1: Cho $\Delta ABC$ có $\hat{B}=60^{\circ}$; $\hat{C}=30^{\circ}$ . Lấy điểm D trên cạnh AC sao cho $\widehat{ABD}=20^{\circ}$ và điểm E trên cạnh AB sao cho $\widehat{ACE}=10^{\circ}$ . Gọi K là giao điểm của BD và CE. Tính các góc của  $\Delta KDE$

Bài 2: Cho  $\Delta ABC$ có $\hat{A}<90^{\circ}$. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, vẽ AE ^ AB và AE=AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ AF^ AC và AF=AC. Kẻ AD ^ BC (D $\epsilon$ BC), AD cắt EF tại M. Kẻ AH ^ EF (H $\epsilon$  EF), AH cắt BC tại K. Chứng minh rằng M là trung điểm của EF; K là trung điểm của BC

B1. Cho $a, b, c$ là 3 số khác 0 thỏa mãn $2005a + 2006b = 2007c$. CMR trong 3 biểu thức
$a^2+2bc,3b^4+4ca,5c^6-6ab$ có ít nhất 1 biểu thức có giá trị dương.
B2. Tìm các số nguyên $x, y, z$ thỏa mãn $|x-y| + |y-z| + |z-t| + |t-x| = 2013$.
B3. Giả sử $k_1, k_2, k_3$ là các số nguyên dương, $k_1+k_2+k_3$ là số lẻ, các số $x_1, x_2, x_3$ thỏa mãn

$$\frac{|x_1-x_2|}{k_1}=\frac{|x_2-x_3|}{k_2}=\frac{|x_3-x_1|}{k_3}$$

CMR : $x_1=x_2=x_3$.

TOÁN 7

B1. Cho a, b, c là 3 số # 0 thỏa mãn 2005a + 2006b = 2007c. CMR trong 3 biểu thức
a^2+2bc,3b^4+4ca,5c^6-6ab có ít nhất 1 biểu thức có giá trị dương.
B2. Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn |x-y| + |y-z| + |z-t| + |t-x| = 2013.
B3. Tìm các số tự nhiên m & n thỏa mãn đẳng thức sau :
A=1/4 (m-n)(m+n)[1+(-1)^(m+n) ]= 2013
B4. Biết rằng x và y là các số tự nhiên có 2005 chữ số. Số x chỉ viết bởi các chữ số 9 và số y chỉ viết bởi các chữ số 8, Hãy so sánh tổng các chữ số của tích xy và tổng các chữ số của x^2
B5. Giả sử k1, k2, k3 là các số nguyên dương, k1+k2+k3 là số lẻ, các số x1, x2, x3 thỏa mãn(|x1-x2|)/k1=(|x2-x3|)/k2=(|x3-x1|)/k… CMR : x1=x2=x3.
B6. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn xyz=9+x+y+z.
B7. Tìm các số hữu tỉ (x;y) thỏa mãn x+y và 1/x+1/y đồng thời là 2 số nguyên dương