IMO shortlist phần hình học 2010 - 2013

cho $x,y,z >0$
$x^3+y^3-z^3=0$
CMR:
$x^2+y^2-z^2-6(x-z)(z-y)>0$

P/s: bài toán này mình chế lại đề khối B năm 2014

Câu PTH: TH1: $f(x)\equiv 0$ (thoả mãn)

TH2(f(x)$\not\equiv$ 0):Cho $x=y=0$ thì thu được $f(0)=0$.Cho $y=0$ suy ra $f(0)+xf(x-f(0))=f^2(x)+xf(0)$ suy ra $xf(x)=f^2(x)$ suy ra $f(x)=x$.Thử lại thoả mãn vậy PTH có nghiệm $f(x)=x$ hoặc $f(x)=0$

sai rồi nhé, bài này không dễ đâu

 có ai trên vmf từng thi IMO ko nhỉ,có bạn nào biết ko??????????????

có nhiều là đằng khác đấy em, có thể kể đến thầy Trần Nam Dũng, anh Trường, Hoàn,anh Tuấn Huy,... còn nhiều người nữa mà không nhớ rõ lắm

có 1 nhân vật khá nổi tiếng trên diễn đàn mình, có rất là nhiều đóng góp sao không có ai nhắc mặt điểm tên nhỉ. Đó là thầy hxthanh, em xin bầu 1 phiếu cho thầy Thanh ạ

mình đã sửa lại đề ngày 1 và đăng đề ngày 2, mọi người cùng làm thử xem

                                                         DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF

                            ĐỀ THI MẪU ( Số 1 ) KÌ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN 2016

                                                                        ( Ngày 1 )

BÀi 1 : Tìm $a$ lớn nhất sao cho $3^m \geq  m^3+a, \forall m \in N, m \geq 4$

BÀI 2 : Cho AB cố định. Với mỗi điểm M không nằm trên AB, tia phân giác trong $\widehat{AMB}$  cắt (AB) tại N, tia phân giác ngoài $\widehat{AMB}$ cắt NA,NB tại P,Q. (NQ)$\cap$MA={M,R}, (NP)$\cap$MB={M,S}. Cmr đường trung tuyến ứng với đỉnh N của $\bigtriangleup$NRS luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi

BÀi 3 : a. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng AB, BC, CA lấy các điểm P, Q, R tương ứng. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của tam giác APR, BPQ, CQR đồng quy tại một điểm.

hiện tại mình đang soạn 1 đề thi VMO mẫu cho các bạn và tầm 2-3 ngày nữa mình sẽ đăng

Bài 10 (BĐT) : Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh :

$$8\left (a^3+b^3+c^3\right )+12 \geq (a+b+c)\left [\left (2\sqrt[3]{abc}+1\right )^2+3\right ]$$

Bài 11 (Dãy số) : Cho dãy số nguyên $a_{n}$ $n\epsilon N$ thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix}a_{o}=1 & \\ a_{n}=a_{n-1}+a_{[\frac{n}{3}]} & \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p\leq 13$ tồn tại vô số số k nguyên dương thỏa mãn $a_{k}$ chia hết cho p

Bài 7(Phương trình hàm).

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: 

$xf\left (y \right )+f\left (xf\left (y \right ) \right )-xf\left (f\left (y \right ) \right )-f\left (xy \right )=2x+f\left (y \right )-f\left (x+y \right )$ (1)

Lời giải: Giả sử $P(x,y)$ là tính chất của $(1)$.

$P(1,y) \Rightarrow f(y)+2=f(y+1). \qquad (2)$

$P(x,1) \Rightarrow x \left[ f(1)-f(f(1))-2 \right]+2+f(xf(1))-f(1)=0. \qquad (3)$

Nếu $f(1)=0$ thì $f(2)=f(1)+2=2$.

$P(x,2) \Rightarrow 2x+2-f(x+2)=0 \Rightarrow f(x+2)=2(x+1) \Rightarrow f(x)=2(x-1)$.

Nếu $f(1) \ne 0$. Khi đó từ $(3)$, thay $x$ bởi $\frac{x}{f(1)}$ ta suy ra $x \cdot \frac{f(1)-f(f(1))-2 }{f(1)} +2-f(1)+f(x)=0. \qquad (4)$

Thay $x$ bởi $x+1$ ta được $(x+1) \cdot \frac{f(1)-f(f(1))-2 }{f(1)} +2-f(1)+f(x+1)=0. \qquad (5)$

Từ $(4)$ và $(5)$ ta suy ra $f(x+1)-f(x)+ \frac{f(1)-f(f(1))-2}{f(1)}=0 \Rightarrow f(1)-f(f(1))-2=-2f(1) \Rightarrow 3f(1)=f(f(1))+2$.

Khi đó $(4) \Leftrightarrow f(x)=f(1)-2+2x \; \forall x \in \mathbb{R}$. Thử vào phương trình thấy thoả mãn.

Vậy $f(x)=2x+k \; \forall x \in \mathbb{R}$ với $k \in \mathbb{R}$.

Xin chào các bạn, vì mình khá bận trong thời gian qua nên mình đã không chăm lo cho topic này được, từ giờ đến lúc thi VMO còn tầm 3 tuần nên mình sẽ tập trung cho topic này

Cho a,b,c,d dương. Chứng minh:

$ab+cd\geq \frac{8}{(a+b)(c+d)}$

bài toán này anh cũng gặp qua, ở trên tử phải là $8abcd$ mới đúng

Cho a,b,c,d dương. Chứng minh:

$ab+cd\geq \frac{8}{(a+b)(c+d)}$

cần kiểm tra lại đề, a=b=c=d=1/2 không đúng

Đây là Topic dùng để tổng hợp những bài toán BĐT chọn lọc trên VMF,các ĐHV sẽ cập nhật liên tục. Các thành viên muốn xem bài nào thì ấn vào BÀI..., vì đây là topic tổng hợp nên sẽ khóa topic.

$\left\{\begin{matrix}a_{o}=1 & \\ a_{n}=a_{n-1}+a_{[\frac{n}{3}]} & \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p\leq 13$ tồn tại vô số số k nguyên dương thỏa mãn $a_{k}$ chia hết cho p

BÀI 3 : Cho dãy $x_n$ được xác định như sau:

$x_1=1964$;$x_2=96$;$x_{n+2}=30x_{n+1}^2-75x_n.x_{n+1}-1944x_n$,$\forall n\ge1$.
Chứng minh rằng không có số hạng nào của dãy có thể viết dưới dạng tổng các lũy thừa bậc bảy của 3 số nguyên.

BÀI 4 : Chứng minh rằng tồn tại đúng một dãy số nguyên $a_1,a_2,....$ thõa mãn điều kiện :

$\left\{\begin{matrix} a_1=1,a_2>1 \\ a_{n+1}^3+1=a_n.a_{n+2},n\in N \end{matrix}\right.$

BÀI 5 : Chứng minh rằng với n là số nguyên dương  phương trình $x^{2n}=x+1$ có hai nghiệm thực phân biệt $x_{n}$ và $y_{n}.$ Tính các giới hạn $\lim  y_{n}; \lim  n(y-1)$

BÀI 6 : Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi  $x_{1}=\sqrt{2},x_{n+1}=\sqrt{2}^{x_{n}},\forall n \in \mathbb{N^{*}}.$ Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó .

BÀI 7 : Cho hai dãy số $\left ( u_n \right ),\left ( v_n \right )$ xác định bởi:

$$\left\{\begin{matrix}
u_1,v_1\epsilon (0;1) & \\
 u_{n+1}=u_1(1-u_n-v_n)+u_n& \\
 v_{n+1}=v_1(1-u_n-v_n)+v_n&
\end{matrix}\right.$$

Chứng minh hai dãy hội tụ và tìm giới hạn của chúng.

 Xin chào tất cả các thành viên của VMF, hôm nay mình có 1 vài chia sẻ câu chuyện của mình, rằng mình đến và đam mê toán như thế nào cùng 1 vài kinh nghiệm của bản thân. Thật sự mà nói thì cấp 1 mình ghét toán cực kì, ghét cay ghét đắng mà lại dành tình yêu cho môn văn, về nhà là mình tập viết chữ, rồi đọc mấy quyển sách văn còn những quyển sách toán mình cho vào 1 xó, cứ đến buổi là mình cầm đi học chơ cũng không ngó ngàng gì đến. Chắc các bạn không chơ cấp 1 mình có điểm 2,3 toán kha khá nhiều. Mặc dù thầy cô, ba mẹ nhắc nhở nhiều nhưng mình vẫn cứng đầu. Mình không hiểu toán giúp ích gì, nó vô vị, chán ngắt và khô khan. Trong khi văn học mang đến nhiều điều tuyệt vời hơn nhiều. Nhưng có 1 bài toán đã thay đổi hoàn toàn suy nghĩ cũng như cuộc đời mình sau này. Hôm đó cũng như bao ngày khác ( à lúc này mình đã học lớp 4 và vẫn thấy chán ghét toán như thường ). Cô giáo giảng bài trên bảng còn mình thì ngắm trời đất chẳng để ý gì. Rồi cuối giờ cô cho 1 bài toán là 1 bài toán hình học về tính diện tích hình kim cương rồi cho cả lớp về nhà làm hôm sau cô sửa. Lúc mình nhìn vào hình, tự nhiên mình cảm thấy ngạc nhiên và thích thú cực kì. Té ra trong toán cũng có những điều đẹp đẽ thế này hả. Rồi không biết ma xui quỷ khiến thế nào tối đó mình không học văn mà lại lấy bài toán đó ra làm. Ba mẹ mình đã vô cùng ngạc nhiên, còn sờ đầu xem mình có bị sao không. Còn mình vẫn chú tâm vào bài toán đó mà không để ý gì xung quanh hết. Và kì lạ, thật sự kì lạ là mình đã giải ra bài toán đó. Hôm sau lên trả bài mình lên bảng làm khiến cô và cả lớp rất ngạc nhiên ( bài toán đó cả lớp chỉ có 1,2 bạn làm được ). Đáp số mình giải ra đúng mà ngắn gọn. Sau khi hết ngạc nhiên, cô giáo liền cảm thấy mừng và khen khiến mình thực sự cảm thấy mừng rơn. Một cảm giác rất khác so với khi mình học văn, nó sướng hơn nhiều cái cảm giác khi đọc được 1 tác phẩm văn học thú vị nào đó. Từ hôm đó thì mình bắt đầu đọc sách toán, trong đầu toàn suy nghĩ về 1 vấn đề toán nào đó đọc được. Đương nhiên vì đã bị hỏng kiến thức toán khá nhiều nên kì thi chọn đội tuyển đầu tiên của trường cấp 1 mình đã rớt và chỉ nằm trong danh sách bổ sung ( gọi là đậu vớt ). Nhưng nó càng thôi thúc niềm đam mê toán của mình mạnh mẽ hơn. Rồi thứ hạng của mình cũng được cải thiện dần và đến năm lớp 5, mình nằm trong 6 người được chọn đi thi Toán Tuổi Thơ 2008 tại Hà Nội. Vì là kì thi lớn đầu tiên nên mình đã rất chủ quan và áp lực nên kết quả mình chỉ được giải khuyến khích. Mình đã rất buồn nhưng chỉ trong chốc lát thôi. Vì qua kì thi này mình đã hiểu rằng trên cả nước có rất nhiều bạn vượt trội hơn mình về toán lắm. Nhưng điều đó càng làm mình thấy thích thú hơn và từ đó mình đâm đầu vào toán và cấp 2, cấp 3 mình đã tham gia kha khá cuộc thi như kì thi HSG cấp tỉnh, cấp quốc gia,... và số lượng thất bại của mình rất nhiều. Nhưng sau một thất bại mình lại rút ra được rất nhiều kinh nghiệm quý báu cho bản thân. Những kinh nghiệm đó càng làm mình yêu toán mãnh liệt hơn thôi. Mỗi ngày mình không học môn nào cũng được chứ môn toán thì không. Mình đều dành ít nhất 2 tiếng mỗi ngày để học toán, làm toán hoặc đọc 1 cái gì đó thú vị về toán mà mình tìm được trên mạng. Và khi xong mình tổng kết lại xem hôm nay đã được học những gì, được biết những gì. Đến nay mình vẫn giữ thói quen đó

Những kinh nghiệm nhỏ mà mình có được qua việc học toán:

- Khi đứng trước 1 bài toán thì phải đọc kỹ đề, không bỏ sót bất kỳ chữ, số nào trong đề

- Vạch ra những cách có thể giải quyết bài toán đó

- Tập nháp, điều này rất quan trọng. Đôi khi để giải được 1 bài toán 1,2 trang bạn có thể tốn gần cả quyển vở nháp

- Cuối cùng là chọn cách tối ưu nhất ( đối với khi làm bài thi ) và suy nghĩ nhiều cách khác nhau, rồi đặt câu hỏi vì sao đề bài lại cho như thế, liệu mình có thể tổng quát bài toán được không,... chứ giải xong mà mình đã thấy thỏa mãn rồi bỏ qua bài toán đó là sai lầm

- Cái cuối cùng rất quan trọng, đó là KHÔNG ĐƯỢC BỎ CUỘC. Có nhiều bạn đứng trước bài toán khó lại thấy nản và bỏ cuộc. Đó là 1 suy nghĩ cần phải bỏ ngay tức khắc. Nếu gặp 1 bài toán khó thì mình càng phải quyết tâm làm được. Còn nếu vẫn không làm được thì có thể tham khảo bạn bè, thầy cô,... Sau khi đã biết được cách giải thì đọc kỹ, thật kỹ và ghi đề lại, tự trình bày lại xem rồi so sánh đến khi nào mình biến bài toán đó thành bài toán của mình thì thôi.

 Trến đây là 1 vài chia sẻ nhỏ hi vọng sẽ giúp ích được các bạn. Đặc biệt là các bạn chuẩn bị cho kì thi Olympic toán lớn nhất cả nước - VMO 2016 

Bài 7(Phương trình hàm).

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: 

$xf\left (y \right )+f\left (xf\left (y \right ) \right )-xf\left (f\left (y \right ) \right )-f\left (xy \right )=2x+f\left (y \right )-f\left (x+y \right )$

Topic này rất hay sao ít người hưởng ứng vậy ? Sau đây là đáp án bài 3

 

Giải. Theo tính chất đường tròn tiếp xúc dây cung quen thuộc thì $AP^2=AN^2=AL.AP=AF^2$ hay tam giác $APF$ cân. Từ đó $\angle PFD=\angle APF-\angle ADF=90^\circ-\dfrac{1}{2}\angle PAF-\dfrac{1}{2}\angle BDA$. Tương tự $\angle PED=90^\circ-\dfrac{1}{2}\angle PAE-\dfrac{1}{2}\angle CDA$. Vậy $\angle PFD+\angle PED=180^\circ-\dfrac{1}{2}(\angle PAF+\angle BDA+\angle PAE+\angle CDA)=90^\circ$.

dạ chắc do hiện tại nhiều thành viên đang tập trung ôn luyện thi vào đội tuyển của các tỉnh nên chưa có nhiều thời gian onl VMF. Em cũng xin đóng góp 1 bài hình mà áp dụng bổ đề ERIQ rất thú vị và cũng là bài hình TST 2009

Bài 6(Hình học).

Cho AB cố định. Với mỗi điểm M không nằm trên AB, tia phân giác trong $\widehat{AMB}$  cắt (AB) tại N, tia phân giác ngoài $\widehat{AMB}$ cắt NA,NB tại P,Q. (NQ)$\cap$MA={M,R}, (NP)$\cap$MB={M,S}. Cmr đường trung tuyến ứng với đỉnh N của $\bigtriangleup$NRS luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi

Bài 4(Số học). Cho $m,n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, m là số chẵn. Tìm ước số chung lớn nhất của $m^2+n^2$ và $m^3+n^3$

-Đến hẹn lại lên,hiện tại các tỉnh thành trên cả nước đang diễn ra các kì thi chọn đội tuyển và cũng có các tỉnh đã bắt đầu quá trình ôn luyện. Để đáp ứng nhu cầu có một nơi trao đổi,thảo luận các bài toán chuẩn bị cho VMO 2016,mình xin lập ra topic để các bạn cùng trao đổi thảo luận cũng như sẽ có thêm 1 chút tài liệu,kiến thức cần thiết chuẩn bị cho kì thi olympic toán quan trọng nhất trong năm

-Yêu cầu:+chấp hành nội quy diễn đàn

                 + ghi Bài...( số học,hình học,tổ hợp,...)

                 + thời gian mỗi bài là 1 tuần,nếu không có ai làm được thì người ra đề phải post đáp án

mình sẽ bắt đầu trước với 1 bài toán đơn giản sau:

Bài 1:(Tổ hợp)

Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên dương ta có:

$\sum_{k=0}^{m}C^k_{n+k}2^{m-k}+\sum_{k=0}^{n}C^k_{m+k}2^{n-k}=2^{m+n+1}$

mình đây

Cho dãy số $u_{1}=1;u_{n}=\frac{\sqrt{3}+u_{n-1}}{1-\sqrt{3}u_{n-1}}$

 Tính $u_{2014}$

Ta chứng minh rằng $u_n=tan(\frac{\pi }{4}+(n-1)\frac{\pi }{3})$ bằng quy nạp theo $n$

Từ đó tính được $u_{2014}$

BÀI 11 : Cho hình vuông có kích thước $9x9$. Hỏi phải tô màu ít nhất bao nhiêu ô vuông đơn vị để luôn chọn được $1$ hình vuông $2x2$ có ít nhất $3$ ô màu đỏ

BÀI 12 : Trong một cuộc hội thảo, cứ $10$ người thì có đúng 1 người quen chung. Tìm số người quen lớn nhất của $1$ người

BÀI 13 : Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số, sao cho số 1 có mặt tối đa 5 lần, các số 2, 3, 4 mỗi số có mặt tối đa 1 lần.

BÀI 14 : Có bao nhiêu  tam giác nhọn có đỉnh là đỉnh của đa giác đều 2014 cạnh

BÀI 15 : Có bao nhiêu tam giác có độ dài các cạnh là các số tự nhiên không vượt quá $2n$

lời giải bài 10 :

Ta có $S_{P_n}=3^n+3^{n-1}.2+...+3^2.2^{n-2}+3.2^{n-1}+2^n=3^{n+1}-2{n+1}$

Bằng cách chia cách phần tử của $P_n$ cho $2^n$ ta đưa bài toán về dạng tương đương như sau:

Cho n là số nguyên dương, $a=\frac{3}{2}$, và $Q_n=\left \{ 1,a,a^2,...,a^n \right \}$. Chứng tỏ rằng với mỗi giá trị của x thỏa mãn $0\leq x\leq 1+a+a^2+...+a^n$ luôn tồn tại một tập con X của $Q_n$ sao cho $0\leq x-S_X< 1$. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Khi n = 1 thì $S_0=0,S_1=1,S_a=\frac{3}{2},S_{1,a}=\frac{5}{2}$. Từ đây kiểm chứng thấy ngay là nếu x là một số thực thỏa $0\leq x\leq \frac{5}{2}$ thì luôn có một tập con X của $Q_1$ thỏa yêu cầu.

 

Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn điều kiện: $u_1=4; u_{n+1}=2u_n+\sqrt{3u_n^2+1},n=1,2,... $

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có $u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n.$

b) Chứng minh $u_{2015}$ chia hết cho 5.

 

a/$\sqrt{3u_n^2+1}=u_{n+1}-2u_n\Leftrightarrow 3u_n^2+1=4u_n^2-4u_nu_{n+1}+u_{n+1}^2\Leftrightarrow 3u_{n+1}^2+1=u_n^2-4u_nu_{n+1}+4u_{n+1}^2\Leftrightarrow u_{n+2}-2u_{n+1}=2u_{n+1}-u_n$

b/

Ta chứng minh quy nạp với $n=3k-1$,$k$ nguyên dương thì $u_n\vdots 5$

$k=1$ đúng,giả sử đúng đến $k$,ta sẽ chứng minh $k+1$ cũng đúng

Thật vậy ta có:

$u_{3k+2}=4u_{3k+1}-u_{3k}=4(4u_{3k}-u_{3k-1})-u_{3k}=15u_{3k}-4u_{3k-1}\vdots 5$

Vậy ta có dpcm

Cho 2n điểm trên đường tròn. Tính số cách nối 2n điểm đó thành n dây cung đôi một không cắt nhau (bài này dùng Hàm Sinh bạn nào biết chỉ mình với)

2 dây cung có cùng 1 điểm trên đường tròn có xem là cắt nhau theo ý của đề bài không vậy em