Bài 1:

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:

$\frac{a^2+1}{4b^2}+\frac{b^2+1}{4c^2}+\frac{c^2+1}{4a^2}\geq \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$

Bài 2:

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=x\sqrt{\frac{x}{y+3}}+y\sqrt{\frac{y}{z+3}}+z\sqrt{\frac{z}{x+3}}$

ĐKXĐ: $\left\{\begin{matrix} x-y+3\geqslant 0& & \\ & & \\ y+2\geqslant 0 & & \end{matrix}\right.$=>$\left\{\begin{matrix} x\geqslant -5 & & \\ y\geqslant -2 & & \end{matrix}\right.$

Từ pt (1) ta được

$(x^{2}+x)\sqrt{x-y+3}=2(x^{2}+x)-(x-y+3)+4$(*)

Đặt a=x²+x, b=$\sqrt{x-y+3}$

(*)<=>(b-2)(a+b+2)=0 =>b=2 hoặc a+b+2=0

TH1:b=2=>x=y+1.Thay vào (2) được

$x^{2}-9=(2x+1)(4x^{2}-12x+11)(\sqrt{x+1}-2)$

<=>$(x-3)(x+3)=(2x-1)(4x^{2}-12x+11)(\sqrt{x+1}-2)$

Ta thấy x-3=(x+1)-4=$(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)$

=>$(\sqrt{x+1}-2)\left \{(\sqrt{x+1}+2)(x+3)-(2x-1)(4x^{2}-12x+11)\right \}=0$

Sau đó đặt $\sqrt{x+1}$=c tìm được nghiệm 

TH2 tương tự

Bạn có thể giải TH2 và đoạn cuối TH1 được không? Mình thấy nghiệm lẻ lắm.

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} (x^2+x)\sqrt{x-y+3} &= &2x^2+x+y+1 \\ y^2+2y &= &(2x-1)(4x^2-12y-1)(\sqrt{y+2}-2)+8 \end{matrix}\right.$

Bài 1:

Cho $x,y,z>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất:

$P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{8z}+\frac{4z^2}{x}+\frac{175\sqrt{x^2+9}}{4(x+1)}$

Bài 2:

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=38$. Tìm giá trị lớn nhất:

$P=\frac{x}{x^2+yz+19}-\frac{1}{4x(y+z)}+\frac{2}{25-5\sqrt{10(x+y+z)}}$

Bài 1:

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^3-3x^2+2 &= &\sqrt{y^3+3y^2} \\ \sqrt{-14x+2y+48}+5 &= &x+\sqrt{x-3} \end{matrix}\right.$

Bài 2:

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 2y^3+12y^2+25y+18-(2x+9)\sqrt{x+4} &= &0 \\ \sqrt{3x+1}-3x^3+35x^2-93(y+2)^2 &= &\sqrt{-y^2-4y+6}-334 \end{matrix}\right.$

Bài 1:

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\sum \frac{x^3+1}{\sqrt{x^4+y+z}}-\frac{8\sum xy}{\sum xy+1}$

Bài 2:

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+x\leq 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$A=\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}+\frac{1}{27\sqrt{xyz}}$

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\frac{2y+z-2x}{x^2+x}+\frac{2z+x-2y}{y^2+y}+\frac{2x+y-2z}{z^2+z}$

Cho $x,y,z\in \left [ 0;2 \right ]$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị lớn nhất:

$P=\sum \frac{1}{x^2+y^2+2}+\sum \sqrt{xy}$

Giải bất phương trình:

$(x+2)(x-2\sqrt{2x+5})-9\leq (x+2)(3\sqrt{x^2+5}-x^2-12)+\sqrt[3]{5x^2+7}$

Bài1:

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thoả mãn $x+y=26\sqrt{x-3}+3\sqrt{y-2013}+2016$. Tìm min, max:

$M=(x-1)^2+(y-1)^2+\frac{2016+2xy\sqrt{x+y+1}}{\sqrt{x+y+1}}$

Bài 2:

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{4a}{b}(1+\frac{2c}{b})+\frac{b}{a}(1+\frac{c}{a})=6$. Tìm min:

$P=\frac{bc}{a(b+2c)}+\frac{2ca}{b(c+a)}+\frac{2ab}{c(2a+b)}$

Cho $a\in \left [ 0;1 \right ],b\in \left [ 0;2 \right ],c\in \left [ 0;3 \right ]$. Tìm giá trị lớn nhất:

$P=\frac{2(2ab+ac+bc)}{1+2a+b+3c}+\frac{8-b}{b+c+b(a+c)+8}+\frac{b}{\sqrt{12a^2+3b^2+27c^2}+8}$

$\sqrt{2x^2-6xy+5y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+13y^2}=2(x+y)$

 

$\rightarrow x+y >0$

 

$\rightarrow \sqrt{2x^2-6xy+5y^2}=2(x+y)-\sqrt{2x^2+2xy+13y^2}$

 

$\rightarrow 2x^2-6xy+5y^2=[2(x+y)-\sqrt{2x^2+2xy+13y^2}]^2$
 

$\rightarrow (x+y)\sqrt{2x^2+2xy+13y^2}=x^2+4xy+3y^2$

 

$\rightarrow (x+y)\sqrt{2x^2+2xy+13y^2}=(x+y)(x+3y)$

 

$\rightarrow \sqrt{2x^2+2xy+13y^2}=x+3y$ (do $x+y>0$)

 

$\rightarrow x^2-4xy+4y^2=0$

 

$\iff (x-2y)^2=0$

 

$\iff x=2y$

 

Đến đây bạn thay xuống pt (2)...

Thực ra PT (1) mình làm được rồi. Chỉ còn đoạn thay vào PT (2) là mình chưa làm được . Bạn có thể giải thích rõ hơn được không?

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x^2-6xy+5y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+13y^2} &=2(x+y) \\ (x+2y)\sqrt{x+2}-4y^2\sqrt{y} &=8y^4\sqrt{y}-2\sqrt{x+2} \end{matrix}\right.$

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm max:

$P=\frac{2}{3+ab+bc+ca}+\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}}$

bạn xem lại đề cái khi thay $a=b=c=\frac{1}{4}$ vào cả hai bài đều không đúng

 

U-Th

Mình sửa lại đề bài rồi

Bài 1:

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:

$(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c})^2\geq 4(ab+bc+ca)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$

Bài 2:

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^4+b^4+c^4=3$. Chứng minh:

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

Bài 1:

Cho $a,b,c>0$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 16(a+b+c)$. Chứng minh:

$\frac{1}{(a+b+2\sqrt{a+c})^3}+\frac{1}{(b+c+2\sqrt{b+a})^3}+\frac{1}{(c+a+2\sqrt{c+b})^3}\leq \frac{8}{9}$

Bài 2:

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=(a+b+c)$. Chứng minh:

$5(a+b+c)\geq 7+8abc$

Bài 1

Đặt $n+25=k^{2} \Leftrightarrow n=(k-5)(k+5)$

mà $(k-5;k+5)=10 ; n=2^{p}3^{q}$

nên $k+5=2$ hoặc $k-5=2$ 

Từ đó ta tính được n=24

 

Bạn giải sai rồi. $n=3456$ vẫn thỏa mãn.

Bài 1:

Tìm số tự nhiên $n$ có dạng $n=2^p.3^q$ sao cho $n+25$ là số chính phương.

Bài 2:

Cho dãy gồm 101 số nguyên dương: $a_1< a_2< a_3< ....< a_1_0_1< 5050$

Chứng minh rằng trong dãy trên tồn tại 4 số sao cho: $a_k+a_l-a_m-a_n\vdots 5050$

cái này mò thôi

Nhưng phải có cơ sở thì mới mò được chứ bạn?

BÀi 1

Gợi ý: CM quy nạp $n=3^{k}$ thỏa mãn đề bài

 

Bạn ơi làm sao tìm được $n=3^k$ vậy?

Chứng minh rằng tồn tại vô số các số $n\in \mathbb{N}^*$ sao cho:

$a^n-1\vdots n$ với $a\in \mathbb{N}^*,a>2$ cho trước.

Tìm các số tự nhiên $n$ sao cho $n$ chia hết cho mọi số tự nhiên không vượt quá $\sqrt{n}$

Bài 1:

Chứng minh tồn tại vô hạn các số $n\in \mathbb{N}^*$ sao cho:

$2^n+1\vdots n$

Bài 2:

Chứng minh rằng luôn tìm được một số tự nhiên gồm $2014$ chữ số $1$ và $2$ sao cho số đó chia hết cho $2^{2014}$.

Cho $a,m\in \mathbb{N^*}$ và $a>1$. Chứng minh:

$(\frac{a^m-1}{a-1},a-1)=(m,a-1)$