Mãi ko có gì cụ thể hơn thế này thì có khi là tán dóc trà đá vỉa hè rồi

Tạm thời không tán nữa. Hẹn các bạn khoảng 40 ngày nữa trở lại forum nha

Nhưng bản chất phép tính $0,(9) = 3.0,(3)$ của bạn đến từ việc xây dựng các số $0,(9)$ và $0,(3)$!
Lớp 6 họ giản lược công đoạn này để phù hợp với độ tuổi thôi

M ở đây là một chuỗi phân kỳ, không hội tụ thì không có giới hạn!

Bạn thử cho vài ví dụ để chứng minh điều bạn đã nói xem. Còn về cái vấn đề trong topic này là đang bàn luận về bản chất và hình thức của 2 số là số 1 và số 0,9999...

Mình đưa thêm một ví dụ về số 1/3 và số 0,333.... Giá trị của hai số này đúng là bằng nhau, nhưng vẫn có một số trường hợp chúng thực sự khác nhau, ví dụ: tồn tại (-2) ^ (1/3) chứ không tồn tại (-2) ^ (0,333...). Bạn biết vì sao không? Đơn giản vì 0,333.... ở đây là một giới hạn, để tính (-2) ^ 0,3333.... bạn cũng cần qua giới hạn để tính (bản chất của nó là giới hạn). Ta có thể chọn được 2 dãy hữu tỉ sao cho với một dãy thì (-2) ^ x tiến đến 2 ^ (1/3) còn với dãy kia thì tiến đến (-2) ^ (1/3).

Điều quan trọng là bản chất của 0,333... cũng như 0,999... là một giới hạn! Không phải một số cụ thể. Còn số hữu tỉ là một phân số có tử số là số nguyên và mẫu số là số nguyên khác 0. Còn đẳng thức 0,333... = 1/3 hay 1 = 0,999... là biểu diễn đẳng thức của toán học chỉ ra rằng hai vế có GIÁ TRỊ bằng nhau! Chứ hai vế không LÀ MỘT!!!

Đó đã chứng tỏ sự phức tạp hóa vấn đề rồi.
Bản chất của số thập phân vô hạn tuần hoàn là gì nào? là biểu diễn được dưới dạng số hữu tỉ.
Nghĩa là 0,(3)=(1/3)

Nếu bạn đi khai triển số mũ 0.333333... của 1 số thì bạn tiêu luôn, tự đưa mình vào khó khăn, trong khi đó là căm bậc 3, chính xác 100%. bạn đã sai khi đưa ra vấn đề này rồi

Đây, mời bạn quangtien84 xử lý câu hỏi này của tớ thử xem sao nhé. Để xem vấn đề này là đơn giản hay phức tạp

Rõ ra $M$ chính là chuỗi $\sum\limits_{n}(-1)^{n}$ và do $ {\lim }\limits_{n \to + \infty } ( - 1)^n \ne 0$ nên chuỗi này phân kì. Do đó mệnh đề xđ $M$ không có tính chân trị
Đây là ý muốn diễn tả từ đầu nhưng không toát ra được.

Đơn giản chỉ cần thực tế đã chứng minh thôi.
Cài chuỗi này nó không phải hội tụ, nghĩa là không có giá trị cố định, vậy mà cậu vẫn muốn mình tim giá trị cũ thể cho nó, đó chính là 1 trong những cái gọi là "phức tạp hóa vấn đề" đó.

Nến toán học Việt Nam đứng rất cao trong các giải thi toán học quốc tế, nhưng cống hiến cho ứng dụng thì được bao nhiêu đây?

À, hàm số h còn phải thỏa mãn nưa là nó "hữu hạn", tức là không được chứa căn vô hạn hoặc tổng vô hạn. Ví dụ 1/1! + 1/2! + ... ^^

Chuẩn không cần chỉnh!!!!!!!!!!!!

Dĩ nhiên là phải hữu hạn mới là công thức tính khả hữu để tính nghiệm chứ

Hồi lớp 6, học bồi dưởng học sinh giỏi toán, mình đã được học cách đổi 1 số thập phần vô hạn tuần hoàn ra phân số.

Bản chất của số thập phân vô hạn tuần hoàn là từ phân số mà ra.

người ta đã chứng minh rằng 0,(9) = 1, nên không cần phải bàn cãi làm gì.

Người ta chứng minh như thế này nhé.

0,(9) = 3×0,(3) = 3×[1/3] = 1

Đơn giản vậy thôi mà phải cãi nhau làm gì cho mệt.
Các bạn hãy nhớ rằng, người ta biết đến và phát minh ra số thập phân vô hạn tuần hoàn là từ phân số.

Mọi số thập phân vô hạn tuần đều thuộc số hữu tỉ ( có nghĩa là biểu diễn được dưới dạng phân số)
Còn số thập phân vô hạn không tuần hoàn thì không thể biểu diễn được bằng phân số và người ta gọi nó là số vô tỉ.

Các bạn có thể tìm lại 1 số sách số học ( sách nâng cao cho lớp 6 ) có nói rằng: số thập phân vô hạn tuần hoàn là số hữu tỉ Q

Em viết thế này không biết có ổn không:
$0.9999999........ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{9}{{10^k }}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{9}{{10}}\left[ {\left( {\dfrac{1}{{10}}} \right)^n - 1} \right]}}{{\dfrac{1}{{10}} - 1}} = 1$

Mời bạn quangtien84 đọc lại ít nhất một phương pháp xây dựng số thực một cách chuẩn mực đi nhé, sách lớp 6 chỉ viết cho vui vậy thôi, trích dẫn ở đây ko ai chơi đâu, cách dãy số của Cauchy, cách lát cắt Dedekind, cách nào cũng được

Theo mình nghĩ, vấn đề này đơn giản và dùng phân số chứng minh như vậy là đủ.
Cần gì tới xây dựng số, tới giới hạn và biểu diện chuổi làm gì?

Chẳng lẽ bây giờ đi chứng minh 1/3 =0,(3) lại phải đi biểu diễn chuỗi nữa hay sao
Mình nghĩ không nên làm phức tạp hóa vấn đề, đây cũng là điểm yếu của toán học Việt Nam, hay phức tạp hóa những vấn đề có thể đơn giản hóa.

Nhưng dù sao, là trao đổi thảo luận của những người yêu toán thì càng nhiều cách, nhiều hướng tư duy thì càng phong phú và làm tăng thêm vẻ đẹp của toán học muôn màu, đồng ý với ý kiến của mình hông!

Thật sao , phương trình hay nghiệm phương trình, chứ phương trình thì ... kinh quá . Phải chờ lâu không bạn?

Ừ ờ, hi hi
Nghiệm của phương trình chứ hông phải phương trình.

Mà về bản chất chính là phương trình đó bạn.

Việc bạn có công thức nghiệm của phương trình bậc 2,3,4 chính là biến đổi tương đương phương trình
f(x)=0 về dạng x=h(a,b,c,d...) mà thôi.
Trong đó hàm số mới h là hàm số chỉ chứa các hằng số dưới biểu thức căn mà không còn biến số nữa.

Hàm số h này chính là công thức nghiệm của các bạn đó

Hấp dẫn quá
Có lẽ cần hiểu từ " căn thức " ở đấy là real radical tức là căn các số thực duơng chứ ko phải căn số phức nhỉ . Pt X^n = 1 cũng phải dùng luợng giác chứ không thể giải thuần túy bằng căn thực đuợc ( bài toán đa giác đều của Euler ) . Mọi nguời thử liên hệ và cho 1 chừng minh răng có những pt bậc 3 ko thể dùng căn thực đi , lâu quá sờ đến em cũng quên rồi . Bài này nghe cũng hay hay đấy , chuyên KHTN chắc thừa sức làm

À, lâu lắm mới gặp lại cậu đó.
Nhưng cậu đừng đi tìm cái vô ích ấy nữa, vì đợt tới đây, bạn sẽ biết rõ mọi phương trình bậc 3, 4 đều biểu diễn bằng căn thức của số thực được.

Hồi lớp 6, học bồi dưởng học sinh giỏi toán, mình đã được học cách đổi 1 số thập phần vô hạn tuần hoàn ra phân số.

Bản chất của số thập phân vô hạn tuần hoàn là từ phân số mà ra.

người ta đã chứng minh rằng 0,(9) = 1, nên không cần phải bàn cãi làm gì.

Người ta chứng minh như thế này nhé.

0,(9) = 3×0,(3) = 3×[1/3] = 1

Đơn giản vậy thôi mà phải cãi nhau làm gì cho mệt.
Các bạn hãy nhớ rằng, người ta biết đến và phát minh ra số thập phân vô hạn tuần hoàn là từ phân số.

Mọi số thập phân vô hạn tuần đều thuộc số hữu tỉ ( có nghĩa là biểu diễn được dưới dạng phân số)
Còn số thập phân vô hạn không tuần hoàn thì không thể biểu diễn được bằng phân số và người ta gọi nó là số vô tỉ.

Các bạn có thể tìm lại 1 số sách số học ( sách nâng cao cho lớp 6 ) có nói rằng: số thập phân vô hạn tuần hoàn là số hữu tỉ Q

Hi hi, mình đã tìm hiểu xong thủ tục đăng kí.
Cũng đã tham khảo tiến sĩ toán của ĐH SP1 HN.

Sẽ sớm đăng kí và công bố cùng mọi người.
Hãy đợi nhé!

Cũng hay đấy chứ, có phải việc bạn quangtien84 định làm là chỉ ra công thức nghiệm tổng quát bằng căn thức trong trường hợp phương trình bậc 3 có đủ 3 nghiệm thực mà lại có delta âm à, nếu đúng thì bài viết của bạn xứng đáng được đăng trên mục Bạn đọc tìm tòi của báo Toán học tuổi trẻ ngày xưa đấy.

Chính xác là mình muốn nói đến cài này đó, cảm ơn MrMath đã lắng nghe và ủng hộ mình!

Nếu bài viết của bạn thực sự chất lượng mà bạn gặp khó khăn trong việc liên lạc với các ban biên tập thì tớ có thể gởi giúp lên tòa soạn THTT cho

Rất cảm ơn bạn, mình chính là chỉ còn mắc vấn đề này, nhất dịnh, khi cần sự giúp đỡ mình sẽ nhờ vả bạn. Xin được cảm ơn bạn trước nha!

Sao quangtien lãng phí thời gian thế nhỉ? Cái mà mọi người muốn chờ đợi ở đây là kiểm tra tính chính xác trong phương pháp giải của bạn thôi. Chứ cứ lên đây cãi nhau về cái mà người khác chẳng biết mặt mũi nó như thế nào. Tốt nhất khi bạn rất tin tưởng vào kết quả của mình như vậy thì hãy công bố trên một tạp chí uy tín. Nếu kết quả chính xác thì bạn sẽ nổi tiếng tòan thế giới. Cũng hy vọng là tôi vừa được nói chuyện với 1 vĩ nhân! Còn topic này thì mod nên đóng lại ở đây được rồi. Không giúp ích được gì cho quangtien đâu!

Topic nên đóng ở đây, đúng thế.
Mình tin tưởng vào kết quả của mình, cài mình hỏi trong suốt 1 năm qua là kết quả tương tự đã có ai công bố chưa thôi, nhưng nay mình chưa tìm thấy 1 công bố nào, trên các tạp trí uy tín và đầy đủ.

Việc còn lại của mình là công bố nó thôi, tuy cũng chẳng có gì ghê gớm, nhưng hy vọng nó cũng là 1 cái mới mẻ!

Thông thường phương trình bậc 3 tổng quát có thể giải được nghiệm theo 2 cách:
- Một là dùng công thức Cardano thì chỉ tính được với DELTA>0 (có thể có 1 hoặc 3 nghiệm R)
- Hai là dùng lượng giác thì tính được với DELTA<0 nhưng công thức cho ra nghiệm không chính xác vì phải tính theo hàm số Cos(3x) (luôn có 3 nghiệm R)

Thế mà theo Galois thì phương trình bậc 3 và 4 sẽ tính được nghiệm theo căn thức!
Mình đã tìm được cách tính nghiệm của phương trình bậc 3 có DELTA<0 bằng căn thức rồi...

Cho mình hỏi trên thế giới đã có ai tìm ra công thức nghiệm của phương trình bậc 3 có DELTA<0 bằng căn thức chưa vậy????????
Mình nghĩ là rồi vì nó rất đơn giản, nhưng mình chưa hề được nghe nói tới, mong mọi người ai biết chỉ giùm mình được không!!!

Hi hi, cuối cùng mình cũng tìm được câu trả lời roài.
Về công thức nghiệm đại số trong mọi trường hợp cho phương trình bậc 3 và bậc 4 từ trước tới nay là không có.

Sau đây là tất cả các phương pháp giải về phương trình bậc 3, nhưng không hoàn toàn đại số, mời các bạn tham khảo!

Vào đây để xem theo công thức toán học nè!

The cubic formula is the closed-form solution for a cubic equation, i.e., the roots of a cubic polynomial. A general cubic equation is of the form
z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=0
(1)

(the coefficient a_3 of z^3 may be taken as 1 without loss of generality by dividing the entire equation through by a_3). Mathematica can solve cubic equations exactly using the built-in command Solve[a3 x^3 + a2 x^2 + a1 x + a0 == 0, x]. The solution can also be expressed in terms of Mathematica algebraic root objects by first issuing SetOptions[Roots, Cubics -> False].

The solution to the cubic (as well as the quartic) was published by Gerolamo Cardano (1501-1576) in his treatise Ars Magna. However, Cardano was not the original discoverer of either of these results. The hint for the cubic had been provided by Niccolò Tartaglia, while the quartic had been solved by Ludovico Ferrari. However, Tartaglia himself had probably caught wind of the solution from another source. The solution was apparently first arrived at by a little-remembered professor of mathematics at the University of Bologna by the name of Scipione del Ferro (ca. 1465-1526). While del Ferro did not publish his solution, he disclosed it to his student Antonio Maria Fior (Boyer and Merzbach 1991, p. 283). This is apparently where Tartaglia learned of the solution around 1541.

To solve the general cubic (1), it is reasonable to begin by attempting to eliminate the a_2 term by making a substitution of the form
z=x-lambda.
(2)

Then
(x-lambda)^3+a_2(x-lambda)^2+a_1(x-lambda)+a_0=0
(3)
(x^3-3lambdax^2+3lambda^2x-lambda^3)+a_2(x^2-2lambdax+lambda^2)+a_1(x-lambda)+a_0=0
(4)
x^3+(a_2-3lambda)x^2+(a_1-2a_2lambda+3lambda^2)x+(a_0-a_1lambda+a_2lambda^2-lambda^3)=0.
(5)

The x^2 is eliminated by letting lambda=a_2/3, so
z=x-1/3a_2.
(6)

Then
z^3 = (x-1/3a_2)^3=x^3-a_2x^2+1/3a_2^2x-1/(27)a_2^3
(7)
a_2z^2 = a_2(x-1/3a_2)^2=a_2x^2-2/3a_2^2x+1/9a_2^3
(8)
a_1z = a_1(x-1/3a_2)=a_1x-1/3a_1a_2,
(9)

so equation (◇) becomes
x^3+(-a_2+a_2)x^2+(1/3a_2^2-2/3a_2^2+a_1)x-(1/(27)a_2^3-1/9a_2^3+1/3a_1a_2-a_0)=0
(10)
x^3+(a_1-1/3a_2^2)x-(1/3a_1a_2-2/(27)a_2^3-a_0)=0
(11)
x^3+3·(3a_1-a_2^2)/9x-2·(9a_1a_2-27a_0-2a_2^3)/(54)=0.
(12)

Defining
p = (3a_1-a_2^2)/3
(13)
q = (9a_1a_2-27a_0-2a_2^3)/(27)
(14)

then allows (◇) to be written in the standard form
x^3+px=q.
(15)

The simplest way to proceed is to make Vieta's substitution
x=w-p/(3w),
(16)

which reduces the cubic to the equation
w^3-(p^3)/(27w^3)-q=0,
(17)

which is easily turned into a quadratic equation in w^3 by multiplying through by w^3 to obtain
(w^3)^2-q(w^3)-1/(27)p^3=0
(18)

(Birkhoff and Mac Lane 1996, p. 106). The result from the quadratic formula is
w^3 = 1/2(q+/-sqrt(q^2+4/(27)p^3))
(19)
= 1/2q+/-sqrt(1/4q^2+1/(27)p^3)
(20)
= R+/-sqrt(R^2+Q^3),
(21)

where Q and R are sometimes more useful to deal with than are p and q. There are therefore six solutions for w (two corresponding to each sign for each root of w^3). Plugging w back in to (19) gives three pairs of solutions, but each pair is equal, so there are three solutions to the cubic equation.

Equation (◇) may also be explicitly factored by attempting to pull out a term of the form (x-B) from the cubic equation, leaving behind a quadratic equation which can then be factored using the quadratic formula. This process is equivalent to making Vieta's substitution, but does a slightly better job of motivating Vieta's "magic" substitution, and also at producing the explicit formulas for the solutions. First, define the intermediate variables
Q = (3a_1-a_2^2)/9
(22)
R = (9a_2a_1-27a_0-2a_2^3)/(54)
(23)

(which are identical to p and q up to a constant factor). The general cubic equation (◇) then becomes
x^3+3Qx-2R=0.
(24)

Let B and C be, for the moment, arbitrary constants. An identity satisfied by perfect cubic polynomial equations is that
x^3-B^3=(x-B)(x^2+Bx+B^2).
(25)

The general cubic would therefore be directly factorable if it did not have an x term (i.e., if Q=0). However, since in general Q!=0, add a multiple of (x-B)--say C(x-B)--to both sides of (25) to give the slightly messy identity
(x^3-B^3)+C(x-B)=(x-B)(x^2+Bx+B^2+C)=0,
(26)

which, after regrouping terms, is
x^3+Cx-(B^3+BC)=(x-B)[x^2+Bx+(B^2+C)]=0.
(27)

We would now like to match the coefficients C and -(B^3+BC) with those of equation (◇), so we must have
C=3Q
(28)
B^3+BC=2R.
(29)

Plugging the former into the latter then gives
B^3+3QB=2R.
(30)

Therefore, if we can find a value of B satisfying the above identity, we have factored a linear term from the cubic, thus reducing it to a quadratic equation. The trial solution accomplishing this miracle turns out to be the symmetrical expression
B=[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3).
(31)

Taking the second and third powers of B gives
B^2 = [R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+2[R^2-(Q^3+R^2)]^(1/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)
(32)
= [R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)-2Q
(33)
B^3 = -2QB+{[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)}×{[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)}
(34)
= [R+sqrt(Q^3+R^2)]+[R-sqrt(Q^3+R^2)]+[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)-2QB
(35)
= -2QB+2R+[R^2-(Q^3+R^2)]^(1/3)×[(R+sqrt(Q^3+R^2))^(1/3)+(R-sqrt(Q^3+R^2))^(1/3)]
(36)
= -2QB+2R-QB
(37)
= -3QB+2R.
(38)

Plugging B^3 and B into the left side of (◇) gives
(-3QB+2R)+3QB=2R,
(39)

so we have indeed found the factor (x-B) of (◇), and we need now only factor the quadratic part. Plugging C=3Q into the quadratic part of (◇) and solving the resulting
x^2+Bx+(B^2+3Q)=0
(40)

then gives the solutions
x = 1/2[-B+/-sqrt(B^2-4(B^2+3Q))]
(41)
= -1/2B+/-1/2sqrt(-3B^2-12Q)
(42)
= -1/2B+/-1/2sqrt(3)isqrt(B^2+4Q).
(43)

These can be simplified by defining
A = [R+sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)-[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)
(44)
A^2 = [R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)-2[R^2-(Q^3+R^2)]^(1/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)
(45)
= [R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+2Q
(46)
= B^2+4Q,
(47)

so that the solutions to the quadratic part can be written
x=-1/2B+/-1/2sqrt(3)iA.
(48)

Defining
D = Q^3+R^2
(49)
S = RadicalBox[{R, +, {sqrt(, D, )}}, 3]
(50)
T = RadicalBox[{R, -, {sqrt(, D, )}}, 3],
(51)

where D is the polynomial discriminant (which is defined slightly differently, including the opposite sign, by Birkhoff and Mac Lane 1996) then gives very simple expressions for A and B, namely
B = S+T
(52)
A = S-T.
(53)

Therefore, at last, the roots of the original equation in z are then given by
z_1 = -1/3a_2+(S+T)
(54)
z_2 = -1/3a_2-1/2(S+T)+1/2isqrt(3)(S-T)
(55)
z_3 = -1/3a_2-1/2(S+T)-1/2isqrt(3)(S-T),
(56)

with a_2 the coefficient of z^2 in the original equation, and S and T as defined above. These three equations giving the three roots of the cubic equation are sometimes known as Cardano's formula. Note that if the equation is in the standard form of Vieta
x^3+px=q,
(57)

in the variable x, then a_2=0, a_1=p, and a_0=-q, and the intermediate variables have the simple form (cf. Beyer 1987)
Q = 1/3p
(58)
R = 1/2q
(59)
D = Q^3+R^2=(p/3)^3+(q/2)^2.
(60)

The solutions satisfy Vieta's formulas
z_1+z_2+z_3 = -a_2
(61)
z_1z_2+z_2z_3+z_1z_3 = a_1
(62)
z_1z_2z_3 = -a_0.
(63)

In standard form (◇), a_2=0, a_1=p, and a_0=-q, so eliminating q gives
p=-(z_i^2+z_iz_j+z_j^2)
(64)

for i!=j, and eliminating p gives
q=-z_iz_j(z_i+z_j)
(65)

for i!=j. In addition, the properties of the symmetric polynomials appearing in Vieta's formulas give
z_1^2+z_2^2+z_3^2 = -2p
(66)
z_1^3+z_2^3+z_3^3 = 3q
(67)
z_1^4+z_2^4+z_3^4 = 2p^2
(68)
z_1^5+z_2^5+z_3^5 = -5pq.
(69)

The equation for z_1 in Cardano's formula does not have an i appearing in it explicitly while z_2 and z_3 do, but this does not say anything about the number of real and complex roots (since S and T are themselves, in general, complex). However, determining which roots are real and which are complex can be accomplished by noting that if the polynomial discriminant D>0, one root is real and two are complex conjugates; if D=0, all roots are real and at least two are equal; and if D<0, all roots are real and unequal. If D<0, define
theta=cos^(-1)(R/(sqrt(-Q^3))).
(70)

Then the real solutions are of the form
z_1 = 2sqrt(-Q)cos(theta/3)-1/3a_2
(71)
z_2 = 2sqrt(-Q)cos((theta+2pi)/3)-1/3a_2
(72)
z_3 = 2sqrt(-Q)cos((theta+4pi)/3)-1/3a_2.
(73)

This procedure can be generalized to find the real roots for any equation in the standard form (◇) by using the identity
sin^3theta-3/4sintheta+1/4sin(3theta)=0
(74)

(Dickson 1914) and setting
x=sqrt((4|p|)/3)y
(75)

(Birkhoff and Mac Lane 1996, pp. 90-91), then
((4|p|)/3)^(3/2)y^3+psqrt((4|p|)/3)y=q
(76)
y^3+3/4p/(|p|)y=(3/(4|p|))^(3/2)q
(77)
4y^3+3sgn(p)y=1/2q(3/(|p|))^(3/2)=C.
(78)

If p>0, then use
sinh(3theta)=4sinh^3theta+3sinhtheta
(79)

to obtain
y=sinh(1/3sinh^(-1)C).
(80)

If p<0 and |C|>=1, use
cosh(3theta)=4cosh^3theta-3coshtheta,
(81)

and if p<0 and |C|<=1, use
cos(3theta)=4cos^3theta-3costheta,
(82)

to obtain
y={cosh(1/3cosh^(-1)C) for C>=1; -cosh(1/3cosh^(-1)|C|) for C<=-1; cos(1/3cos^(-1)C) [three solutions] for |C|<1.
(83)

The solutions to the original equation are then
x_i=2sqrt((|p|)/3)y_i-1/3a_2.
(84)

An alternate approach to solving the cubic equation is to use Lagrange resolvents (Faucette 1996). Let omega=e^(2pii/3), define
(1,x_1) = x_1+x_2+x_3
(85)
(omega,x_1) = x_1+omegax_2+omega^2x_3
(86)
(omega^2,x_1) = x_1+omega^2x_2+omegax_3,
(87)

where x_i are the roots of
x^3+px-q=0,
(88)

and consider the equation
[x-(u_1+u_2)][x-(omegau_1+omega^2u_2)][x-(omega^2u_1+omegau_2)]=0,
(89)

where u_1 and u_2 are complex numbers. The roots are then
x_j=omega^ju_1+omega^(2j)u_2
(90)

for j=0, 1, 2. Multiplying through gives
x^3-3u_1u_2x-(u_1^3+u_2^3)=0,
(91)

which can be written in the form (88), where
u_1^3+u_2^3 = q
(92)
u_1^3u_2^3 = -(p/3)^3.
(93)

Some curious identities involving the roots of a cubic equation due to Ramanujan are given by Berndt (1994).

Như vậy, theo mình nghĩ, mình là người đầu tiên tìm ra công thức nghiệm đại số tổng quát trong mọi trường hợp cho phương trình bậc 3 và bậc 4 tổng quát, có ai có ý kiến gì không?

He ,em cũng có cuốn đó (mỗi tội thiếu chữ kí hungkhtn )

Còn về mấy pp lặp ,xấp xỉ liên tiếp,... hôm nào box casio mở mình sẽ viết qua về chúng
và một số kinh nghiệm ít ỏi của mình .

Cuốn đó, chỉ dùng cho học sinh thi đại học thui.

Còn khi lên đại học, các bạn sẽ được học phương pháp lặp và ánh xạ co.

Các bạn ham tìm hiểu có thể mua cuốn phương pháp tính của ĐHBK HN ( mua ở chỗ cổng Parabol là có đó)

Mình cũng ko rõ lắm vì chưa biết cách của bạn thế nào,mình trình bày ý bài thầy Mậu ra luôn vậy

GPT bậc 3 TQ
Hiển nhiên đưa được PT về dạng $x^3+ax^2+bx+c$ (1)

Đặt $x=t-\dfrac{a}{3}$ ta đưa về $t^3+pt+q=0$ (2)

với $p=-a^2 /3 +b, q=2(a/3)^# -ab/3+c$

1)Nếu $p>0$ .Đặt $t=2\sqrt{\dfrac{p}{3}}.v$ đưa PT về dạng $4v^3+3v=m$ (3)

Trong đó $m=-q/(2\sqrt{(p/3)^3})$
Pt (3) chỉ có 1 nghiệm duy nhất vì nếu $v_0$ là nghiệm thì
$4(v^3-v_0^3)+3(v-v_0)=0$ hay
$(v-v_0)(4v^2+4vv_0+4v_{0}^2+3)=0$

mà biểu thức trong ngoặc thứ 2 dương

Chọn $\alpha=m+\sqrt{m^2+1} $ thì $m=1/2 (\alpha-1/\alpha)$
Khi đó nghiệm duy nhất của (3) là $v=1/2 (\sqrt[3]{\alpha}-1/\sqrt[3]{\alpha})$ dễ kiểm tra trực tiếp

2)nếu $p=0$ thì (2) có nghiệm duy nhất $t=-\sqrt[3]{q}$
3)Xét $p<0$.Đặt $t=(2\sqrt{\dfrac{-p}{3}}).v$ ta đưa (2) về dạng

$4v^3-3v=m$ (4) trong đó $m=-q/2\sqrt{(-p/3)^3} $
a) Nếu $|m|>1$ thì (4) có nghiệm duy nhất vì nếu $v_1$ là nghiệm thì $4(v^3-v_1^3)+3(v-v_1)=0$ và $|v_1|>1$ hay $(v-v_1)(4v^2+4vv_1+4v_{1}^2-3)=0$

Chú ý $4v^2+4vv_1+4v_{1}^2-3-(2v+v_1)^2+3(v_{1}^2-1)>0$
Chọn $\beta =m+\sqrt{m^2-1}$ thì $4m=1/2(\beta+1/\beta)$.
Khi đó nghiệm duy nhất của (4) là $v=1/2 (\sqrt[3]{\beta}+1/\sqrt[3]{\beta})$ dễ kiểm tra trực tiếp

b) Nếu $|m|\leq1$ thì đặt $m=cos\phi (o\leq\phi\leq\pi)$
khi đó chú ý $cos\phi=4cos^3 (\phi/30-3cos(\phi/3)$ ta có

các nghiệm của (4) là $v_1=cos(\phi/3)$ $v_2=cos((\phi+2\pi)/3)$
$ v_3=cos((\phi+4\pi)/3)$
Thay ngược lại tìm được nghiệm của (1)

Phù phù, may quá, vậy là vẫn chưa có ai giải được rồi!
Cách giải lượng giác cho trường hợp DELTA âm này mình biết từ hồi đi thi học sinh giỏi lớp 9 ( tự đọc thêm thôi )

Hiện nay, với DELTA không âm, ta có cách giải của Cardano.
Với DELTA âm, người ta đưa về lượng giác và phải dùng hàm cos và arccos, dĩ nhiên công thức này không đại số và không phải là biểu diễn chính xác.
Ngoài ra, với cách biểu diễn qua số phức, không thể thu gọn về số thực được. Nếu dùng số phức và biểu diễn qua công thức khai căn số phức Moirve thì cuối cùng vẫn dùng hàm luợng giác mà thôi.

Ngoài ra, nếu dùng các phương pháp lặp ( xấp xỉ liên tiếp, dây cung ) mà các bạn được học trong phương pháp tính ở trường đại học, thì luôn giải được phương trình bậc n bất kì, tuy vậy đây chỉ là phương pháp xấp xỉ mà thôi.

Nhưng đặc biệt, phương pháp xấp xỉ này cho độ chính xác khá cao, và chúng được ứng dụng trong CASIO 500MS và 570MS cho độ chính xác cao.

Có một điều, nếu trường hợp DELTA dương, dĩ nhiên theo công thức Cardano, các bạn có thể tính được nghiệm chính xác theo căn thức. Các bạn hãy tính nghiệm này và so sánh với nghiệm mà máy tính cầm tay CASIO tính, nghiệm của các bạn sẽ kém chính xác hơn. Đó là do các bạn dùng công thức có nhiều dấu căn và lũy thừa nên có sai số tích lũy, không chính xác bằng phương pháp gần đúng là phương pháp lặp.

Mình giải quyết trường hợp DELTA âm không dựa theo DELTA của Cardano nữa, mà biến đổi theo các khác và công thức thu về có độ phức tạp gấp 3 lần công thức Cardano mà các bạn đã biết, do vậy sai số tích lũy còn lớn hơn cả công thức Cardano nữa.

Nhưng dù sao, đó cũng là công thức đại số.
Một công thức nghiệm đại số là công thức chỉ dùng hữu hạn 6 phép toán cơ bản: cộng, trừ, nhân, chia, lũy thùa và khai căn.

Ps:/ Cám ơn bạn Vũ Thanh Tú đã có hồi đáp cho mình, chân thành cảm ơn bạn!

Hic,bạn ơi cái này hình như có lâu rồi.Bạn giở trang 101 cuốn ''Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học &Tuổi trẻ'' quyển 1 ra sẽ thấy bài viết giải PT bậc 3 tổng quát ko qua số phức ,mà biểu diễn bởi căn thức của GS TSKH Nguyễn văn Mậu

Nhưng bạn cứ post lên cho mọi người tham khảo nhé

Hả, bạn đã xem xét kỹ chưa mà nói vậy.

Rất tiếc là mình không có cuốn tấp 1, mà chỉ có cuốn tập 3.
Nhưng theo mình đoán, khi DELTA âm họ dùng luợng giác chứ, ngoài các đó, trước nay mình chưa hề gặp cách nào khác.

Mình cũng đã tham khảo thông tin hơn 1 năm nay rồi, chưa có ai dám nói với DELTA âm giải được bằng căn thức như bạn vừa nói đâu.

Có thể cụ thể hơn về cái điều bạn nói không? mình đang rất quan tâm tới nó, xin vô cùng cảm ơn bạn trước.
Nếu bạn có sách tập 1 Tuyển tập các chuyên để toán học tuổi trẻ, có mục đó, mà lười viết có thể scan hay chụp ảnh và gửi cho mình được không, nếu nó giải bằng căn thức.

Còn nếu nó giải bằng luợng giác thì không cần chụp, và nói lại cho mình biết với nhé.
Thật vô cùng cảm ơn thông tin quý báu của bạn

Lâu rồi mới vào diễn đàn, và cũng lâu rồi diện đàn mới hoạt động trở lại.

Cái mà mình nói ở trên, mình đã tham khảo và kiểm tra.
Hoàn toàn đúng!

Mọi người sẽ sớm được thấy phương pháp này trong thời gian tới!

Cảm ơn! Để mình cũng đọc kỹ cuốn sách đó nhé! Nhưng đừng nói như mình là kẻ làm càn thế, mình không lên đây để cãi nhau và mình cũng không muốn cãi nhau! Nhưng dù sao mình vẫn tin vào biến đổi của mình, vì nó hoàn toàn sơ cấp và dễ hiểu, tất nhiên là một học sinh cấp 2 cũng có thể hiểu được. hẹn gặp lại trong một ngày gần nhất, khi mà đã có câu trả lời là mình có sai không! Chào nhé!

phamleminh86 ơi, cậu chứng minh bằng lý thuyết Galois rằng pt bậc 3 không có công thức nghiệm biểu diễn bằng căn thức mà không dùng số ảo à? tại sao cậu không nghĩ kết luận đó sai?
Mình chỉ tin vào kết luận " từ phường trình bậc 5 trở lên không có công thức nghiệm tổng quát thôi ", cái này thì không cần bàn nhé! Còn DELTA<0 của phương trình bậc 3 trong trường hợp DELTA<0 có 3 nghiệm thực(vẫn tính theo công thức Cardano thôi, tuy nhiên nghiệm thực lúc này biểu diễn theo căn các số phức) thì cũng không cần phải bàn nhé!
Vấn đề là không thể đưa cái biểu diễn bằng số phức ấy về 3 nghiệm thực đúng không? Bởi vì cái này người ta chứng minh là không biểu diễn được ( có lẽ CÁI mà cậu đang nghĩ là cái này đúng không? ).ok?

Và mình muốn nói là với biến đổi khác để tìm ra 1 nghiệm thực của pt bậc 3 mà không dùng số ảo, và biểu diến được bằng căn thức như công thức của phương trình bậc 2 cơ, dĩ nhiên là công thức đó dùng cả CĂN BẬC 2 và CĂN BẬC 3 rồi, nhưng mà nó dài lắm. Tin có công thức đó không? với biến đổi hoàn toàn sơ cấp thôi!

Để mình tham khảo ý kiến của một số thầy đã, rồi mình sẽ cùng bàn nó với mọi người.

Giải pt bậc 3 bằng căn thức người ta làm từ thời Cardano rồi còn gì. Phương trình bậc 3 bao giờ cũng có 1 nghiệm thực, tìm được nghiệm đó (bằng căn thức) thì tìm được 2 nghiệm còn lại. Người ta không viết vào sách giáo khoa trung học vì không cần thiết, và không viết ở bậc cao hơn vì nó dễ quá.

Nhiều khi có những kết quả dễ nhưng mà không tìm thấy tài liệu nào nói tới, đơn giản là vì nó dễ quá, chả ai thèm bỏ công ra viết. Thế mà có mấy bố VN thì cứ tưởng là mình tìm ra cái mới. Kiểu như trong đại số, có những kết quả đúng cho vành, và mở rộng 1 cách hiển nhiên cho module, dễ quá không ai thèm làm, nhưng mà có mấy người lại hì hục lấy đó làm công trình khoa học, tưởng là mình phát hiện ra cái mới.

Cảm ơn dickchimney đã có phản hồi. Có thể mình chưa biết, cách tìm ra 1 nghiệm thực đó. vì ai cũng biết là PT bậc 3 luôn có ít nhất 1 nghiệm thực rồi. từ Cardano nghiệm ảo rút gọn ra nghiệm thực hay biến đỏi kiểu gì đó thì mình chưa biết.hay có cách khác tìm nghiệm thực đó mình không biết. Nếu bạn nói thế, nó đơn giản thế mà không phải các phương pháp sấp xỉ hay lặp.... gì gì đó. mà là biến đổi nghiệm chính xác bằng căn thức.MONG BẠN CHỈ DÙM CHO MÌNH. MÌNH RẤT MUỐN BIẾT NÓ. DỐT THÌ PHẢI HỌC, KHÔNG BIẾT THÌ HỎI,MÌNH KHÔNG NHẮNG GÌ CẢ. MONG BẠN ĐÃ HỒI ĐÁP THÌ GIÚP MÌNH TRỌN VẸN ĐI. CHỨ NẾU KHÔNG MÌNH CHỈ CÓ THỂ NGHĨ LÀ CẬU NẮM QUA SƠ SƠ RỒI PHÁN BỪA. cảm ơn dickchimney nhiều nhé!

Let nói đúng. Mính chắc chắn đó là công thức đúng rồi, không cần phải bàn luận thêm, mình muốn biết trên thế giới có ai tim ra cách giải quyết với DELTA<0 chưa thôi. Nếu có rồi thì thôi, còn nếu chưa có thì mình sẽ post lên cho mọi người cùng tham khảo. Phương pháp biến đổi hoàn toàn sơ cấp, đẽ hiểu nên không cần bàn về tính đúng sai nữa.

Mặc dù là công thức bằng căn thức nhưng sai số sẽ nhiều hơn phương pháp lặp trên máy tính CASIO, nên không ứng dụng thực tiến đâu.
Ai có thông tin gì thì bảo mình với nhá!

Thật đáng tiếc, toán sơ cấp, trong forum toán cấp 3 mính đã post bài rồi, những mọi người chỉ quan tâm đến thi đại học thôi, mà toán chuyên nghành cũng chỉ quan tâm đến thi học kỳ. học sinh và sinh viên, yêu toán học là như thế sao???

mọi người quan tâm chứ sao ko? đừng bi quan thế chứ! chỉ là ko biết nên ko giúp được thui!
theo mình biết (mình là gv cấp 3)thì cho đến nay pt bậc 3 vẫn chỉ giải được bằng pp Cardano thôi, ngoài ra thì chưa nghe.
topic toán sơ cấp ở ngay trang chủ diễn đàn chứ đâu nữa.
vào toán sơ cấp sẽ có nhiều người quan tâm đến vấn đề này hơn đấy!!!!

Cảm ơn HaVinh, mình sẽ thử tìm sự giúp đơc ở toán sơ cấp xem vậy!

Chán thật đấy! không có ai quan tâm đến vấn đề này ư?

thế có ai có thể chỉ cho mình biết mình phải đặt vấn đề này ở đâu không nhỉ?

Một công thức tính nghiệm thực của phương trình bậc 3 trong mọi trường hợp.Dĩ nhiên là nó chỉ có ý nghĩa công thức giống như công thức Cardano thôi, chứ về mặt thực tiễn thì áp dụng để giải cho toán cấp 3 hoặc tính toán thông thường dùng phương pháp lặp hoặc công thức lượng giác cho ra kết quả chính xác hơn.

Đấy cũng chính là lý do mà trong máy tính CASIO FX MS500/MS570 không dùng công thức nghiệm để giải phương trình bậc 3 mà dùng phương pháp lặp.

Có ai giúp mình với! Mình cần phải đưa vấn đề này lên đâu, có ai quan tâm đến nó không? đừng coi nó là toán học ngoài lề chứ hỡi những người yêu toán học!!!!!!!!!!!!!!

Sao lại hóm hỉnh hả Abel?

Nhìn nick của cậu mình nghĩ cậu cũng quan tâm về vấn đề này đấy!
Nếu cậu biết gì khác thì chỉ cho mình đi, cảm ơn nhiều vì sự giúp đỡ!!!

Forum toán sơ cấp ở đâu thế, trong toán đại cương à?
Mình sợ rằng vào trong đó không thích hợp đâu, các sinh viên mới chỉ quan tâm đến toán đại cương để thi học kỳ thôi!

Và sách lớp 10 là cách rút ra nghiệm tổng quát khi DELTA>0, tìm được 1 nghiêm thực rồi tìm ra 2 nghiệm còn lại, không phải biểu diến qua số phức đâu. Lớp 10 đâu được học số phức chứ, bạn nhớ nhầm rồi!

Xem ra không ai biết vấn đề này nhỉ? buồn quá.........