Cho $x+y=2$, tìm giá trị nhỏ nhất của $\sqrt{x^4+2x-1}+\sqrt{y^4+2y-1}$

UCT:

$ \frac{2-x}{2}\le\frac{1}{1+x^{2}}\le\frac{27(2-x)}{50} $

thế nên $ \frac{5}{2}\le\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\le\frac{27}{10} $

xin lỗi mình nhầm, điều kiện đáng nhẽ ra phải là x,y,z không âm

Cho 9 điểm $A_{i}(x_{i};y_{i})$ ($1\leq i\leq 9$) với $x_{i},y_{i}\in \left \{ -1;0;1 \right \}$. CMR tồn tại 3 điểm $A_{m}, A_{n}, A_{k}$ có $x_{m}+x_{n}+x_{k}$, $y_{m}+y_{n}+y_{k}$ là 2 số chia hết cho 3. 

$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x^{2}}\geq \sum \frac{1}{1+xy}\geq \frac{9}{3+xy+yz+xz}\geq \frac{9}{3+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}}=\frac{27}{10}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}$ chỉ đúng với $x,y\geq 1$ thôi mà

Cho $x,y,z>0$, $x+y+z=1$, tìm GTNN của $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}$

Với $x,y,z>0$ và $x+y+z=3/2$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{3}y^{3}z^{3}$

Câu 4c dùng ptoleme, ngoại tiếp đường tròn tâm M

Tìm min $\sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}+\sqrt{40-3x}$ với $3\leq x\leq \frac{40}{3}$

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $\sqrt{-x^{2}+4x+5}-2x$

Bài giải như thế này có gì sai?

$\sqrt{-x^{2}+4x+5}-2x=A$

$(\sqrt{-x^{2}+4x+5})^{2}=(A+2x)^{2}$

$-x^{2}+4x+5=A^{2}+4Ax+4x^{2}$

$5x^{2}+4(A-1)x+A^{2}-5=0$

$\Delta' = 4(A-1)^{2}-5(A^{2}-5)\geq 0$

$-A^{2}-8B+29\geq 0$

$-(A-3\sqrt{5}+4)(A+3\sqrt{5}+4 -(A-3\sqrt{5}+4)(A+3\sqrt{5}+4)\geq 0)\geq 0$

$3\sqrt{5}-4\geq A\geq -3\sqrt{5}-4$