Cho $S_{n}=\frac{\sqrt{3}+S_{n-1}}{1-\sqrt{3}S_{n-1}}$ với $n$ là số tự nhiên lớn hơn 1. Biết $S_{1}=1$. Tính $S=S_{1}+S_{2}+...+S_{2011}$

1/ Tìm Min;Max (x;y) biết x;y là nghiệm của pt: $x^{4}+y^{4}-3=xy(1-2xy)$

2/ Cho x,y,z.0 tm: $xyz\geq x+y+z+2$. Tìm Min $(x+y+z)$.

3/ Cho x,y,z tm: $x^{2}+2y^{2}+2x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}+3x^{2}y^{2}z^{2}=9. Tìm Max, Min $A=xyz$

4/ Cho x,y,z tm: $x^{4}+y^{4}+x^{2}-3=2y^{2}(1-x^{2})$. Tìm Max,Min của $A=x^{2}+y^{2}$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$($AC>AB$). Đường cao $AH$. $D$ thuộc $HC$ sao cho $HD=HA$. Đường vuông góc với $BC$ tại $D$ cắt $AC$ tại $E$.

a)CM: $\Delta BEC\sim \Delta ADC$

b)CM: $\Delta ABE$ cân

c)$M$ là trung điểm $BE$. $AM$ cắt $BC$ tại $G$.

Cm:

$\frac{GB}{BC}=\frac{HD}{AH+HC}$

1/ Cho tam giác $ABC$ có độ dài 3 cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp và số đo diện tích của tam giác cũng là số tự nhiên. Cmr tồn tại một đường cao của tam giác đã cho chia tam giác đó thành 2 tam giác nhỏ mà số đo độ dài các cạnh của cả 2 tam giác nhỏ đều là số tự nhiên.

2/ Cho hình vuông $ABCD$. Một tam giác được gọi là nội tiếp hình vuông nếu 3 định của tam giác nằm trên 3 cạnh của hình vuông. Cmr: Trong 6039 đường thẳng chứa các cạnh của 2013 tam giác đều cùng nội tiếp hình vuông trên có ít nhất 504 đường thẳng đồng quy.

3/ Trên mặt phẳng cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ và $2013$ đường thẳng tm đồng thời các tính chất sau:

1) Mỗi đường đều cắt hai cạnh liên tiếp của hình vuông

2) $4xy=a(x+y)$ trong đó $x,y$ là khoảng cách từ đỉnh chung của hai cạnh bị cắt tới hai giao điểm. 

Cmr: Trong $2013$ đường thẳng ấy có ít nhất $504$ đường thẳng đồng quy.

4/ Cho tam giác $ABC$. Phân giác $BD$ có đồ dài bằng cạnh bên. Cm: $(1+\frac{a}{b})(\frac{a}{b}-\frac{b}{a})=1$

5/ Cho tam giác $ABC$ có các đường phân giác $AD;BE;CF$. Biết $\widehat{DEF}=90^{\circ}$. Tính $\widehat{ABC}$

Cmr: Nếu $n$ là số tự nhiên chẵn và $a>3$ thì pt: $(n+1)x^{n+2}+3(n+2)x^{n+1}+a^{n+2}=0$ không có nghiệm thực.

1/Cho $a\in \mathbb{R} tm:a^{5}-a^{3}+a=2$. Cm: $3<a^{6}<4$

2/Cho $0<a;b;c<1$. Cm: $2a^{3}+2b^{3}+2c^{3}<3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

3/ Tìm $x;y;z$ nguyên tm: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq xy+3y+2z-4$

1)Tìm $a$ để hệ sau có nghiệm với mọi $b$:

$\left\{\begin{matrix}2^{bx}+(a+1)by^{2}=a^{2} & & \\ (a-1)x^{3}+y^{2}=1 & & \end{matrix}\right.$

2)Giải hệ pt:

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{5-x^{2}}+\sqrt{5-\frac{1}{x^{2}}}-y^{2}=3 & & \\ \frac{x}{2}+2y+\frac{1}{2x}=3 & & \end{matrix}\right.$

Nghiệm nguyên:
1)$2xy^{2}+x+y+1=x^{2}+2y^{2}+xy$

2)$x^{2}+xy^{2}+3z^{2}-2xy-2xz-2x-2y-8z+6=0$

3)$10x^{2}+20y^{2}+24xy+8x-24y+51\leq 0$

4)$5x^{2}+5y^{2}+8xy+2y-2x+2=0$

5)$x^{2}+xy+y^{2}-3x-3y+3=0$

6)$5x^{2}+2xy+2y^{2}-14x-10y+17=0$

7)$3x^{2}+7y^{2}=2002$

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=xy & & \\ x^{2010}+y^{2010}=8\sqrt{(xy)^{2007}} & & \end{matrix}\right.$

Giải pt:
1)$(a+b+x)^{3}-4(a^{3}+b^{3}+x^{3})-12abx=0$

2)$(8x-4x^{2}-1)(x^{2}+2x+1)=4(x^{2}+x+1)$

3)$4x^{3}+3x=\frac{3}{4}$

4)$6x^{4}+8x^{2}+6=(x^{4}+2x^{2}+1)(1+4y-y^{2})$

5)$8x^{3}+6x=\frac{8}{3}$

6)$32x^{4}+(4x-1)^{4}=\frac{1}{27}$

7)$x^{4}+y^{4}+(x^{2}+y^{2}-2)(2xy-1)+3x^{2}y^{2}-1=0$

1)Cho $A$ ngoài $(O)$, cát tuyến $ABC$. Tiếp tuyến $AE,AF$($E,F$ là tiếp điểm). Các tiếp tuyến $(O)$ tại $B,C$ cắt nhau tại $K$.

Cm:$K,E,F$ thẳng hàng

2)Tam giác $ABC$ nhọn. $D$ di động trên $BC$. $O_{1};O_{2}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD,ACD$

a) Cmr: Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AO_{1}O_{2}$ luôn đi qua một điểm cố định khác $A$

b) Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$; $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AO_{1}O_{2}$.

Xác định $D$ thuộc $BC$ sao cho $IO$ nhỏ nhất.

Cho $(d);(d_{1});d_{2}$ không đồng quy. $(d_{1})\cap (d_{2})=\left \{ K \right \}$. $M\in (d);M\notin (d_{1});(d_{2})$. $(d)$ đi qua $M$ cắt $(d_{1});(d_{2})$ tại $A;B$. $AP\perp (d_{2})\equiv P$; $BQ\perp (d_{1})\equiv Q$.

Cm: $PQ$ luôn đi qua 1 điểm cố định khi $(d)$ di chuyển nhưng luôn đi qua $M$

Nghiệm nguyên

1. $x^{2}+xy+y^{2}=x^{2}y^{2}$

2. $3x^{2}+7y^{2}=2002$

3. $\left\{\begin{matrix}x+2y+3z=6 & & \\ (x-1)^{3}+(2y-3)^{3}+(3z-2)^{3}=18 & & \end{matrix}\right.$

1/ Bài này tinh mắt là biết ngay 2 nghiệm $x=\frac{\sqrt{2}}{2},x=-\sqrt{2}$

Cách làm:Nhận thấy $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ là 1 nghiệm 

Chia hoocne ta có $(x-\frac{\sqrt{2}}{2})(\sqrt{2}x^{2}+4x+2\sqrt{2})=0$

Đặt nhân tử $x+\sqrt{2}$ cũng được nhỉ?

$(x+\sqrt{2})(\sqrt{2}x^{2}+x-\sqrt{2})=0$

1/ $\sqrt{2}x^{3}+3x^{2}-2=0$

2/ $(x+1)^{4}=2(x^{4}+1)$

3/ $x^{4}=24x+32$

4/ $|x^{2}-x+1|+|x^{2}-x-2|=3$

5/ $4\sqrt{2}x^{3}-22x^{2}+17\sqrt{2}x-6=0$