a) ĐKXĐ: $x\geq -1$. Phương trình tương đương $\left ( \sqrt{x+3}-1 \right )\left ( \sqrt{x+1}-2x \right )=0$

Giải tiếp được nghiệm $x=\frac{1+\sqrt{17}}{8}$

 

b) ĐKXĐ: x, y khác -1. Đặt $a=\frac{x}{y+1};b=\frac{y}{x+1}$ và được hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=\frac{1}{2} & \\ ab=\frac{1}{4} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^{2}=1 & \\ (a-b)^{2}=0 & \end{matrix}\right.$. Giải tiếp được nghiệm x = y = 1; x = y = -1/3

Câu b giải bằng cô-si được đó bạn

Câu 1: a)  Giải pt:  $\sqrt{x+1}+2x\sqrt{x+3}=2x+\sqrt{x^{2}+4x+3}$

            b)  Giải hpt:  $\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{(y+1)^{2}}+\frac{y^{2}}{(x+1)^{2}}=\frac{1}{2} & \\ 3xy=x+y+1 & \end{matrix}\right.$

 

Câu 2:  a)  Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn pt $9x+2=y^{2}+y$

             b)  Tìm các chữ số a,b sao cho $\overline{ab}^{2}=(a+b)^{3}$

 

Câu 3:  Cho các số a,b,c không âm. Chứng minh rằng:

            $a^{2}+b^{2}+c^{2}+3\sqrt[3]{(abc)^{2}}\geq 2(ab+bc+ca)$

           Đẳng thức xảy ra khi nào?

 

Câu 4:  Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AE và CF cắt nhau tại H. Gọi P là điểm thuộc cung nhỏ BC (P khác B,C) ; M,N lần lượt là hình chiếu của (P) trên các đường thẳng AB và AC. Chứng minh rằng:

            a)  OB vuông góc với EF và $\frac{BH}{BO}=2\frac{EF}{AC}$

            b)  Đường thẳng MN đi qua trung điểm của đoạn thẳng HP.

 

Câu 5:  Cho tam giác nhọn ABC có $\widehat{BAC}=60^{0}$ , BC=$2\sqrt{3}$ cm. Bên trong tam giác này cho 13 điểm bất kì. Chứng minh rằng trong 13 điểm ấy luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1 cm.

Đây là giải pt bằng cách đưa về hệ đối xứng loại 2

Tại sao lại có đoạn này được ? 

Có $(x-y-z)^{2}\geq 0$ 

$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 2xy +2xz-2yz$ 

$\Leftrightarrow 1\geq xy+xz-yz$

$\Leftrightarrow x^{2}+yz+x+1\geq x^{2}+xz+xy+x$

Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y$\leq z$. Chứng minh rằng:

$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$

 

@MOD : chú ý cách đặt tiêu đề

Bài 1: Giải pt: $x^{2}+5x-9=\sqrt{2x+1}$

Bài 2: Giải pt: $x^{2}+4x+2=(2x+3)\sqrt{3x+1}$

cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

chứng minh

$\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{ab}+\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{bc}+\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{ac}> 2$

BĐT $\Leftrightarrow$ (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0

diendantoanhoc.net/.../index.php?/...fracb2c2-a2bcfracc2a2-b2cafraca2b2- c2ab2/

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

BĐT$$\Leftrightarrow \frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+b}\geq 0$$

$\Leftrightarrow \frac{a+b}{c+a}+\frac{c+a}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\geq 3$ (*)

VT(*)$\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}=3$

suy ra đpcm

Cho a,b,c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

 $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b})$

 

@MOD: chú ý cách đặt tiêu đề

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ NHẤT NĂM 2014
Môn: TOÁN KHỐI A, B, A1

Thời gian làm bài: 180 phút

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x³ - (m + 2)x² + (m - 1)x + 2m - 1     (1), với m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1.

2) Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ x = 1 và đường thẳng d: 2x + y - 1 = 0 tạo với nhau một góc 30^o.

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình

Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân

Câu 5 (1,0 điểm).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc BAD = 60^o. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm tam giác ABC. Góc giữa mặt phẳng (ABCD) và (SAB) bằng 60^o. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc Phần B)

A. Theo chương trình Chuẩn

Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có A(1; 1), AB = 4. Gọi M là trung điểm cạnh BC, là hình chiếu vuông góc của D lên AM. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông, biết x_B < 2.

Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  và 2 mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 1 = 0; (β): 2x - y - 2z + 7 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d và (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) và (β).

Câu 9.a (1,0 điểm). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn. Tìm số hạng chứa x¹⁰ trong khai triển nhị thức Niu–tơn của
 với x # 0.

B. Theo chương trình Nâng cao

Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H(-6; 7), tâm đường tròn ngoại tiếp I(1; 1) và D(0; 4) là hình chiếu vuông góc của Alên đường thẳng BC. Tìm tọa độ đỉnh A.

Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng đường thẳng  và điểm A(2; 3; 3). Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A, có tâm nằm trên đường thẳng Δ và tiếp xúc với đường thẳng d.

Câu 9.b (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

.

Mình có cách này hay hơn này : Áp dụng bđt $\sqrt[3]{4(x^3+y^3)}\leq \frac{2(x^2+y^2)}{x+y}$

$= > 4\sqrt[3]{(x^3+y^3)(y^3+z^3)(z^3+x^3)}\leq \frac{8(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)}{(x+y)(y+z)(z+x)}=B$

Do đó ta chỉ cần CM :$B\leq (a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ac}{b})(c+\frac{ab}{c})< = > (a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$

Sử dụng tách ghép đối xứng ta có :$(a^2+bc)(b+c)=c(a^2+b^2)+b(c^2+a^2)\geq 2\sqrt{bc(a^2+c^2)(a^2+b^2)}$

Tuơng tự các biểu thức kia rồi nhân lại ta có đpcm

Anh chứng minh bđt đầu cho em với ạ

Cho các số thực dương a,b bất kì. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{8ab}{(a+b)^{2}}\geq 4$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh $\frac{a^{2}}{b+2}+\frac{b^{2}}{c+2}+\frac{c^{2}}{a+2}\geq 1$

\sum \frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}=\sum \frac{(a+3)^{2}}{2a^{2}+(3-a)^{2}}=\sum \frac{a^{2}+6a+9}{3(a^{2}-2a+3)}=\sum \frac{a^{2}-2a+3+8a+6}{3(a^{2}-2a+3)}=\sum \frac{1}{3}+\frac{8a+6}{3[(a-1)^{2}+2]}\leq \sum \frac{1}{3}+\frac{8a+6}{6}=\sum \frac{4}{3}+\frac{4a}{3}=\frac{4(a-1)}{3}+\frac{8}{3}\Rightarrow ĐPCM

Bạn chuyển vế sau khi chứng minh là thấy đó

mình còn cách này dùng bdt schur cho đỡ phức tạp :v 

$xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)=(1-2x)(1-2y)(1-2z)=-8xyz-2(x+y+z)+4(xy+yz+zx)+1 =-8xyz+4(xy+yz+zx)-1$

hay là $9xyz +1 \geq 4(xy+yz+xz)$

bdt cần cm sẽ viết lại thành 

$4(xy+yz+zx)+3(xy+yz+zx)\leq 1+(1+9xyz)$

mà $9xyz +1 \geq 4(xy+yz+xz)$ nên ta đi  c/m $1\geq 3(xy+yz+zx)$
cái này đúng khi thay x+y+z=1 

Cái này chứng minh xy+yz+xz$\leq \frac{1}{4}+\frac{9}{4}xyz$ rồi

Có ai còn cách nào giải bài 1 mà không cần xét hàm không?

1.Cho x,y,z không âm thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh: xy+yz+xz $\leq \frac{2}{7}+\frac{9}{7}xyz$

2.Cho x,y thỏa mãn x²+xy+y²=1. Tìm Max P= x³y + xy³

nhầm đề ko rứa pt vô no mà

không nhầm đề đâu bạn

Giải phương trình : $4x^4-4x^2-x+2=0$