Xét tất cả các tam thức bậc hai

$f(x)=ax^2+bx+c$

với $a<b$,$a\neq0$

Giả sử rằng $f(x)\geq 0$ với mọi $x$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{a+b+c}{b-a}$

1. $6x-x^2-5=3\sqrt{4-3\sqrt{13-3x}}$

2. $x=\sqrt{(2-x)(3-x)}+\sqrt{(3-x)(5-x)}+\sqrt{(5-x)(2-x)}$

3. $\sqrt{12-\frac{12}{x^2}}+\sqrt{x^2-\frac{12}{x^2}}=x^2$

4. $2\sqrt{x^2-4}+\sqrt{x-2}+\sqrt{x+2}+5x=12$

PT(1) <=> $x-4+(\sqrt{x^2-4x+1}-1)=3(\sqrt{x}-2)$

<=> $x-4+\frac{x^2-4x}{\sqrt{x^2-4x+1}+1}=3\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}$

<=> x=4 hoặc $1+\frac{x}{\sqrt{x^2-4x+1}+1}=\frac{3}{\sqrt{x}+2}$

PT sau vô nghiệm với $x\geq 2+\sqrt{3}$

bài này mình tìm được thêm 1 nghiệm $x=\frac{1}{4}$ =)) hình như bạn giải thiếu =)))

1. x + 1 + $\sqrt{x^2-4x+1}$ = 3$\sqrt{x}$

2. $\sqrt{3x^2+33}+3\sqrt{x}=2x+7$

3. $8 - x^2 =4(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})$

Cho x,y >0 thoả mãn $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=2$ 

CMR: $5x^{2}+y-4xy+y^{2}\geq 3$

Ta có: $2=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\geq 2\sqrt{\frac{2}{xy}}$

$\Leftrightarrow xy\geq 2$

$\Leftrightarrow 2xy=2x+y\geq 4$

Mặt khác:

$5x^2+y-4xy+y^2=(4x^2-4xy+y^2)+x^2+y=(2x-y)^2+x^2+1+y-1\geq 2x+y-1\geq 4-1=3$

Dấu "=" xảy ra khi x=1,y=2

Cho x, y > 0 thỏa mãn xy = 2

Tìm min $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{2x + y}$

Ta có: $2x+y\geq 2\sqrt{2xy}= 4$

$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{2x+y}=\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}=\frac{3(2x+y)}{16}+\frac{3}{2x+y}+\frac{5(2x+y)}{16}\geq \frac{3}{2}+\frac{5}{4}=\frac{11}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi x=1,y=2

Cho ba số $x,y,z$ thay đổi, không âm và $x+y+z=1$.Chứng minh rằng: $x+y\geq 16xyz$

Ta có:

$[ (x+y)+z ]^2\geq 4(x+y)z$

$\Rightarrow x+y=(x+y+z)^2(x+y)\geq 4(x+y)^2z\geq 16xyz$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{4}, z=\frac{1}{2}$

$9=(a+b+c)^3\leq 3(a^2+b^2+c^2)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3$

Ta có: $(a^2-1)^2+(b^2-1)^2+(c^2-1)^2\geq 0$

$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\geq 2(a^2+b^2+c^2)-3\geq a^2+b^2+c^2$                   (1)              

Mặt khác:

$\left\{\begin{matrix} a^4+a^2\geq 2a^3 & & \\ b^4+b^2\geq 2b^3 & & \\ c^4+c^2\geq 2c^3 & & \end{matrix}\right. (2)$

Từ (1)(2) $\Rightarrow 2(a^4+b^4+c^4)\geq a^4+b^4+c^4+a^2+b^2+c^2\geq 2(a^3+b^3+c^3)$

$\Rightarrow đpcm$

Cho $x,y\geq0 và x^{2}+y^{2}=1 . Chứng minh rằng \frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$

* Ta có $2=2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\Rightarrow x+y\leq \sqrt{2}$

Mà $1=(x^2+y^2)^2=(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+\sqrt{y}.\sqrt{y^3})^2\leq (x+y)(x^3+y^3)\leq \sqrt{2}(x^3+y^3)

$\Rightarrow x^3+y^3\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$     (1)

* Mặt khác $x^2+y^2=1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2\leq 1 & & \\ y^2\leq 1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 1 & & \\ y\leq 1 & & \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x^3\leq x^2 & & \\ y^3\leq y^2 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x^3+y^3\leq x^2+y^2=1$        (2)

Từ (1)(2) $\Rightarrow$ đpcm

Ngược dấu rồi bạn ơi 

đoạn cuối đánh nhầm dấu thôi bạn ơi, bạn xem lại tí 

cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ chứng minh $\frac{a^2}{1+2bc}+\frac{b^2}{1+2ac}+\frac{c^2}{1+2ab}\geq \frac{3}{5}$

 

$A=\sum \frac{a^2}{1+2bc}=\sum \frac{a^4}{a^2+2a^2bc}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+2abc(a+b+c)}=\frac{1}{1+2abc(a+b+c)}$

Mà $abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}\Rightarrow abc(a+b+c)\leq \frac{(a+b+c)^4}{27}\leq \frac{9(a^2+b^2+c^2)^2}{27}=\frac{1}{3}$

$A\geq \frac{1}{1+2.\frac{1}{3}}=\frac{3}{5}$

Biết t công thức nhanh hè 

 Tiện hỏi luôn bài

$2^{13}+2^{9}+2^{n}$

đi

có trên ni rồi, chơ nỏ chộ trả lời, nhác hỏi lại 

Chứng minh rằng: Nếu đa thức P(x) = $x^4+bx^3+cx^2+bx+1$ có nghiệm thì $\left | 2b \right |+\left | c \right |\geq 2$

2)  Cho a;b;c thuộc khoảng từ 0 đến 1. C/m
$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1} + (1-a)(1-b)(1-c)$ $\leq$ $1$. 

Ta có: 
$(1+a+b)(1-a)(1-b)\leq (\frac{1+a+b+1-a+1-b}{3})^{3}=1$

$\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-c}{1+a+b}$             (1)

Không mất tính tổng quát, giả sử $c\geq b\geq a> 0$ ta có:

$b+c+1\geq a+b+1$             (2)

$c+a+1\geq a+b+1$             (3)

$(1)(2)(3)\Rightarrow \frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{a+b+1}+\frac{c}{a+b+1}+\frac{1-c}{a+b+1}=1$

Cho x; y là các số thực thỏa mãn $4x^2+y^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức  

A = $\frac{2x+3y}{2x+y+2}$