Ta có $2P=\sum \frac{2}{a^2+b^2+2}=3-\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}$

 

Áp dụng BĐT S.Vac

 

$\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\geqslant \frac{(\sum \sqrt{a^2+b^2})^2}{2(a^2+b^2+c^2+3)}=\frac{(a^2+b^2+c^2)+\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}}{a^2+b^2+c^2+3}$

 

Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\geqslant \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{(a^2+b^2+c^2)+\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}}{a^2+b^2+c^2+3}\geqslant \frac{3}{2}$

 

$\Leftrightarrow 2\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\geqslant a^2+b^2+c^2+9$. BĐT này luôn đúng vì theo Bunhiacopxki thì

 

$2\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\geqslant 2\sum (b^2+ac)\geqslant a^2+b^2+c^2+3\sum ab=a^2+b^2+c^2+9$

 

Do đó $2P\leqslant 3-\frac{3}{2}\rightarrow P\leqslant \frac{3}{4}$

Sao nghĩ ra được mấy cái đó ấy ?

5a) Nhân 2 lên sau đó làm giống bài 5b

7.b) Đặt $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a$

BĐT <=> $a^{2}-2-a=(a-2)(a+1)\geq 0$ ( Vì a $\geq$ 2)
c) T.Tự
8.http://diendantoanho...c21frac1c12a21/
9. a) bình phương 2 vế
b) Đâu rồi @@

10. BĐT phụ : $a^{5}+b^{5}\geq a^{2}b^{2}(a+b)=> a^{5}+b^{5}+ab \geq a^{2}b^{2}(a+b+c)=> \frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{a+b+c}$.

Thiết lập các BĐT t.tự sau đó cộng vế suy ra đpcm.

Từ PT 1 ta có : $\Delta = (3y+1)^{2}\rightarrow x=\frac{y-1-(3y+1)}{2}=-y-1$

                                                                    $x=\frac{y-1+3y+1}{2}=2y$ 
Rồi thay vào PT (2) giải.Ok!

$\Leftrightarrow (x-2y)^{2}+(y+1)^{2}=4\Leftrightarrow (y+1)^{2}\leq 4\Leftrightarrow y+1\geq -2\Leftrightarrow y\geq -3$

Dấu = xảy ra <=> x=2y=-6 

P/s : hehe đúng rồi

Đề phải là $(1+x-\sqrt{x^{2}-1})^{2007}+(1+x+\sqrt{x^{2}-1})^{2007}=2^{2008}$ ( Đk: $x\geq 1;x\leq -1$ )

Áp dụng BĐT Cauchy ta có $(1+x-\sqrt{x^{2}-1})^{2007}+(1+x+\sqrt{x^{2}-1})^{2007}\geq 2(\sqrt{2x+2})^{2007}$ 

Lại có $2(\sqrt{2x+2})^{2007}\geq 2(\sqrt{2.1+2})^{2007}=2^{2008}$

Dấu bằng xảy ra khi x=1

Đề đúng đó bạn.Bạn làm lại đi.

Em không phải toán thủ MSS.

Áp dụng BĐT Svac ta có: E = $\sum \frac{(\frac{1}{x})^{2}}{xy+xz}\geq \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}{2(xy+yz+xz)}=\frac{xy+yz+xz}{2}\geq \frac{3}{2}$( Cô si 3 số và xyz =1)

Dấu = xảy ra <=> x=y=z=1

MÌnh sử dụng $Cauchy$ ngược dấu:

$P=\sum (1-\frac{ab}{1+ab})=3-\sum \frac{ab}{1+ab}$

Ta sẽ cm  $\frac{ab}{1+ab}\leq \frac{1}{2}$

Ta có $\frac{ab}{1+ab}\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow 2ab\leq 1+ab\Leftrightarrow ab\leq 1$

Đúng vì $a,b,c>0$ và $abc=1$

Lập 3 cái như vậy suy ra $Min P=\frac{3}{2}$

Đoạn đó không đúng đâu nhá!

Tìm nghiệm dương.

$(1-x-\sqrt{x^{2}-1})^{2007}+(1+x+\sqrt{x^{2}-1})^{2007}=2^{2008}$

1.  Cho $x+y\geq 1$  $x>0$:

Tìm Min : $\frac{8x^{2}+y}{4x}+y^{2}$

2.  Cho x, y, z >0   x+y+z=9

Tìm Min : $\sum \frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}$

Cho a,b,c,d là các số thực không âm, không có 3 số nào đồng thời bằng 0. 

CMR: $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{a+c+d}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+d}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq 2$

Cách này có vẻ hay hơn.

Ta có : $\sqrt{\frac{b+c+d}{a}}\leq \frac{\frac{b+c+d}{a}+1}{2}=\frac{a+b+c+d}{2a}\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$

Thiết lập các BĐT tượng tự rồi cộng vế => đpcm

Bài 1 : a) $a^{3}+b^{3}+3ab=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}=1$

b) $1=x+2y\geq 2\sqrt{2xy}\Leftrightarrow \frac{1}{2}\geq \sqrt{2xy}\Leftrightarrow \frac{1}{4}\geq 2xy\Leftrightarrow xy\leq \frac{1}{8}$

Bài 3:b)

Áp dụng BĐT phụ : $\frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}$ ta có: 

$\sum \frac{1}{c+1}=\sum \frac{1}{(c+a)+(c+b)}\leq \frac{1}{4(c+a)}+\frac{1}{4(c+b)}\Leftrightarrow \sum \frac{ab}{c+1}\leq \sum (\frac{ab}{4(c+a)}+\frac{ab}{4(c+b)})=\frac{1}{4}$.

ĐK : $x\leq 1$

Đặt : $1-x=a$( a$\geq 0$ )

        $2-x=b$( b $\geq 0$ )

PT <=> $\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}=\sqrt[4]{a+b}$

     <=> $\sqrt[4]{ab}(4\sqrt{a}+6\sqrt[4]{ab}+4\sqrt{b})$=( mũ 4 lên )

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=0 & & \\ b=0& & \end{bmatrix}$

=> x = 1 

Đặt $17\sqrt{5}-38=(a\sqrt{5}+b)^{3}\Leftrightarrow a^{3}5\sqrt{5}+15a^{2}b+ab^{2}3\sqrt{5}+b^{3}=17\sqrt{5}-38\Leftrightarrow \sqrt{5}(5a^{3}+ab^{2})+(15a^{2}b+b^{3})=17\sqrt{5}-38\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5a^{3}+ab^{2} & =17\\ 15a^{2}b+b^{3} & =-38 \end{matrix}\right.$ Sau đó GHPT là ra

P/s: HPT đó mình chưa giải được bạn thông cảm

Đây là HPT đối xứng loại II . Đặt a=tb ta có:

$\left\{\begin{matrix} b^{3}(5t^{3}+1)=17 & & \\ b^{3}(15t^{2}+1)=-38& & \end{matrix}\right.$

Chia theo vế 2 pt và thu được : $190t^{3}+105t^{2}+38t+1=0$

Bấm máy ra nghiệm.Nhưng ngiệm vô tỉ @@

P/s : @Hamhoctoan: cái dạng số phức tạp như thế này mình ko cần phân tích ra mũ 3 đâu.

Chắc nó phải có cái gì đặc biết như lập phương lên chẳng hạn.

Giải phương trình :$2x^2+2x+2=\sqrt{3x^3+2x^2+2}+\sqrt{-3x^3+x^2-1+2x}$

Chắc đoạn này thừa à bạn ơi ?

Đặt : $2x^{3}-x+2=a$

        $x^{3}+2x=b$

PT <=> $3^{a}-3^{b}+a-b$ =0 

..Nếu a > b => VT > 0

..Nếu a < b => VT < 0

=> a=b

Đến đây là ổn rồi.....

Kể cả là $b$ tôi vẫn chưa hiểu, bạn giải thích giùm đi

$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\leq \frac{2}{\sqrt{xy}+1}\rightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\leq \frac{3}{\sqrt[3]{xyz}+1}\rightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{t+1}\leq \frac{4}{\sqrt[4]{xyzt}+1}$

Mình lấy mấy VD đó tự hiểu nhá   

P/s : mới sửa lại đó

Anh ơi tại sao từ bđt $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\leq \frac{2}{\sqrt{xy}+1}$ lại suy ra đc 

$\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}\leq \frac{3}{1+ab^2}$ chỉ em với em cảm ơn ạ

chỗ đó là b nhá. Chắc hiểu rồi chứ ?

Bài 154: Cho a,b,c >0 thỏa mãn : a+b+c=3

Chứng minh: $\sum \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\leq 1$

Ta có : $\widehat{BAH}=\widehat{BCE}$ ( cùng phụ với $\widehat{B}$ ) 

Mà : $\widehat{BCE}+\widehat{ECA}+\widehat{HAC}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{BAH}+\widehat{ECA}+\widehat{HAC}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{CEA}=90^{\circ}\Rightarrow$ CE là đường cao của ABC

Tương tự : BF là đường cao của ABC

=> AH , BF , CE đồng quy.

ĐK : $x\leq -3;x\geq -1$

PT <=> $\sqrt{x+1}(\sqrt{x+3}+\sqrt{x}-\sqrt{3x+1})=0$

Đến đây là ok rồi.

Bài 149:
Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=9$. Tìm GTLN của:
$A=\sum \frac{xy}{\sqrt{xy+2z}}$
P/s: có lẽ bài 149 đã có trên diễn đàn, nhưng hình như chưa ai giải được thì phải. Mình đăng lên để mọi người cùng thảo luận. Nếu đã có bạn đăng rồi thì thôi!

 

Mình nghĩ là x+y+z = 2 chứ nhỉ?

Thay x+y+z=2 vào ta có:

VT = $\sum \frac{xy}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\leq \sum \frac{1}{2}(\frac{xy}{z+x}+\frac{xy}{z+y})(BĐT phụ   ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2})=\frac{1}{2}(x+y+z)=1$ 

1.Tìm tất cả các cắp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn: $(x+y)^{3}=(x-y-6)^{2}$

À cái này hả.Ừ mình quên không nói,nhg mình nghĩ bài này phải thêm đk đó mới đủ,nếu không chỉ dừng lại ở $\geq \frac{x+y+z}{2}$ thôi bạn ạ.

Làm cách này cũng được nè:

VT=$\sum \frac{\frac{1}{a^{2}}}{a(b+c)}\geq \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}{2(ab+bc+ca)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{(abc)^{2}}}{2}=\frac{3}{2}$

P/S : thêm điều kiện abc = 1

Tại sao lại đoán đk cho min =17/4 hả bạn

Tại vì dấu = thường thường xảy ra <=> x=y.

Thay vào pt đầu là ra min ---> ....

ta có:

$\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\geq \sqrt{(a+b+c)^2+\left(\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\geq \sqrt{\left(a+b+c \right)^2+\frac{16}{81}\left(\frac{9}{a+b+c} \right)^2+\frac{65}{81}\left(\frac{9}{a+b+c} \right)^2}\geq \sqrt{2\sqrt{\frac{16}{81}.9^2}+\frac{65}{16}.\left(\frac{9}{2} \right)^2}=\frac{\sqrt{97}}{2}."="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}$

Đoạn này kiểu gì thế bạn?

Mincopski à bạn ?