Cho $a\in[1;2]$. Tìm $k$ tốt nhất để bất đẳng thức sau đúng $$(2^a+3^a+4^a)(6^a+12^a+8^a)\le k24^{a}.$$

-----

Bài toán trên xuất phát từ bài toán sau: Cho $a\in[1;2]$. CMR $(2^a+3^a+4^a)(6^a+12^a+8^a)< 24^{a+1}$.

Là một bài tập mình gặp trong quá trình tổng hợp tài liệu. Mình không thích các đánh giá trong bài tập này, nó không chặt nên mới đặt ra bài tập trên. Do BĐT mình kém nên chưa tìm ra được số $k$ tốt hơn và gửi lên đây các bạn đánh giá giúp.

Em nghĩ ta nên trung thành với đề cũ anh ạ, câu này trong đề thi thử của chuyên Hà Tĩnh và em cũng công nhận là nó quá lỏng

Thêm nữa, khi biến đổi: $BDT\Leftrightarrow (2^{a}+3^{a}+4^{a})(\frac{1}{2^{a}}+\frac{1}{3^{a}}+\frac{1}{4^{a}})\leqslant k\Leftrightarrow (\frac{2}{3})^{a}+(\frac{3}{2})^{a}+(\frac{3}{4})^{a}+(\frac{4}{3})^{a}+(\frac{2}{4})^{a}+(\frac{4}{2})^{2}\leqslant k-3$

Với $a\in \left [ 1;2 \right ]$ và dùng : $a^{x}\leqslant a$ khi  $a\leqslant 1; x\geqslant 1$

                                                    $a^{x}\geqslant a$ khi $a;x\geqslant 1$

Ta cũng tìm được $k\geqslant 12\tfrac{17}{18}$ rồi

Còn khi nhập biểu thức lên máy tính thì trên đoạn $1$ và $2$, nó đồng biến và em nghĩ $k\geqslant 12\tfrac{41}{144}$

Nhưng chứng minh điều này thực sự.......khó

Mở rộng của bài trên: Cho $x,y,z$ dương và $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{x}{2+\sqrt{2x^{2}+4x-5}}+\frac{y}{2+\sqrt{2y^{2}+4y-5}}+\frac{z}{2+\sqrt{2z^{2}+4z-5}}$

Bài ....: Chứng minh rằng: $x+\sqrt{2(x^2-x+1)} \geq 1+\sqrt{x}$   $\forall x \geq 0$

Xét trường hợp $x\geqslant 1+\sqrt{x}$ thì BĐT hiển nhiên đúng

Trường hợp còn lại: $x\leqslant 1+\sqrt{x}$, đặt $\sqrt{x}=t\geqslant 0$, chuyển vế bình phương và rút gọn ta được:

$BDT\Leftrightarrow t^{4}+2t^{3}-t^{2}-2t+1\geqslant 0\Leftrightarrow (t^{2}+t-1)^{2}\geqslant 0$ (Luôn đúng), vậy trong cả hai trường hợp ta đều có ĐPCM

Giải bất phương trình:

$\frac{x+1}{x^{2}-x+2}+\frac{x^{2}-x+1}{x+2}\geqslant 1+\frac{x\sqrt{x-1}}{4}$

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn: $\sum \frac{1}{a^{4}+1}=1$. Tìm $GTNN$ của $P=\frac{abc(a+b+c)}{ab+bc+ca}$

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $abc=2\sqrt{2}$. Tìm $GTNN$ của: $P=\sum \frac{a^{6}+b^{6}}{a^{4}+b^{4}+a^{2}b^{2}}$

Cho phương trình: $2cosx-2sinx+sin.cosx-m=0$. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm thuộc đoạn $\left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ]$ 

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z \leqslant 3$.Tìm $GTNN$ của biểu thức: $P=\sum \frac{2}{x^{3}}+\sum \frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}$

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm $GTNN$ của biểu thức: $P=\sqrt{5-4x}+2\sqrt{4-2(x+y+z)}$

Cho $x,y$ thoả mãn: $(x^{2}+y^{2}+1)^{2}+3x^{2}y^{2}+1=4x^{2}+5y^{2}$. Tìm $GTNN$ và $GTLN$ của: 

$P=\frac{x^{2}+2y^{2}-3x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1}$

Cho $x,y,z$ thoả mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm $GTNN$ của:

$A=(xy+yz+2xz)^{2}-\frac{8}{3+xy+yz+2xz}$

Cho $x,y,z$ không âm thoả mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$. Tìm $GTNN$ của: 

$P=\frac{16}{\sqrt{\sum x^{2}y^{2}+1}}+\frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z}$

Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt[3]{y^{3}-1}=3 & & \\ x^{2}+y^{3}=82& & \end{matrix}\right.$

Cho các số thực dương $x,y$ thoả mãn: $x^{3}+y^{3}=x-y$. CMR: $x^{2}+4y^{2}< 1$ 

Cho $a,b,c >0$ và $ab+bc+ca=1$. Hãy chứng minh rằng:

$$\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}+\sqrt[3]{\frac{1}{b}+6c}+\sqrt[3]{\frac{1}{c}+6a }\leq\frac{1}{abc}$$

Xem tại đây

lời giả đâu anh nhỉ

Nhấn vào số 1 ở đầu bài

Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix} z^3+z(x-y)^2 = 16\\ y^3+y(z-x)^2 = 30\\ x^3+x(y-z)^2 = 2 \end{matrix}\right.$$

VMO 2004

Cho $x,y,z$ dương; $x+y+z=1$
CMR: $x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leqslant \frac{4}{3}$

$VT=x+\frac{1}{2}\sqrt{x.4y}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{x.4y.16z}\leqslant \frac{4}{3}(x+y+z)=\frac{4}{3}$

Cho $a,b,c$ dương Chứng minh các BDT:

a) $abc=8$. CMR: $\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}\geqslant \frac{4}{3}$

b) $\sum \sqrt{a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}}\geqslant \sum a\sqrt{2a^{2}+bc}$

Cho $a,b,c$ dương thoả mãn: $a+b+c=1$. CMR: $\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{\sqrt{abc}}{c+ab}\geqslant 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Giải phương trình: $ln(x^{2}+x+1)+x+x^{4}=0$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}(3y+8)=64 & & \\ x(y+1)(y^{2}+5y+7)=12+x& & \end{matrix}\right.$

Tìm $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}=m+1 & & \\ \sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}=1-2m& & \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+xy+1=4y & & \\ y(x+y)^{2}=2x^{2}+7y+2& & \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} xy+x+y=x^{2}-2y^{2} & & \\ x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y& & \end{matrix}\right.$