Cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=3$ . Tìm GTNN $P=\frac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{b^3}{\sqrt{1+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{1+a^2}}$

Cho a,b,c>0 . CM : $\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\geq a+b+c$

Cho $abc=1$ .Tìm Min A=$\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{a+2c}+\frac{c}{b+2a}\geq 1$

$P=(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)+(x+y)^{2}-6(x+y)-2xy$ (1)

theo giả thiết ta có

$x^{2}+y^{2}=x+y+xy\Rightarrow (x+y)^{2}-(x+y)=3xy$ (2)

cũng từ giả thiết ta suy ra

$x^{2}-(y+1)x+y^{2}-y=0\Rightarrow \frac{3-2\sqrt{3}}{3}\leq y\leq \frac{3+2\sqrt{3}}{3}$

tương tự ta cũng có $\frac{3-2\sqrt{3}}{3}\leq x\leq \frac{3+2\sqrt{3}}{3}$

suy ra $\frac{6-4\sqrt{3}}{3}\leq x+y\leq \frac{6+4\sqrt{3}}{3}$

 

từ (1)(2) suy ra

$P=\frac{4}{3}(x+y)^{2}-\frac{16}{3}(x+y)$ 

đặt t=x+y

ta có 

$3P=f(x)=4t^{2}-16t$

đến đây chỉ cần xét bảng biến thiên của hàm f(x) với $t\epsilon \begin{bmatrix} \frac{6-4\sqrt{3}}{3}, \frac{6+4\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix}$ là sẽ tìm được Max ,Min

Sao lại ra chỗ này hả bạn ?? Mình k hiểu ?? 

1,Cho x,y thay đổi thỏa mãn : $x+y+xy=x^2+y^2$ .Tìm min, max của $P=x^3+y^3+x^2+y^2-6(x+y)$,