Hai người chơi một trò chơi với hai đống kẹo. Đống thứ nhất có 12 cái và đồng thứ hai có 13 cái. Mỗi người chơi được lấy hai cái kẹo từ một trong hai đống kẹo hoặc chuyển một cái từ đống thứ nhất sang đống thứ hai. Người chơi nào không thể thực hiện một trong hai thao tác trên coi như thua. Hãy chứng minh người đi lượt thứ hai không thể thua. Người đó có luôn thắng không?

tính bất biến là sau một lượt mà 2 người lấy kẹo thì |số kẹo đống 1-số kẹo đống 2| chia 4 dư 1=>người thứ 2 ko thể thua
--          biết rồi còn hỏi

1. Cho $\frac{1}{3}\leq a;b;c \leq 1$ 

Chứng minh: $\frac{1}{2} \leq \frac{a}{1+bc} + \frac{b}{1+ca} + \frac{c}{1+ab}\leq \frac{19}{10}$

2. $x;y;z\geq 0$ thỏa mãn x+y+z=1 

Chứng minh $0\leq xy+xz+yz-2xyz\leq \frac{7}{27}$

1/

http://diendantoanho...racc1ab-leq-19/

a)CMR với $a,b,c \in Q$;a,b,c>0 thỏa mãn $\sqrt{a}-\sqrt{b}=c$ thì $\sqrt{a},\sqrt{b}$ là các số hữu tỉ

b)CMR $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ là số vô tỉ

b/NCPT toán 9-tập 1

Chứng minh các BĐT:

 

$\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})$ với $a,b,c>0$

 

$\frac{(x^2+y^2)^2}{(x-y)^2}\geq8$ với $x>y$ và $xy=1$

 

$\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}<2\sqrt{a}$ với $a,b>

3/bđt<=>$(\sqrt{a+b}+ \sqrt{a-b})^{2}\leq 2(a+b+a-b)=2a$

Chỗ đó ghi nhầm rồi bạn

uk nhầm,phải là 2

1/Cho $0<x,y,z<1$.Chứng minh:

$\frac{1}{x(1-y)}+\frac{1}{y(1-z)}+\frac{1}{z(1-x)}\geq \frac{3}{xyz+(1-x)(1-y)(1-z)}$

2/Cho $a,b,c>0$.Chứng minh:

$\frac{a^5}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^5}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^5}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a^3+b^3+c^3}{3}    (1)$

2(C2):

Có:$\frac{a^{5}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a^{5}}{a^{2}+b^{2}+\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}=\frac{2}{3}.\frac{a^{5}}{a^{2}+b^{2}}$

CMTT=>VT(1)$\geq \frac{2}{3}.(\frac{a^{5}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{5}}{b^{3}+c^{3}}+\frac{c^{5}}{c^{3}+a^{3}})\geq \frac{2}{3}.\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2}=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}$=VP(1)

1/Cho $0<x,y,z<1$.Chứng minh:

$\frac{1}{x(1-y)}+\frac{1}{y(1-z)}+\frac{1}{z(1-x)}\geq \frac{3}{xyz+(1-x)(1-y)(1-z)}$

2/Cho $a,b,c>0$.Chứng minh:

$\frac{a^5}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^5}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^5}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a^3+b^3+c^3}{3}$

2/$\frac{a^{5}}{a^{2}+ab+b^{2}}+ \frac{b^{5}}{b^{2}+bc+c^{2}}+ \frac{c^{5}}{c^{2}+ca+a^{2}} = \frac{a^{6}}{a^{3}+a^{2}b+ab^{2}}+ \frac{b^{6}}{b^{3}+bc^{2}+cb^{2}}+ \frac{c^{6}}{c^{3}+c^{2}a+ca^{2}}\geq \frac{(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+ab(a+b)+bc(c+b)+ca(c+a)}\geq \frac{(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}=\frac{(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{3}$

Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR: $a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a+b)^2> a^3+b^3+c^3$

Già sử : $a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2> a^3 + b^3 + c^3$ (lời giải từ books.google.com)
$\Leftrightarrow a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2 - a^3 - b^3 - c^3 > 0$
$\Leftrightarrow a[(b - c)^2 - a^2] + b[(c - a)^2 - b^2] + c[(a - b)^2 - c^2] > 0$
$\Leftrightarrow a(b - c - a)(b - c + a) + b(c - a - b)(c - a + b) + c(a - b - c)(a - b + c) > 0$
$\Leftrightarrow (a + b - c)(ab - ac - a^2 - bc - b^2 + ab + ac + bc + c^2) > 0$
$\Leftrightarrow (a + b - c)(c^2 - a^2 - b^2 + 2ab) > 0$
$\Leftrightarrow (a + b - c)[c^2 - (a - b)^2] > 0$
$\Leftrightarrow (a + b - c)(c - a + b)(c + a - b) > 0$

$\Leftrightarrow (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) > 0$

Áp dụng BĐT $\Delta$, ta có :

$a + b > c \Rightarrow a + b - c > 0$

$b + c > a \Rightarrow b + c - a > 0$

$c + a > b \Rightarrow c + a - b > 0$

$\Rightarrow (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) > 0$

$\Rightarrow$ già sử đúng

$\Rightarrow a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2> a^3+b^3+c^3$

???

Chỗ màu đỏ đáng ra phải là: $= \frac{1}{1-y^2} $ mới đúng và áp dụng ngay bđt $1-y^2 \leq 1$

ukm mk nhầm xíu,thanks

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa $x+y+z=1$
CMR : $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$

$\Leftrightarrow x+2y+z\geq 4(x+y)(y+z)(z+x)\Leftrightarrow \frac{1}{4(x+z)(y+z)}+\frac{1}{4(x+z)(x+y)}\geq 1$

Thật vậy,ta có:$\frac{1}{z+x}(\frac{1}{4(y+z)}+\frac{1}{4(x+y)})\geq \frac{1}{z+x}.\frac{1}{x+y+y+z}=\frac{1}{y^{2}-1}$

Dễ thấy :$(x+y+z)^{2}+1\geq y^{2}=>1\geq  y^{2}-1=>\frac{1}{y^{2}-1}\geq 1$

$=>đpcm$

C4: Có: $2y\leq y^{2}+1=3-x^{2}=>c/m:\frac{x^{3}}{2-x^{2}}+\frac{9(2-x^{2})}{3+x-x^{2}}$

C3: $Cộng thêm x và (x+2y) rồi ghép và dùng AM-GM$

2. Chứng minh:

nếu $a+b\geq 2$ thì $a^{3}+b^{3}\leq a^{4}+b^{4}$ 

Áp dụng bổ đề: $ab(a+b)\leq a^{3}+b^{3}=>a^{3}+b^{3}+ab(a+b)\leq 2(a^{3}+b^{3})\leq (a+b)(a^{3}+b^{3})$

$\Rightarrow a^{3}+b^{3}+ab(a+b)\leq (a+b)(a^{3}+b^{3})=>a^{3}+b^{3}\leq (a^{3}+b^{3})(a+b)-ab(a+b)=a^{4}+b^{4}$

$=>đpcm$

Bài 22: Cho các số dương a, b, c, d. Biết $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1$

 

22.$\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\leq 1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{a+1} \Rightarrow \frac{1}{a+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(b+1)(c+1)(d+1)}}$

cmtt rồi nhân 4 BĐT  theo vế $=>1\geq 81abcd=>đpcm$

1. Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a^{2}}{b}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{a}}\geq \sqrt{a}+{\sqrt{b}}$ với a > 0, b > 0

 

$\sqrt{\frac{a^{2}}{b}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{a}}=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

Dùng phương pháp làm trội nhé: 

A=$\frac{1}{2} +\frac{1}{3}+...+ \frac{1}{n}$ 

2A=$\frac{2}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{2}{n}$

Ta thấy: $\frac{2}{n} < \frac{1}{n}.\frac{1}{n-1}$

Do đó : 2A < $\frac{1}{1}-\frac{1}{2} +\frac{1}{2}-\frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n-1} -\frac{1}{n }$

<=> 2A < $1-\frac{1}{n}$

<=> A<  1 

Lại có A>0 nên 0<A<1 

nếu là $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+..+\frac{1}{6}$ thì A lớn hơn 1 rồi

Cho các số thực dương $a,b,m,n$ thỏa mãn $a>b$ và $m>n$

Chứng minh rằng :  $\frac{a^{m}-b^{m}}{a^{m}+b^{m}}>\frac{a^{n}-b^{n}}{a^{n}+b^{n}}$

Nhân chéo ta được:$(a^{m}-b^{m})(a^{n}+b^{n})> (a^{n}-b^{n})(a^{m}+b^{m})$

$\Leftrightarrow (a^{m+n}-b^{m+n}+a^{m}b^{n}-a^{n}b^{m})> (a^{m+n}-b^{m+n}+a^{n}b^{m}-a^{m}b^{n})$

$\Leftrightarrow 2a^{m}b^{n}> 2a^{n}b^{m} \Leftrightarrow a^{m}b^{n}> a^{n}b^{m}$

$\Leftrightarrow a^{n}b^{n}a^{m-n}> a^{n}b^{n}b^{m-n}$

$=>luôn đúng do a,b,m,n là các số thực dương và a>b,m>n$

$=>đpcm$

b)http://diendantoanho...qrtcgeq-abbcca/

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN của $P=\frac{x}{1+y-x}+\frac{y}{1+z-y}+\frac{z}{1+x-z}$

$P=\sum \frac{x}{1+y-x}=\frac{x}{2y+z}+\frac{y}{2z+x}+\frac{z}{2x+y}$         $( do x+y+z=1)$

$\Rightarrow P=\frac{x^2}{2xy+xz}+\frac{y^2}{2yz+yx}+\frac{z^2}{2zx+zy}\geq \frac{(x+y+z)^2}{3(xy+yz+xz)}\geq 1$

$Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=\frac{1}{3}$ 
 

ai có cách dễ hiểu hơn ko

bạn ơi dùng trình soạn thảo  latex đi khó đọc wá

Cho a,b,c$\geq 0,a+b+c= 1.CMR a+b+2c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$

Áp dụng:$4xy\leqslant (x+y)^{2} (\forall x,y)$
$4(1-a)(1-b)(1-c)=4(b+c)(1-b)(1-c)\leqslant [(b+c)+(b-1)]^{2}(1-c)=(1+c)^{2}(1-c)=(1+c)(1-c^{2})\leqslant (1+c).1=1+c=a+b+2c$

2,Chứng minh:$\frac{x^2}{1+x^4}\leq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x^{4}+1\geqslant 2x^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x^{4}+1}\leqslant \frac{x^{2}}{2x^{2}}=\frac{1}{2}$ 

$\Leftrightarrow$ đpcm

nhận thấy dấu "=" xảy ra <=>a=b=1.

Do đó: 

BĐT<=>$\left ( \frac{3}{a^{2}+b^{2}}-\frac{6}{(a+b)^{2}} \right )+\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}-\frac{8}{(a+b)^{2}} \right )\geqslant 0$

Sau đó phân tích tiếp để đặt ra ngoài $(a-b)^{2}$ ra ngoài và trong ngoặc là phayn thức vs tử và mẫu đều dương