Nhầm rồi Thịnh ơi x+y+z=1 thì sao x=y=z=0

À nhầm thât, $x=y=z=\frac{1}{3}$.

Xét $\frac{1}{3}\geq x,y,z > 0$:

$\Rightarrow P\leq 0$

Xét $x,y,z\geq \frac{1}{3}$:

Dễ dàng CM BĐT sau ( bằng tương đương):

$\frac{3x-1}{x^{2}-1}\leq \frac{-81}{32}(x-\frac{1}{3})$

Xây dựng các BĐT tương tự rồi công lại theo vế.

Vậy $MAX P=0$ $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$.

Câu 3:

Giả sử $a_1\geq a_2\geq ...\geq a_n$

Như vậy thì:$\frac{1}{1-a_1}\geq \frac{1}{1-a_2}\geq ...\geq \frac{1}{1-a_n}$

Khi đó áp dụng BĐT Chebyshev ta được:

$\sum \frac{a_1^k}{1-a_1}\geq \frac{1}{n}.(\sum a_1^k)(\sum \frac{1}{1-a_1})\geq \frac{1}{n}.(\sum a_1^k)(\frac{n^2}{n-1})$

=> ĐPCM

Đề bài không cho $a_1,a_2,...,a_n\geq0$ (có thể nhỏ hơn 0 hay ,..) vậy liệu khi mũ k thì $a_1^k\geq a_2^k\geq ...\geq a_n^k$ có đúng không?

$$P=\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^2}{a(1-a^2)}+\frac{b^2}{b(1-b^2)}+\frac{c^2}{c(1-c^2)}$$
Xét hàm số $f(x)=x(1-x^2)$ với $x>0$
Ta có: $f'(x) =1-3x^2 ; f'(x) =0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{3}}>0$
Từ bảng biến thiên ta có $f(x)\le \frac{2}{3\sqrt{3}}\,\,\forall x>0$
Khi đó $$P =\frac{a^2}{f(a)}+\frac{b^2}{f(b)}+\frac{c^2}{f( c)}\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Tìm max?

Ta dự đoán $Min=\frac{-1}{8}$ (Tại đây )

Ta sẽ chứng minh: $A\geq\frac{-1}{8}$

$\Leftrightarrow (1-x)(1-xy)+\frac{1}{8}((1+x)^2(1+y)^2)\geq 0$

Rút gọn lại ta được bất đẳng thức tương đương:

$9 - 6 x + x^2 + 2 y - 4 x y + 10 x^2 y + y^2 + 2 x y^2 + x^2 y^2\geq 0$

$\Leftrightarrow (x^2-6x+9)+(10x^2y-4xy+2y)+y^2+2xy^2+x^2y^2\geq 0$

$\Leftrightarrow  (x-3)^2+y(10x^2-4x+2)+y^2(1+2x+x^2)\geq 0$

$\Leftrightarrow  (x-3)^2+y[(2x-1)^2+6x^2+1]+(x+1)^2.y^2\geq 0$ 

Wolframalpha dùng sao vậy bạn?

BDT sau rất quen thuộc: $\forall x,y\in\mathbb{R}, xy\geqslant 1$ thì $\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}\geqslant \dfrac{2}{xy+1}$

Cảm ơn !

$(xy-2)(2x-y)^2\geqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{4}{y^2+4}\geqslant \dfrac{4}{xy+2}$

Do đó ta cần chứng minh: $\dfrac{4}{xy+2}+xy\geqslant 3$

Đến đây điểm rơi AM-GM dễ rồi.

Làm sao bạn nghĩ được cái này vậy?

Dồn biến hàm số, cực kỳ rắc rối.

Anh làm thử, em cũng nghĩ dồn biến mà làm vẫn chưa ra.

Áp dụng BĐT: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+m^2}+\sqrt{y^2+n^2}\geq \sqrt{(a+x+y)^2+(b+m+n)^2}$

Ta có: $\sum \sqrt{a+2b}\geq \sqrt{(\sum \sqrt{a})^2+2(\sum\sqrt{a})^2}=\sqrt{3}\sum \sqrt{a}$

$\Rightarrow đpcm$.

Cho $a,b,c\geq0$ và $a+b+c=1$. CMR:

$\sqrt{a+b^2}+\sqrt{b+c^2}+\sqrt{c+a^2}<\frac{11}{5}$

Chuẩn hóa $a+b+c=3$

Sử dụng  BĐT $Holder$ ta có:

 

$\left ( \sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^2} \right ).\left ( \sum \sqrt[3]{a} \right ).\left ( \sum \sqrt[3]{(b+c)^2} \right ) \geq (a+b+c)^3=27$

 

Sử dụng BĐT $AM-GM$ ta có:

$\sum \sqrt[3]{a} \leq \sum \frac{a+2}{3}=3$

 

$\sum \sqrt[3]{(b+c)^2} \leq \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\sum \frac{2(b+c)+2}{3}=\frac{6}{\sqrt[3]{2}}$

 

$\Rightarrow \sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^2} \geq 27.\frac{1}{3}.\frac{\sqrt[3]{2}}{6}=\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

 

Xảy ra dấu $"="$ khi $a=b=c$

Sai rồi! Holder phải ra là $(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})^{3}$ chứ?

Anh có ,để mai anh chuyển link cho nhé!!

Cảm ơn anh!

Như cách của bạn Long được rồi, còn cách tớ (suy nghĩ theo hướng chủ quan) là như thế này

Sau khi chuẩn hóa thì BĐT trở thành:

$\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Với $a,b,c\leq \frac{21}{8}$ thì $\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \sum \frac{12a-7}{25}<=>\sum (a-1)^2(8a-21)\leq 0$

Từ đó dẫn đến ĐPCM

Nếu trong 3 số a,b,c có một số $\geq \frac{21}{8}$, giả sử đó là số a, vì $a+b+c=3$ nên $b,c\leq 3-\frac{21}{8}=\frac{3}{8}$

Và có $a\leq 3$ nên $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}>\frac{21^2}{8^2}:(3^2+4.\frac{3^2}{8^2})=\frac{49}{68}>\frac{3}{5}$

Không liên quan

Hiện tại không có hứng post bài

Bạn có tài liệu nào về cách chọn hệ số k như của bạn không? Bạn làm nhưng có nhiều chỗ mình không biết ở đâu ra như Vì sao xét $\frac{21}{8}$,...

Hệ số $k= \frac{12}{25} $ mà bạn

Và khi đó xét 2 trường hợp nữa là ra

Bạn có thể giải chi tiết được không? Mình không hiểu cách các bạn tìm số k cho lắm.

ầ ,em cứ thử chọn để đưa về 2 ẩn ,trong đó có 1 ẩn k là được.

Cảm ơn anh, anh có những dạng toán giải theo Phương pháp này không ạ. Nếu có cho em xin tài liệu ạ.

- Chọn $a=1,b=\frac{1}{x},c=x (x> 0)$

 

 BĐT $\frac{a^2-bc}{b^2+c^2+ka^2}+\frac{b^2-ac}{a^2+c^2+kb^2}+\frac{c^2-ab}{a^2+b^2+kc^2}\geq 0$

$< = > \frac{1-x.\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+x^2+k.1^2}+\frac{\frac{1}{x^2}-x.1}{1^2+x^2+\frac{k}{x^2}}+\frac{x^2-1.\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}+kx^2}\geq 0$

$< = >0+ \frac{1-x^3}{x^4+x^2+k}+\frac{x(x^3-1)}{kx^4+x^2+1}\geq 0$

$< = > (x^3-1)(\frac{x}{kx^4+x^2+1}-\frac{1}{x^4+x^2+k})\geq 0$  (1)

 

 Mà $\frac{x}{kx^4+x^2+1}-\frac{1}{x^4+x^2+k}=\frac{x^5+x^3-x^2-1-k(x^4-x)}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}=\frac{(x-1)(x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1))}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}$

 

  Do đó $(1)< = > (x^3-1)(\frac{(x-1)(x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1))}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)})\geq 0$

$< = > (x-1)^2(x^2+x+1).\frac{x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1)}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}\geq 0$

$= > x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1)\geq 0= > k\leq \frac{x^4+x^3+2x^2+x+1}{x^3+x^2+x}$

  -Cho $b\rightarrow c= > \frac{1}{x}\rightarrow x= > x\rightarrow 1$

 

  Từ đó $= > k\leq \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^4+x^3+2x^2+x+1}{x^3+x^2+x}=\lim_{x\rightarrow 1}(\frac{x(x^3+x^2+x)+(x^2+x+1)}{x^3+x^2+x})=\lim_{x\rightarrow 1}(x+\frac{1}{x})=2$ 

 

   Từ đó $= > k\leq 2$ ,Ta chứng minh đó là hằng số tốt nhất  thỏa mãn bài toán 

 

 Thay $k=2$ vào BĐT

 

 $< = > \sum \frac{a^2-bc}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0< = > \sum \frac{2a^2-2bc}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0$

$< = > \sum \frac{2a^2+b^2+c^2-(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0$

$< = > \sum \frac{(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2}\leq 3$

 

 Theo Cauchy-Swacth có :$\sum \frac{(b+c)^2}{(b^2+a^2)+(c^2+a^2)}\leq \sum \frac{b^2}{b^2+a^2}+\sum \frac{c^2}{a^2+c^2}$

$=\sum \frac{b^2}{a^2+b^2}+\sum \frac{a^2}{a^2+b^2}=\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=3$

         Do đó ta có ĐPCM.

 

      Vậy $k_{max}=2$ thỏa mãn bài toán

Cho em hỏi phương phap để giải những bài dạng này là gì vậy anh?

Giả sử $A=x^{3}-x^2+x-1$ là số nguyên tố.

Ta có : $A=x^{3}-x^2+x-1=x^2(x-1)+(x-1)=(x^2+1)(x-1)$.

Vì $x^2+1>x-1$ nên 

$\left\{\begin{matrix}

\end{matrix}\right.$.

$\Leftrightarrow 9^{\frac{x}{2}}+16^{\frac{x}{2}}=25^{\frac{x}{2}}\Leftrightarrow \left ( \frac{9}{25} \right )^{\frac{x}{2}}+\left ( \frac{16}{25} \right )^{\frac{x}{2}}=1$

Vì $\frac{9}{25}< 1\Rightarrow \left ( \frac{9}{25} \right )^{\frac{x}{2}}\leq\frac{9}{25}$

tương tự suy ra $VT\leq1$

đẳng thức xả ra khi và chỉ khi $x=2$

Bạn đánh giá bị sai rồi. Giả sử $x=1$ thì $(\frac{9}{25})^{\frac{1}{2}}> \frac{9}{25}$.

ĐK:$x\geq \frac{3}{2}$

$(2x-5)\sqrt{2x+3}=(\frac{2}{3}x+1)\sqrt{\frac{2}{3}x-1}\Leftrightarrow 3\sqrt{3}(2x-5)\sqrt{2x+3}=(2x+3)\sqrt{2x-3}\Leftrightarrow 3\sqrt{3}(2x-5)=\sqrt{4x^2-9}\Rightarrow 27(4x^2-20x+25)=4x^2-9 (x\geq \frac{5}{2})\Leftrightarrow 26x^2-135+171=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=3 (TMDK)& \\x=57/26(KTMDK) & \end{matrix}\right.$

$\overline{ab}=\left ( a-1 \right )^{2}+\left ( b-1 \right )^{2}\Leftrightarrow 10a+b=(a-1)^2+(b-1)^2\Leftrightarrow a^2-12a+b^2-3b+2=0$

Vậy $\Delta ' \geq 0\Leftrightarrow 36-(b^2-3b+2)\geq 0\Leftrightarrow (b-\frac{3}{2})^2\leq \frac{145}{4}\Rightarrow 0\leq b\leq 7$.

Vì $b$ là số nguyên không âm nên $b={0,1,2,3,4,5,6,7}$.Lần lượt thế $b$ vào PT bậc 2 để tìm $a$ ta dễ thấy $b=6$ và $a=2$ Thỏa mãn điều kiện.Nên số cần tìm là số 26.

nhân a 2 vế

Không phải ý em là làm sao ra được chỗ phần em tô màu đỏ mà.

Ta có $\frac{9^{2}}{3(a+b+c)}+\frac{2^{2}}{2a}\geq \frac{(9+2)^{2}}{3(a+b+c)+2a}$

$\Rightarrow \frac{81a}{3(a+b+c)}+2\geq $$\frac{121a}{3(a+b+c)+2a}\geq \frac{121}{5a+3b+3c}$

Thực hiện 2 bất đẳng thức tương tự rồi cộng theo vế ta được điều phải chứng minh

Anh làm sao ra được chỗ này vậy ạ?

Bài này có trong quyển Tài liệu chuyên toán hình học lớp10 trang 86 bài 57.

3 bộ tổng 3 số đó m

4 Bộ tổng 3 số.

BĐT cần cm tương đương

                      $\sum \frac{x}{y(1-x)}\geq 2(\sum \frac{x}{1-x})$

                 <=> $(x+y+z)(\frac{x}{y(1-x)}+\frac{y}{z(1-y)}+\frac{z}{x(1-z)})\geq 3(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z})$ ( do x+y+z=3/2 )

Giả sử x\geq y\geq z

Áp BĐT Chebyshev vs 2 dãy số (x,y,z) tăng và ($\frac{z}{x(1-z)}$;$\frac{x}{y(1-x)}$;$\frac{y}{z(1-y)}$) giảm ta có đc đpcm ^^

Dấu "=" xay ra khi x=y=z=1/2= xảy ra khi x=y=z=1/2

 

 

 

*****Bổ sung: để chứng minh dãy $\frac{z}{x(1-z)}$;$\frac{x}{y(1-x)}$;$\frac{y}{z(1-y)}$ giảm thì:

chứng minh trước $\frac{z}{x(1-z)}\leq \frac{x}{y(1-x)}$

                        <=>$\frac{z(1-x)}{x}\leq \frac{x(1-z)}{y}$

                      Mà x,y,z <1
                     => ĐPCM

2 số này bạn xét làm sao mà ra được dãy giảm ?