Đến nội dung

vkhoa nội dung

Có 34 mục bởi vkhoa (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#744228 Tìm 1 ví dụ về toán dựng hình.

Đã gửi bởi vkhoa on 18-03-2024 - 16:49 trong Hình học

Bạn nào có thể cho mình một ví dụ về toán dựng hình mà không thể dựng được bằng thước và compa kèm theo chứng minh không dựng được. :)



#736155 Chứng minh $det(A) = det(A^T)$ sau có đúng không?

Đã gửi bởi vkhoa on 09-12-2022 - 20:27 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Chứng minh $det(A) = det(A^T) \quad(*)$

+Với $n = 2$

\[\begin{array}{l}
\det \left( A \right) = {a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}}\\
\det \left( {{A^T}} \right) = {a_{11}}{a_{22}} - {a_{21}}{a_{12}}\\
 \Rightarrow \det \left( A \right) = \det \left( {{A^T}} \right)
\end{array}\]

 

Giả sử (*) đúng với $n = k$ (1). Với $n = k + 1$, ký hiệu $A_{ij}$ là ma trận bù $a_{ij}$. Dễ thấy $(A_{11})^T = (A^T)_{11})$
$$(A_{1j})^T = (A^T)_{j1} \forall 1\leqslant j\leqslant n$$
Khai triển tính $det(A)$ theo hàng 1
\[\det \left( A \right) = \sum\limits_{j = 1}^n {{{\left( { - 1} \right)}^{1 + j}}{a_{1j}}\det \left( {{A_{1j}}} \right)} \quad \left( 2 \right)\]
Khai triển tính $det(A^T)$ theo cột 1
\[\det \left( {{A^T}} \right) = \sum\limits_{j = 1}^n {{{\left( { - 1} \right)}^{1 + j}}{a_{1j}}\det \left( {{{\left( {{A^T}} \right)}_{j1}}} \right)}  = \sum\limits_{j = 1}^n {{{\left( { - 1} \right)}^{1 + j}}} {a_{1j}}\det \left( {{{\left( {{A_{1j}}} \right)}^T}} \right) \quad \left( 3 \right)\]
Từ $(1), (2), (3)$ suy ra (*) đúng với $n = k + 1$
Vậy (*) đúng với mọi $n \geqslant 1$.




#735627 Chứng minh $(x^2,y^2)=(x,y)^2$.

Đã gửi bởi vkhoa on 07-11-2022 - 18:05 trong Số học

Đặt z = (x, y)
x = z * i
y = z * j
k = (i, j)
Giả sử k > 1 => x, y có ước chung z * k > z => vô lí vì z là ước chung lớn nhất => (i, j) = 1 => $(i^2, j^2) = 1$
$(x^2, y^2) = (z^2*i^2, z^2*j^2)$
$=z^2 * (i^2, j^2) = z^2 = (x, y)^2$ (đpcm)



#735622 Chứng minh $(a,bc)=(a,(a,b)c)$

Đã gửi bởi vkhoa on 07-11-2022 - 09:00 trong Số học

h = (e, c)
e = i * h
c = j * h
Từ ch minh trên (bài #6) có (i, j) = 1 (1)
có (e, f) = 1
$\Rightarrow$ (i, f) = 1 (2)
(1), (2) $\Rightarrow$ (i, j * f) = 1
$\Rightarrow$ (h * i, h * j * f) = h
$\Rightarrow$ (e, c * f) = h = (e, c) (đpcm)
Ps: không biết có cách cm nào ngắn gọn hơn nữa không các bạn?



#735613 Chứng minh $(a,bc)=(a,(a,b)c)$

Đã gửi bởi vkhoa on 06-11-2022 - 19:11 trong Số học

(e, f) = 1
$\Rightarrow$ (e, f * c) = (e, c)
$\Rightarrow$ d * (e, f * c) = d * (e, c)



#735603 Chứng minh $(a,bc)=(a,(a,b)c)$

Đã gửi bởi vkhoa on 06-11-2022 - 11:44 trong Số học

Gọi d = (a, b)
Đặt b = d * e
$\Rightarrow $ (a, e) = 1 (1)
(a, bc) = (a, (d * c) * e) (2)
Vì (1) $\Rightarrow$ (2) = (a, d * c) = (a, (a, b) * c) (đpcm)

Bạn giải thích cho mình chỗ "gọi d=(a,b). Đặt b=d*e thì (a,e)=1" được không bạn?

Bài giải trên mình làm sai rồi. Sai ngay chỗ bạn thắc mắc (a, e) = 1
Giải lại như sau
Đặt d = (a, b)
a = d * e
b = d * f
g = (e, f)
Nếu g > 1 suy ra a, b có ước chung d * g > d, => vô lí vì d là ước chung lớn nhất
=> (e, f) = 1
(a, b * c) = (d * e, d * f * c) = d * (e, f * c) = d * (e, c) = (d * e, d * c) = (a, (a, b) * c) (đpcm)



#735599 Chứng minh $(a,bc)=(a,(a,b)c)$

Đã gửi bởi vkhoa on 06-11-2022 - 09:06 trong Số học

mình nhầm (a,bc)=(a,(a,b)c)

Gọi d = (a, b)
Đặt b = d * e
$\Rightarrow $ (a, e) = 1 (1)
(a, bc) = (a, (d * c) * e) (2)
Vì (1) $\Rightarrow$ (2) = (a, d * c) = (a, (a, b) * c) (đpcm)



#735593 Chứng minh $(a,bc)=(a,(a,b)c)$

Đã gửi bởi vkhoa on 05-11-2022 - 21:33 trong Số học

Chứng minh (a,bc)=(a,(a,b),c) với (a,bc) là ước chung lớn nhất của a và bc.

Đề có sai không nhỉ
Thử a = 2, b = 4, c = 3 là thấy sai rồi



#735569 Dựng các tiếp tuyến chung của ha đường tròn (O ; 2cm) và (O' ; 1cm) biết...

Đã gửi bởi vkhoa on 04-11-2022 - 08:44 trong Hình học

Dựng các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O ; 2cm) và (O' ; 1cm) biết OO' = 5cm trong các trong các trường hợp sau : a) Tiếp tuyến chung không cắt đoạn thẳng OO'. b) Tiếp tuyến chung cắt đoạn thẳng OO'.

Dễ thấy (O), (O') nằm ngoài nhau
Giả sử tiếp tuyến chung tiếp xúc (O;2) tại A, (O';1) tại B
Hạ BH vuông góc OA tại H
a)+ Phân tích:OH = OA - AH = OA - OB = 2 -1 = 1
+ Cách dựng:
- Dựng đường tròn đường kính OO'
- Dựng đường tròn tâm O bán kính 1 cắt đường tròn trên tại H
- OH cắt (O) tại A
- qua O' dựng đường thẳng // OA cắt (O') tại B nằm cùng phía với A so với OO'
+ Chứng minh: Bạn tự cm
+ Biện luận : Bài toán có 2 nghiệm hình
b)Cách dựng:
- Dựng đ tròn đ kính OO'
- Dựng đ tròn tâm O b kính 2 + 1 = 3 cắt đ tròn trên tại H
- OH cắt (O) tại A
- qua O' dựng đ thẳng // OA cắt (O') tại B khác phía với A so với OO'
+Biện luận : Bài toán có 2 nghiệm hình



#735550 Tìm các số nguyên dương x, y để $A=x^2+y+1$ và $B=x^2+y+4...

Đã gửi bởi vkhoa on 01-11-2022 - 19:42 trong Số học

Dễ thấy A > 1, B > 4 (*)
Đặt A = $a^2$, B = $b^2$, b, a $\in Z^+$
Có B - A = $b^2 - a^2$ = 3
$(b + a)(b - a) = 3$
$\Rightarrow b + a = 3, b - a = 1$
$\Rightarrow a = 1, b = 2$
$\Rightarrow A = 1, B = 4$, trái với điều kiện (*)
$\Rightarrow$ không tồn tại x, y nguyên dương thỏa mãn bài toán



#735488 Ký hiệu $||x_i||^2_2$ có nghĩa là gì?

Đã gửi bởi vkhoa on 27-10-2022 - 19:24 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Ký hiệu $||x_i||^2_2$ có nghĩa là gì?
Trong đó $x_i$ là một vector



#735249 SKKN: Hướng dẫn học sinh giải bài toán tổ hợp tạo số bằng lập trình PASCAL

Đã gửi bởi vkhoa on 06-10-2022 - 08:49 trong Dành cho giáo viên các cấp

Mạn phép đánh giá SKKN của Thế.
Các ví dụ Pascal đều dùng thuật toán vét cạn(duyệt tất cả các trường hợp) nên một số chưa được tối ưu (điển hình ví dụ 3, còn các ví dụ khác phải nghĩ thêm đã... hehe)
Về nguyên tắc thì để chương trình chạy nhanh thì chỗ nào dùng công thức được thì dùng công thức, không được thì mới đếm.

----
Ps: Phần mềm Dcoder giới thiệu bên trên chỉ chạy được khi có mạng.
---
Mạn phép làm lại đề chuyên Nguyễn Du bằng C++ với thuật toán tối ưu hơn bên trên
----------------------
#include <iostream>
using namespace std;

int demDay()
{
int dem = 0;
for (int x1 = 1; x1 < 6; x1++) {
for (int x2 = x1 + 1; x2 <= 6; x2++) {
for (int x3 = 1; x3 < x2; x3++) {
for (int x4 = x3 + 1; x4 <= 6; x4++) {
dem++;
}
}
}
}
return dem;
}

int main(int argc, char *argv[])
{
cout << demDay();
}
//Ket qua 190



#735235 Cho tgABCD nt (O). I1,I2 là tâm nội tiếp tam giác ACD,BCD. CM: AB // với tiếp...

Đã gửi bởi vkhoa on 05-10-2022 - 09:16 trong Hình học

20221005_091001-min.jpg
$I_1I_2$ cắt $CD$ tại $I$
Kẻ tiếp tuyến thứ 2 của $(I_1), (I_2)$ tiếp xúc $(I_1), (I_2)$ tại $E, F$
Ta có $E, F, I$ thẳng hàng
$AB$ cắt $CD$ tại $G$
Có $\widehat{I_1CI_2} = \widehat{I_2CD} - \widehat{I_1CD} = \frac12(\widehat{BCD} - \widehat{ACD}) = \frac12\widehat{BCA}$ (1)
Có $\widehat{I_1DI_2} = \widehat{I_1DC} - \widehat{I_2DC} = \frac12(\widehat{ADC} - \widehat{BDC}) =\frac12\widehat{ADB}$ (2)
Có $\widehat{ADB} = \widehat{ACB}$ (3)
(1, 2, 3) $\Rightarrow \widehat{I_1CI_2} = \widehat{I_1DI_2}$
$\Rightarrow I_1I_2CD$ nội tiếp
Ta có $\widehat{AGD} = \widehat{ABD} - \widehat{BDC} = \widehat{ACD} - \widehat{BDC}$ (4)
Có $\widehat{I_1ID} = \widehat{I_1CD} - \widehat{CI_1I_2} = \widehat{I_1CD} - \widehat{I_2DC} = \frac12(\widehat{ACD} - \widehat{BDC})$ (5)
Có $\widehat{EID} = 2\widehat{I_1ID}$ (6)
(4, 5, 6) $\Rightarrow \widehat{EID} = \widehat{AGD}$
$\Rightarrow AB // EI$ (đpcm)



#735223 Cho $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với $BC,...

Đã gửi bởi vkhoa on 04-10-2022 - 14:14 trong Hình học

a)
$(I)$ tiếp xúc $MN, HK$ tại $R, S$
$IR \perp MN, ID \perp HQ, MN // HQ$
$\Rightarrow R, I, D$ thẳng hàng (1)
tương tự $E, I, S$ thẳng hàng(2)
$N$ là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại $R, E$ nên $IN$ là phân giác $\widehat{RIE}$ (3)
tương tự $IH$ là phân giác $\widehat{SID}$ )(4)
(1,2,3,4) $\Rightarrow N, I, H $ thẳng hàng (đpcm)
b)
$I$ là trung điểm $ES$
$\Rightarrow \triangle IEN = \triangle ISH$ (g, c, g)
$\Rightarrow NE = SH$ (5)
tương tự $EP = KS$ (6)
(5, 6) $\Rightarrow NP = KH$



#735193 Tìm gtnn và gtln của $T=\frac{1}{a+1}+\fra...

Đã gửi bởi vkhoa on 02-10-2022 - 21:53 trong Bất đẳng thức và cực trị

$a, b, c \geqslant 0$
$T * 6 = (\frac1{a + 1} + \frac1{b + 1} + \frac1{c + 1})*((a + 1) + (b + 1) + (c + 1)) \geqslant (1 + 1 + 1)^2 = 9$ (Bunhiacopxki)
$\Rightarrow T \geqslant\frac32$
Vậy gtnn của T =$\frac32$, khi a = b = c = 1



#735185 Số các số tự nhiên có 7 chữ số được lập từ các chữ số {1;2;3...9...

Đã gửi bởi vkhoa on 02-10-2022 - 20:39 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức

Lập số có 5 chữ số khác nhau và khác 0 và 2 thì có $A^5_8$ số
Có 6 vị trí có thể thêm chữ số vào(kí hiệu _) _a_b_c_d_e_
Xét cách đặt 2 chữ số 2
+nếu đặt 2 chữ số 2 cùng 1 chỗ thì có 6 cách
+nếu đặt 2 chữ số 2 vào 2 chỗ khác nhau thì có $C^2_6$ cách
Như vậy có $6 + C^2_6$ cách đặt 2 chữ số 2
Vậy nên số số thỏa mãn đề bài là $A^5_8 * (C^2_6 + 6) = 141120$



#734926 Tổng các phần tử chia hết cho 61

Đã gửi bởi vkhoa on 13-09-2022 - 12:59 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức

Để dễ tính toán hơn
Chuyển tập hợp trên về tập hợp {34 số 1, 34 số 2, 34 số 3, 33 số 4, 33 số 5,..., 33 số 59, 33 số 60, 33 số 0}
Tới đây thì mình bí, hehe



#734813 Khi nào thì nhân hoán vị?

Đã gửi bởi vkhoa on 05-09-2022 - 17:58 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức

Có $C^3_4$ cách chia người thành nhóm 1 và 3
Có $A^2_3$ cách chọn toa cho 2 nhóm vì 1 khác 3, thứ tự khác nhau thì khác nhau
Có $C^2_4$ cách chia 2 nhóm 2 người
Có $\frac{A^2_3}2!$ cách chọn toa nhưng 2 lặp 2 lần nên chia cho 2!



#734797 Khi nào thì nhân hoán vị?

Đã gửi bởi vkhoa on 04-09-2022 - 19:24 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức

Bài #5 của Ruka,
Chỗ gộp th 2 và 4
Công thức có thể viết lại như sau
$C^3_4.A^2_3 + \frac{C^2_4.A^2_3}{2!}$



#734722 $$\sqrt{x^{2}-6x+9}=3-x$$

Đã gửi bởi vkhoa on 31-08-2022 - 08:14 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

$x \leqslant 3 $



#734278 CMR 2 đường thẳng AK và BD vuông góc với nhau

Đã gửi bởi vkhoa on 09-08-2022 - 09:09 trong Hình học

a)
Hạ $HL$ vuông góc $AC$ tại $L$ và cắt $AK$ tại $M$
Đặt $\frac{AB}{AC} = x$
$\frac{AL}{CL} = \frac{AL}{HL}.\frac{HL}{CL} = x^2$
$\Rightarrow \frac{AL}{AC} = \frac{x^2}{x^2 + 1}$
$\Rightarrow \frac{AL}{AN} = \frac{4x^2}{x^2 + 1}$
$AB = AI + BI = IH(\frac1x + x) = xAC$
$\Rightarrow \frac{AC}{IH} = \frac{x^2 + 1}{x^2}$
$\frac{PN}{PH} = \frac{ND}{IH} = \frac{x^2 + 1}{4x^2}$
Áp dụng Menelauyt cho 3 điểm thẳng hàng $A, P, M$ và tam giác $HNL$, có
$\frac{AL}{AN}.\frac{PN}{PH}.\frac{MH}{ML} =1$
$\Rightarrow \frac{MH}{ML} = 1$
Ta có $\triangle BAC\sim\triangle ALH$ {g, g)
$\Rightarrow \frac{BA}{AL} = \frac{AC}{LH} = \frac{2AD}{2LM} = \frac{AD}{LM}$
$\Rightarrow \triangle BAD\sim\triangle ALM$ (c, g, c)
$\Rightarrow \widehat{ABD} = \widehat{LAM} = 90^\circ - \widehat{ADB}$
$\Rightarrow AL\perp BD$(đpcm)



#733915 Hỏi cách tính tích phân của hàm dạng căn thức $f(x) =\sqrt{ax^...

Đã gửi bởi vkhoa on 06-07-2022 - 20:32 trong Tích phân - Nguyên hàm

Bạn nghiên cứu ở đây nha: https://en.wikipedia...liptic_integral

Trang đó khó hiểu quá
Các bạn có ai giải được trường hợp cụ thể bên trên không? Còn nữa, nếu f(y) = tích phân hàm trên với cận dưới là hằng số c và cận trên là y thì hàm f trên có thể là elementary function không?



#733902 Cho tam giác ABC ngt (I) và (I) tx BC tại D. Đt qua D vgóc AI cắt đg tb ứng v...

Đã gửi bởi vkhoa on 05-07-2022 - 21:52 trong Hình học

Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I) và (I) tiếp xúc BC tại D. Đường thẳng qua D vuông góc AI cắt đường trung bình ứng với đỉnh A của tam giác ABC tại R. J là trung điểm ID. CMR JR vuông góc AD

Screenshot_2022-07-05-21-46-47_compress72.jpg
$AI, AD$ lần lượt cắt đường trung bình ứng đỉnh $A$ tại $K, L$
$K'$ đối xứng $K$ qua $L$
$\triangle KDR$ có $KI \perp DR, DI \perp KR$
$\Rightarrow I$ là trực tâm $\triangle KDR$
$\Rightarrow RI \perp KD$ (1)
ta có $L$ là trung điểm $AD, KK'$
$\Rightarrow AKDK'$ là hình bình hành
$\Rightarrow AK' // DK$ (2)
(1, 2) $\Rightarrow AK' \perp RI$ (3)
có $\widehat{K'AK} = \widehat{IRD}$ (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
có $\widehat{AK'K} = \widehat{RID}$ (cạnh tương ứng vuông góc)
$\Rightarrow \triangle AK'K \sim \triangle RID$ (g, g) (4)
$\Rightarrow \frac{AK'}{RI} = \frac{K'K}{ID} =\frac{K'L}{IJ}$
$\Rightarrow \triangle AK'L \sim \triangle RIJ$ (c, g, c)
$\Rightarrow \widehat{K'AL} = \widehat{IRJ} $(5)
(3, 5) $\Rightarrow AL \perp JR$ (đpcm)



#733581 Hỏi cách tính tích phân của hàm dạng căn thức $f(x) =\sqrt{ax^...

Đã gửi bởi vkhoa on 04-06-2022 - 10:01 trong Tích phân - Nguyên hàm

Các bạn cho biết cách tính trường hợp cụ thể cũng được
Tính $\int_0^1\left(\sqrt{x^4 + 2x^3 + 3x^2 +7x + 9}\right)dx$



#733573 Chứng minh rằng M là trọng tâm của tam giác $B_{1}$$...

Đã gửi bởi vkhoa on 03-06-2022 - 19:07 trong Hình học không gian

Bổ đề: Cho $\triangle ABC$, $M$ nằm trong tam giác
$AM, BM, CM$ lần lượt cắt $BC, CA, AB$ tại $A_1, B_1, C_1$.
Cm $\frac{MA_1}{AA_1}\overrightarrow{AM} + \frac{MB_1}{BB_1}\overrightarrow{BM} + \frac{MC_1}{CC_1}\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0}$ (1)
Cm:
Kí hiệu $d(A, BC)$ là khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $BC$
ta có $\frac{MA_1}{AA_1} = \frac{d(M, BC)}{d(A, BC)} = \frac {d(M, BC).BC}{d(A, BC).BC} = \frac{S_{MBC}}{S_{ABC}}$
suy ra (1) $\Leftrightarrow \frac{S_{MBC}}{S_{ABC}}\overrightarrow{AM} + \frac{S_{MCA}}{S_{ABC}}\overrightarrow{BM} + \frac{S_{MAB}}{S_{ABC}}\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM} + \frac{S_{MCA}}{S_{MBC}}\overrightarrow{BM} + \frac{S_{MAB}}{S_{MBC}}\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM} + \frac{MC.d(A, MC)}{MC.d(B, MC)}\overrightarrow{BM} + \frac{MB.d(A, MB)}{MB.d(C, MB)}\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM} + \frac{AC_1}{BC_1}\overrightarrow{BM} + \frac{AB_1}{CB_1}\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0}$ (2)
Qua $A$ kẻ đường thẳng // $BM$ cắt $CM$ tại $C_2$
qua $A$ kẻ đ th // $CM$ cắt $BM$ tại $B_2$
(2) $\Leftrightarrow \overrightarrow{AM} + \frac{AC_2}{BM}\overrightarrow{BM} + \frac{AB_2}{CM}\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{C_2A} + \overrightarrow{B_2A} = \overrightarrow{0}$ (3)
vì $AB_2MC_2$ là hình bình hành nên (3) đúng, suy ra (1) đúng (đpcm)

Cm:
$AB', AC', AD'$ lần lượt cắt $CD, DB, BC$ tại $B_2, C_2, D_2$
$AM$ cắt $mp(BCD)$ tại $N$
ta có $B, N, B_2$ thẳng hàng
$\overrightarrow{MB_1} = \frac{B'M}{B'B}\overrightarrow{BN}$ (4)
Áp dụng Menelauyt cho 3 điểm thẳng hàng $A, B', B_2$ và tam giác $BMN$, ta có
$\frac{B'M}{B'B}.\frac{B_2B}{B_2N}.\frac{AN}{AM} = 1$
$\Leftrightarrow \frac{B'M}{B'B} = \frac{AM}{AN}.\frac{B_2N}{B_2B}$ (5)
(4, 5) $\Rightarrow \overrightarrow{MB_1} = \frac{AM}{AN}.\frac{B_2N}{B_2B}.\overrightarrow{BN}$
tương tự với $\overrightarrow{MC_1}, \overrightarrow{MD_1}$
có $\overrightarrow{MB_1} + \overrightarrow{MC_1} + \overrightarrow{MD_1}$
$= \frac{AM}{AN}.(\frac{B_2N}{B_2B}.\overrightarrow{BN} + \frac{C_2N}{C_2C}.\overrightarrow{CN} + \frac{D_2N}{D_2D}.\overrightarrow{DN})$
$= \frac{AM}{AN}.\overrightarrow{0}$ (theo bổ đề)
$= \overrightarrow{0}$
vậy, $M$ là trọng tâm của $\triangle B_1C_1D_1$ (đpcm)