1. Cho pt: $x+2(x-1)^2+3(x-1)^3+..+n(x-1)^n-7/4=0$

a/ Cm pt có 1 nghiệm duy nhất >1 với mọi n nguyên dương, kí hiệu là $x_n$.

b/ Tim  $limx_n$

2.

cho $(u_n)$:

$u_n=(n^2+1)cos(\frac{n\pi }{2\sqrt{n^2+1}})$

a/ CM: $u_n>3/4$

b/ Tìm lim $u_n$.

3.

$x_1=\sqrt{3};x_{n+1}=\sqrt{9x_n^2+11x_n+3}$

Tìm lim $x_{n+1}/x_n$

 

Bài toán : Cho tam giác $ABC$, $I_b,I_c$ lần lượt là tâm bàng tiếp đỉnh $B$, đỉnh $C$. $P,Q$ là 2 điểm đẳng giác. $BQ,CQ$ cắt $CA,BA$ lần lượt tại $J,K$. Gọi $L$ là giao điểm của $I_cJ$ và $I_bK$. Chứng minh $L,P,I_a$ thẳng hàng ($I_a$ là tâm bàng tiếp đỉnh $A$)

 

Chứng minh : Gọi $I$ là tâm nội tiếp $\triangle ABC$. $BI,CI$ lần lượt cắt $CA,BA$ tại $D,E$. $I_bK$ và $I_cJ$ lần lượt cắt $DE$ tại $C_p$ và $B_p$. 

Ta có :  $(BD,II_b)=-1\Rightarrow E(BD,II_b)=-1\Rightarrow E(KC_p,II_b)=-1\Rightarrow C(KC_p,EI_b)=-1$

Do đó $C,P,C_p$ thẳng hàng. 

$C,P,C_p$ thẳng hàng là từ đâu ạ?

Cho tam giác $ABC$, trọng tâm $G$.

$A_1,B_1,C_1$ là hình chiếu $G$ lên $BC,CA,AB$.

$A_2,B_2,C_2$ đối xứng $A_1,B_1,C_1$ qua $G$.

Chứng minh $AA_2,BB_2,CC_2$ đồng quy.

Câu 4 em cm như thê này

Có: $a_{1+2+..+2^h}=0\Rightarrow a_{2(1+2...+2^h)}=2.0+1=1$

Đến đây thì làm như kiểu $a_2=1$; lên $a_{2079}=2016$ thì xong

câu số:

$(2x-y)(4x^2+2xy+y^2-1)=6x^3;(2x-y;y)=1\rightarrow 2x-1=1;2;3;6$

Câu hình ý a khá đơn giản, ý b em nghĩ sử dụng đường đối trung chỉ cần cm: $A,H,X$ thẳng hàng với $X$ là trđ BC.... ?

câu số dùng $a^m+1,a^n+1)=a^{(m,n)}+1$ thì $(m,n)=m$

Bài hình ngày 1 tam giác bình thường thôi nhỉ, đề Iran 97.

Bài hình ngày 2 kẻ đường kính $AX$ thì tứ giác $PBXO$ nội tiếp, xong góc $POX=90^0$

Chứng minh rằng n! không chia hết cho 2ⁿ

$v_2(n!)=[\frac{n}{2}]+...+[\frac{n}{2^x}]<n$

Cho tam giác $ABC$. Dựng ngoài tam giác 2 tam giác cân đồng dạng $ABP , ACQ$ đều cân ở $A$.

$CP$ cắt $BQ$ tại $R. O$ là tâm $(BRC)$

Chứng minh: $AO$ vuông góc $PQ$

 

Do tiếp tuyến tại $B,D$ và $CA$ đồng quy nên $ABCD$ là tứ giác điều hòa $\Rightarrow E(DB,AC)=-1\Rightarrow E(DB,QC)=-1$

Mặt khác do tiếp tuyến tại $C,D$ và $AQ$ đồng quy nên $ADEC$ là tứ giác điều hòa $\Rightarrow D(QC,EA)=-1\Rightarrow E(DR,QC)=-1$

$\Rightarrow \overline{B,E,R}.\blacksquare$

 

Câu 2 có 2 vấn đề tớ chưa hiểu

1/ $\Rightarrow D(QC,EA)=-1\Rightarrow E(DR,QC)=-1$

2/ $\Rightarrow \overline{B,E,R}.\blacksquare$

@baopbc: Cậu kéo dài $DE$ cắt $QC$ tại $T$ thì suy luận đó chí qua phép chiếu xuyên tâm thôi mà!

Bài 1:

Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Gọi $E$ là điểm nằm ngoài đường tròn, kẻ tiếp tuyến $EC, ED. AD$ giao $BC$ tại $F$ sao cho $F$ nằm trong $(O)$.

Chứng minh rằng $EF\perp AB$.

Bài 2:

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O). P$ nằm trên tia $AC$ sao cho $PB, PD$ tiếp xúc với $(O)$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$ cắt $PD$ tại $Q, AD$ tại $R. E$ là giao điểm thứ hai của $AQ$ và $(O)$.

Chứng minh rằng $B,E,R$ thẳng hàng.

Cho $N$ là số nguyên dương. Biết rằng trong tập hợp ${1;2;3;..;N}$ có chứa 2016 số, mỗi số dạng $x^2+y^2$; x,y nguyên. 

CMR: tồn tại $N$ số ng dương liên tiếp trong đó có đúng 2015 số dạng $x^2+y^2$

Cho tam giác ABC nhọn. Một điểm D thay đổi trên BC. Gọi I,J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD.

a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IJD luôn đi qua một điểm cố định

b) Gọi P,M là tiếp tuyến của (I) với AB,BC; gọi N,Q là tiếp tuyến của (J) với AC,BC. Gọi X là giao điểm của PM và NQ. Chứng minh XD vuông góc với IJ

$S_1=4;S_2=12;S_{n+3}=3S_{n+1}+2S_{n+2}$

bài 1 bựa thầy phú dạy rùi b2 b3 mần răng

t ko biết chỉ biết chép lại thôi :3 :3 dài dài

1. Giả sử PT: x²+ax+b+1 có 2 nghiệm nguyên dương. Chứng minh a²+b² là hợp số

2. Cho PT: ax²+px-1=0 (p lẻ) có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂. Chứng minh nếu n là số tự nhiên thì x₁ⁿ+x₂ⁿ và x₁ⁿ⁺¹+x₂ⁿ⁺¹ là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau

3. Cho PT: x²+ax+b=0 và x²-cx+d=0

a,b,c,d thỏa mãn a(a-c)+c(c-a)+8(d-b)>0

Chứng minh ít nhất 1 trong 2 PT có 2 nghiệm phân biệt

bài 2 vs 3 thầy chữa 1 lần rồi, bọn tau có mần rồi, còn câu 1 với 4 tịt rồi

ờ nhầm, hấp tấp nên vội :v

cái này dùng nhị thwucs newton =))

3/b

$f(x)=2(x-a)(x-2014)(x-2015)+1\Rightarrow f(2016)-f(2013)=2(2016-a).2-2(2013-a).-1.-2=4(2016-2013)$

Cho tam giác ABC có các cạnh là a,b,c. M là điểm nằm trong tam giác; x,y,z là khoảng cách từ M đến BC,AC,AB. Xác định vị trí điểm M để

a/x + b/y + c/z đạt giá trị lớn nhất

ĐÚng rồi . 
Em có 1 cách khác dùng hệ thức viets ạ

Đến gần ngày nộp bài thì chợt phát hiện ra bài này có ý tưởng khá giống bài toán số học trong Iran TST 2013 

Tớ có cách này :v

$\frac{a}{b}+b/c+c/a-3=\frac{-(a^3+b^3+c^3-a^2c-b^2a-c^2b)+(a^3+b^3+c^3-3abc)}{abc}$

Biến đổi mấy cái ra là đc.

có 1 cách dùng Hàng điểm. Từ $A$ kẻ đường $||BC$

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là điểm trên cung nhỏ BCcủa(O), đường thẳng MC cắt đường thẳng BE tại L, đường thẳng F C cắt đường thẳng BMtại K. Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm đoạn KL.

Cho các số x,y,z thay đổi thỏa mãn điều kiện: $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=(xy+yz+2xz)^2- \frac{8}{(x+y+z)^2-xy-yz+2}$

đặt $xy+yz+2xz=t$

$P=t^2-\frac{8}{3+t}$

Cần tìm max t là xong, cái này khá đơn giản bằng cách dùng $AM-GM$

Cho $f(-1)=0,f(x)-f(x-1)=x(x+1)(2x+1)$ 
Tìm $f(x)$ và tính $f(2014)$

$f(x)$ là hàm bậc 4.