1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(-1;4), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-3;0) và trung điểm cạnh BC là M(0;-3). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với M($\frac{9}{2};\frac{-3}{2}$) là trung điểm BC, phương trình đường cao từ A là x+3y-5=0. Gọi E, F là chân đường cao kẻ từ B, C. Tìm tọa độ đỉnh A, biết pt EF là 2x-y+2=0 

Chứng minh phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng.

Giải pt:

a)$x-2\sqrt{x-1}-(x-1)\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}-x}=0$

b)$x+3+\sqrt{1-x^{2}}=3\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$

c)$x+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-x^{2}+8x+7}+1$

Tìm m để pt có đúng 2 nghiệm thực: $\sqrt{x-3-2\sqrt{x-4}}+\sqrt{x+5-6\sqrt{x-4}}=m$

a)$\sqrt[3]{7x-8}+\sqrt{\frac{7-2x^{2}}{6}}=x$

b)$\sqrt[3]{3x^{2}-3x+3}+\sqrt{\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$

c) $\left\{\begin{matrix}

cm (P): $y=(m^{2}+2)x^{2}-(7m^{2}-3)x+12m^{2}-1$ đi qua 1 điểm cố định

giải phương trình $x^{2}+\frac{9x^{2}}{(3+x)^{2}}=7$

Cho hình vuông ABCD cạnh a. E là trung điểm BC, điểm F thuộc cạnh CD sao cho FC=2FD. Cho đường thẳng d không đi qua trọng tâm G của tam giác AEF. Tìm điểm M nằm trên d sao cho T=$MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$ là nhỏ nhất.

a) $\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}-x=0$

b) $\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2} - \frac{x+3}{5}=0$

c) $\sqrt{x^{2}+4x+7}+\sqrt{x^{2}+6x+14}+\sqrt{x+2}-6=0$

d) $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^{2}-14x-8=0$

e) $\left | x-2012 \right |^{3}+\left | 2013-x \right |^{4}-1=0$

f) $\sqrt{x+2015^{2}}+\sqrt{x+2012^{2}}-\sqrt{x+2014^{2}}-\sqrt{x+2013_{2}}=0$

1. Cho tam giác ABC  và điểm M không thuộc BC, CA, AB. A', B', C' theo thứ tự là giao điểm của AM, BM, CM và BC, CA, AB. X, Y, Z theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác MB'C', MC'A', MA'B'. Chứng minh rằng hoặc AX, BY, CZ đồng quy hoặc đôi một song song.

2. Cho tam giác ABC không cân, (I) là đường tròn nội tiếp. Đoạn IA cắt (I) tại A₁. Tiếp tuyến với (I) tại A₁ cắt BC tại A₂. Tươngtự có B₂, C₂. Chứng minh rằng A₂, B₂, C₂ thẳng hàng.

3. Cho tam giác ABC không cân, (O) là đường tròn ngoại tiếp. A₁ là giao điểm của đường thẳng qua O song song với BC và tiếp tuyuến với (O) tại A. Tươngtự có B₁, C₁. Chứng minh rằng A₁, B₁, C₁ thẳng hàng 

1.Tìm f: $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn 2f(f(n))+f(n)=3n+5

2.Tìm f: $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn 3 tính chất:

i) f(2)=2

ii) f(m.n)=f(m).f(n) $\forall m,n \in \mathbb{N}; (m,n)=1$

iii) f(n+1)>f(n) $\forall n\in \mathbb{N}$

3. Tìm f: $\mathbb{N}\rightarrow [1;+\infty ]$ thỏa mãn:

i)f(2)=2

ii)f(m.n)=f(m).f(n) $\forall m,n\in \mathbb{N}$

iii) f(n+1)>f(n)

Cho tam giác ABC và điểm O không thuộc BC, CA, AB. A₁, B₁, C₁ theo thứ tự là điểm đối xứng của A, B, C qua O. A₂, B₂, C₂ theo thứ tự thuộc các đường thẳng B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁ sao cho AA₂, BB₂, CC₂ đôi một song song. Chứng minh rằng A₂, B₂, C₂ thẳng hàng.

 Cho tam giác ABC. Đường thẳng ∆ không đi qua A, B, C và theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại A₁, B₁, C₁. A_b, A_c theo thứ tự là điểm đối xứng của A₁ qua AB, AC. A_a là trung điểm của A_bA_c. Các điểm B_b, C_c được xác định tương tự. Chứng minh rằng A_a, B_b, C_c thẳng hàng. 

 Cho tam giác ABC và điểm M không thuộc BC, CA, AB. AM, BM, CM theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại A₁, B₁, C₁. BC, CA, AB theo thứ tự cắt B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁ tại A₂, B₂, C₂. A₃, B₃, C₃ theo thứ tự là trung điểm của A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂. Chứng minh rằng A₃, B₃, C₃ thẳng hàng.

 Cho tam giác ABC và điểm M không thuộc BC, CA, AB. AM, BM, CM theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại A₁, B₁, C₁. BC, CA, AB theo thứ tự cắt B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁ tại A₂, B₂, C₂. A₃, B₃, C₃ theo thứ tự là trung điểm của A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂. Chứng minh rằng A₃, B₃, C₃ thẳng hàng.

Cho tam giác ABC, các điểm M, N thỏa mãn: $\overrightarrow{MN}= 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$. CM: MN luôn đi qua 1 điểm cố định

Bài toán 1. Cho hai đường thẳng ∆, ∆’. Các đường thẳng a, b, c đôi một song song và theo thứ tự cắt ∆ tại A, B, C. Các đường thẳng a’, b’, c’ đôi một song song và theo thứ tự cắt ∆’ tại A’, B’, C’. a, b, c theo thứ tự cắt a’, b’, c’ tại X, Y, Z. CMR nếu $\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}$ thì X, Y, Z thẳng hàng.

Bài toán 2. Cho tứ giác ABCD. O là giao điểm của AC và BD. M là điểm bất kì. Các điểm N, P theo thứ tự thuộc AC, BD sao cho MN//BC, MP//AD Chứng minh rằng trực tâm của các tam giác OAD, OBC, ONP thẳng hàng khi và chỉ khi M thuộc AB.

Bài toán 3. Cho tam giác ABC và đường thẳng ∆. X, Y, Z theo thứ tự là hình chiếu của A, B, C trên ∆. Các đường thẳng ∆_A, ∆_B, ∆_C theo thứ tự qua X, Y, Z và vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh rằng ∆_A, ∆_B, ∆_C đồng quy.

Bài toán 4. Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp (I) theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA, AB tại D, E, F. M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AI. IE, IF theo thứ tự cắt DF, DE tại P, Q. Chứng minh rằng MN vuông góc với PQ

Bài toán 5. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I) và $\widehat{BAD}=90^{\circ}$. BI, DI

theo thứ tự cắt AD, AB tại M, N. Chứng minh rằng AC vuông góc với MN.

Bài toán 6.  Cho tam giác ABC, trung tuyến AD. Đường thẳng ∆ vuông góc với AD. Điểm M chạy trên ∆. E, F theo thứ tự là trung điểm của MB, MC. Các điểm P, Q theo thứ tự thuộc AB, AC sao cho EP, FQ cùng vuông góc với ∆. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua M vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài toán 7. Cho tam giác ABC. O, I theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp. I_a, I_b, I_c theo thứ tự là tâm các đường tròn bàng tiếp đối diện với các đỉnh A, B, C. ∆ là đường thẳng bất kì. Chứng minh rằng

$d_{O}(I, \Delta )+d_{O}(I_{a}, \Delta)+d_{O}(I_{b}, \Delta)+d_{O}(I_{c},\Delta)=4d(O, \Delta)$

Chú ý.$d_{O}(M, \Delta)=\left\{\begin{matrix} d(M, \Delta)(1) & \\ -d(M, \Delta)(2)& \end{matrix}\right.$

(1) nếu M,O/  $\Delta$

(2) nếu M/O/ $\Delta$

Trên mặt phẳng cho 6 đường tròn mà tâm của 1 đường tròn bất kỳ nằm ngoài 5 hình tròn còn lại. Chứng minh không tồn tại 1 điểm P ở trong cả 6 hình tròn nói trên.

BC, tức là b, có phải là vecto đâu mà chuyển thành -CB được

"= BC.IA + CA.IB + AB.IC 

= - CB.IA + CA.IB + AB.IC "

Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I) với BC-=a, CA=b, AB=c. Chứng minh $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

tìm điều kiện của a để pt có ít nhất 1 nghiệm nguyên

$2x^{2}-(4a+\frac{11}{2})x+4a^{2}+7=0$

cho tam giác ABC có pg AD,BE cắt tại O sao Cho $\frac{OB}{OE}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}.\frac{OA}{OD}=\sqrt{3}$, tính các góc trong tam giác

Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm $(m^{2}+m-2)(x^{2}+4)^{2}-4(2m+1)x(x^{2}+4)+16x^{2}=0$

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại C nội tiếp (O, 4), D thuộc AB, DE vuông góc với AC, DF vuông góc với CB (E, F thuộc AC, BC) sao cho D=11, DF= 3. Tính $cos\widehat{DBC}$

(Xem lại đề ra - phần màu đỏ)

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, M thuộc DC, N thuộc BC sao cho BM = DN. I là gđ BM, DN. Chứng minh IA phân giác góc BID

Bài 3: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c($a\geq b\geq c$), $h_{a},h_{b},h_{c}$ lần lượt là các đường cao tương ứng. CM:

$\frac{h_{a}}{h_{_{b}}}+\frac{h_{b}}{h_{c}}+\frac{h_{c}}{h_{a}}\geq\frac{h_{b}}{h_{_{a}}}+\frac{h_{c}}{h_{b}}+\frac{h_{a}}{h_{c}}$

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

           Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

cho tứ giác ABCD. cm: diện tích ABCD nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{1}{2}$(AB.CD+BC.AD)

(gợi ý: sd định lý Ptoleme)