Câu tổ đáp án là tồn tại. Cách tô màu, em ghi thủ công thế này cho nhanh ạ : 

X Đ Đ X Đ Đ ...

Đ X Đ Đ X Đ ...

Đ Đ X Đ Đ X ...

...

Chứng minh tương đối dễ dàng.

Bài 5 : 

- Nếu $k=1010$ hiển nhiên không được.

- Ta chứng minh $k=1011$ thỏa mãn: 

Ta chia thành 1010 bộ số : $(1,6); (2,5); (3,4); (2020,7); (2019,8); (2018,9); ,,,; (1014;1013)$ nhận thấy tổng 2 số trong mỗi bộ là số nguyên tố ( $2027$ nguyên tố).

Theo Dirichlet dễ có đpcm.

Cho $a,b,c \ge 0$ và $a+b+c=2$. Chứng minh : 

1) $\sum \sqrt{a+4bc} \ge 4\sqrt{ab+bc+ca}$

2) $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \ge 2\sqrt{ab+bc+ca}$

1) Cho $x,y,z>0; xyz=1$. Chứng minh :

$\sum \frac{1}{\sqrt{x^2+x+2}} \le \frac{3}{2}$

2) Cho $1 \le x,y,z \le 2$. Tìm min của $P=\frac{xy^2 + yz^2+zx^2}{x^4+y^4+z^4}$

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có hai cạnh AD,BC kéo dài cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng d vuông góc với OI. Các đường thẳng AC,BD cắt d tại M và N. Chứng minh rằng IM=IN.

Lấy $X,Y$ là trung điểm của $BD,AC$. Chứng minh 2 tam giác đồng dạng $\Delta AYI$ và $\Delta BXI$

$\to \widehat{OYI} = \widehat{OXI} \to \widehat{OMI} = \widehat{ONI}$

Ai rảnh thì gõ lại đề hộ em với ạ !

Tìm $x,y,z$ nguyên dương thỏa mãn $\frac{x-y\sqrt{2015}}{y-z\sqrt{2015}}$ là số hữu tỉ và $x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố

  ĐỀ THI  CHUYÊN TOÁN-TIN, ĐHKHTN-ĐHQG HÀ NỘI  1994-1995

                                                     Thời gian:150 phút 

Bài 3.

   Xác định các giá trị nguyên dương $n$ ($n \geq3$) sao cho $A=n!$ chia hết cho $B=1+2+3+...+n$

- Dễ thấy $n$ lẻ thỏa mãn
- Với $n$ chẵn, ta cần tìm $n$ để $n! \ \vdots \ n+1$

Ta chứng minh được : Nếu $n+1$ không nguyên tố thì $n! \ \vdots \ n+1$
Vậy $n+1$ không nguyên tố thì $n$ thỏa mãn. 

Bên trên em có làm rồi mà 

Ý em là không dùng diện tích nữa 

Ngũ giác có đều đâu mà xét tâm nội tiếp 

Đọc lộn chữ "lồi" thành chữ "đều"  Mắt mũi dạo này nó thế 

Có cách nào dùng độ dài không bác 

Bác làm nhầm đề rồi 

Ta sẽ chứng minh mọi ngũ giác có tọa độ các đỉnh là các số nguyên thì có ít nhất 1 điểm nguyên nằm trong ngũ giác đó 

Giả sử ngược lại tồn tại ngũ giác có tọa độ các đỉnh là các số nguyên mà bên trong không chứa 1 điểm nguyên nào

Trong các ngũ giác như vậy chọn 1 ngũ giác có diện tích bé nhất là GHIKL Theo nguyên lý Dirichlet thì tồn tại 2 đỉnh có cùng tính chất. Giả sử đó là G,H. Gọi M là trung điểm của GH thì M là điểm nguyên.

Xét ngũ giác MHIKL là 1 ngũ giác có tọa độ các đỉnh là các số nguyên và có diện tích nhỏ hơn tứ giác GHIKL nên theo trên thì trong tứ giác  MHIKL có điểm nguyên T.

Khi đó T cũng nằm trong tứ giác GHIKL ( trái với giả sử)

Vậy mọi ngũ giác có tọa độ các đỉnh là các số nguyên thì có ít nhất 1 điểm nguyên nằm trong ngũ giác đó 

Bài 5.(1đ)

   Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ngũ giác lồi $ABCDE$ có tọa độ các đỉnh là các số nguyên.Chứng minh có ít nhất 1 điểm nằm trong ngũ giác đó có tọa độ là các số nguyên.

Em làm có dùng máy tính   Không hay lắm.

- Dễ có ngũ giác $ABCDE$ không có cạnh là 1.
- Xét ngũ giác $ABCDE$ với cạnh lớn hơn 1 : dùng lượng giác sẽ tính được tâm đường tròn nội tiếp $ABCDE$ lớn hơn 1. 
Do đó dễ có đpcm.
Không biết sai đâu không 

Câu 2 : Có $ax_2^2 + bx_2 + c = 0; \ ax_1 + bx_2 + c = 0 \to x_2^2 = x_1$

Theo Vi-ét : $c = a(x_1.x_2) = ax_2^3 \\ b= -ax_2(x_2+1) \\ \to ac(a+c)+b^3 = a^3x_2^3(x_2^3+1) - a^3x_2^3(x_2+1)^3 = -3a^2x_2^4(x_2+1) \\ 3abc = -3a^2x_2^4(x_2+1)$

$\to đpcm$

Bài 1 : $1 = (a+b+c)^2 \ge 8a\sqrt{bc}$ ( vì $a+b+c \ge 4\sqrt[4]{\frac{a^2bc}{4}}$ )

$\to b+c \ge 2\sqrt{bc} \ge 16abc$

Bài 3 : $8(x^4+y^4) \ge (2x^2+2y^2)^2 \ge  (x+y)^4 = 16 \to x^4+y^4 \ge 2$

Bài 4 : Thay $y=2013-x$ vào P ( Số hơi to @@! )

Bài 2,5,6 : Bạn xem thử về điểm rơi trong BĐT  

Đề thi hsg lớp 9 tỉnh Vĩnh Phúc 2014-2015( Đề không khó lắm)

Bài 3 : Em tính thế này 

Từ giả thiết ta có : $ab+bc+ca \leq \frac{1}{3}$
Theo $Cauchy-Schwarz$ ta có : 
$ P = \sum \frac{a(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c)}{(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c)(9a^3+3b^2+c)} \leq \sum \frac{\frac{1}{9}+\frac{a}{3}+ac}{(a+b+c)^2} = \frac{2}{3}+ab+bc+ca \leq 1$

Cho 3 số tự nhiên a,b,c trong đó có đúng 1 số lẻ và 2 số chẵn,cmr $(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3-(a-b+c)^3$ chia hết cho 96

Đặt $b+c-a = x; a+c-b=y; a+b-c=z$, ta có : 

$(a+b+c)^3 - (a+b-c)^3 - (b+c-a)^3 - (a+c-b)^3 = (x+y+z)^3 - x^3 - y^3 - z^3 = 3(x+y)(y+z)(x+z) = 3.2c.2a.2b = 24abc$

Mà trong 3 số $a,b,c$ có 2 số chẵn nên $abc \ \vdots \ 4$

Từ đó ta có đpcm.

Đề đúng hay sai ạ 

Cho $a,b,c > 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh : 

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge a^2+b^2+c^2$

Câu 2:

Xét số em là 1 thì không được vì chỉ có thể là 1 nam hoặc 1 nữ => nam chiếm 0% hoặc 100% không thuộc khoảng như giả thuyết
Xét số em là 2 có 3TH, 2 nam hoặc 2 nữ hoặc 1 nam 1 nữ

1 nam 1 nữ => nam chiếm 50% thỏa

Vậy 2 là đáp số

 

Em nghĩ là 20 ạ Vì đề cho là nhỏ hơn $\frac{1}{2}$ mà.

Câu 12 (Trung Quốc): Cho một lượng các ngôi sao trên trời

$$8 \times 12 + 98 \times 102 + 998 \times 1002 +...+99...98 \times 100...02$$
Trong số hạng cuối cùng của tổng, có $2014$ chữ số $9$ nằm trong số $99...98$ và $2014$ chữ số $0$ nằm trong số $100...02$. Hỏi tổng các chữ số của tổng số ngôi sao trên trời là bao nhiêu?
 

Giải : 

$ = 100 +1000 + + ... +100...00 - 4 \times 2015 = 111...100 - 8060 = 111...100000 + 11100 - 8060 = 111...100000 + 3040 = 111...103040$

Số này có tổng các chữ số là $1 \times 2012 + 3 + 4 = 2019$