Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có AB < AC . Tiếp tuyến tại A cắt CB tại T. kẻ đường kính AD, DB cắt OT tại E. CMR: AE // CD 

Bài 43:Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có $AB < AC$ . Tiếp tuyến tại $A$ cắt $CB$ tại $T$. kẻ đường kính $AD, DB$ cắt $OT$ tại $E$. $CMR: AE // CD$ 

Giải hệ phương trình:

 

1/

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=2(y^{4}-x^{4}) & \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=(x^{2}+3y^{2})(3x^{2}+y^{2}) & \end{matrix}\right.$

 

 

2/

$\left\{\begin{matrix} x^{4}-y^{4}=240 & \\ x^{3}-2y^{3}=3(x^{2}-4y^{2})-4(x-8y) & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow (x-2)^4 = (y-4)^4$
Tới đây là ok rồi!! 

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên tập hợp các số nguyên dương và nhận giá trị cũng trên tập đó và được xác định như sau:

$\left\{\begin{matrix} f(1) = 1 \\  f(2n) = f(n) \\ f(2n+1) = f(2n) + 1 \end{matrix}\right.$      $\forall n = 1,2...$ 

 Tìm $max$   $f(n)$ với $n \in [1;2011] $

Hàm số $f(x)$ xác định trên tập hợp các số nguyên dương và nhận giá trị cũng trên đó và được xác định như sau:

$\left\{\begin{matrix} f(1) = 1 \\  f(2n) = n \\ f(2n+1) = f(2n) + 1 \end{matrix}\right.$           \forall n = 1,2...

Tìm $max$   $f(n)$  với $n \in [1;2011] $

xét $y = 0$ thì $x = -1$

nếu $y \neq 0 $ thì hệ tương đương với:

từ giả thiết suy ra: $y = \frac{2x}{2x-1}$ và $\frac{1}{x} < 2$ hay $x > \frac{1}{2}$

ta có: $5x^{2}+y-4xy+y^{2}= (2x -y)^2 + x^2 + y \geq x^2 +y =  x^2 + \frac{2x}{2x-1}$

cần chứng minh: $  x^2 + \frac{2x}{2x-1} \geq 3$

                       $\Leftrightarrow \frac{(3x+2)(x-1)^2}{2x-1} \geq 0 $       (đúng vì $x > \frac{1}{2}$)

xét $g(x) = x^5$

bạn tìm đa thức $f(x) = ax^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3 + ex^2 + fx + g $sao cho: $g(x) = f(x) - f(x-1)$ (bạn khai triển ra rồi tìm các hệ số a,b,c,d,e,f,g bằng cách đồng nhất hệ số)

khi đó công thức cần tìm có dạng $S = g(1) + g(2) + ... + g(x) = f(1) - f(0) +f(2) - f(1) + f(3) - f(2) + ... + f(x) - f(x-1) = f(x) - f(0) $

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. CMR $\sum \frac{a}{1+a^{2}}\geq \frac{9}{10}$

nhầm dấu rồi bạn ơi!!  phải là:

$\sum \frac{a}{1+a^{2}}\leq \frac{9}{10}$

nếu như thế này thì bạn cm:

$\frac{a}{1+a^{2}} \leq  \frac{18a}{25} + \frac{3}{50}$ 

$\Leftrightarrow \frac{36(a-\frac{1}{3})^2(a+\frac{3}{4})}{50(a^2+1)} \geq 0$

theo mình x,y,z dương

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq  \frac{9}{x+y+z} = \frac{3}{2}$

suy ra: $xy+yz+zx \geq \frac{3xyz}{2}$

       $\Rightarrow \frac{4(xy+yz+zx))}{3} \geq 2xyz$

do đó: $xy+yz+zx -2xyz \geq xy+yz+zx -  \frac{4(xy+yz+zx))}{3} =  \frac{-(xy+yz+zx)}{3} \geq \frac{-(x+y+z)^2}{9} = -4 $

đặt $x = \sqrt[3]{2}$ suy ra $x^3 = 2$

ta có:

$\frac{3-3\sqrt[3]{4}}{1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}$

đặt $a = y^2  +1$

hệt trở thành:

$2x^2 + (\frac{x^2-1}{x})^2 = 4$

$\Leftrightarrow 3x^4 - 6x^2 +1 = 0$

.....

nhầm rồi.!!! Mod xóa hộ cái!!!   

$\frac{x^2+y^2-1}{(1-x)(1-y)} \geq  \frac{\frac{(x+y)^2}{2}-1}{\frac{(2-x-y)^2}{4}} = \frac{2[(x+y)^2-1]}{(2-x-y)^2}$

xét hàm $f(t) = \frac{t^2-1}{(2-t)^2}$ với $ t \geq 0$

chứng minh được $f(t) \geq f(\frac{1}{2}) $

đặt $a = x^2 + z^2$ và $b = y^2 + t^2$

$m = x + z \leq \sqrt{2(x^2 + z^2)} = \sqrt{2a}$

ta cần tìm max của $a$.

ta có

     $a + b = 25$

và $ab = (x^2+z^2)(t^2+y^2) \geq (xt+yz)^2 = 144$

suy ra: $a(25 - a) \geq 144$

       $ \Leftrightarrow -(a-9)(a-16)\geq 0$

Vì $y = 0$ ko là nghiệm của hệ nên chia 2 phương trình của hệ cho $y$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2+1}{y} + x +y = 4\\ \frac{x^2+1}{y}.(x+y-2)=1 \end{matrix}\right.$

tới đây đặt $a = \frac{x^2+1}{y} $ và $b = x+y-2$

hệ trở thành:

$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2+1}{y} = 1\\ x+y-2 = 1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+1 = y\\ x  = 3 - y\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 3 - y\\  (3-y)^2 + 1 = y\end{matrix}\right.$

 

$P = \sum \frac{a^2}{a+2b^3} = \sum a - \sum \frac{2ab^3}{a+2b^3} = 3 - \sum \frac{2ab^3}{a+2b^3} $

ta có: $ \sum \frac{2ab^3}{a+b^3 + b^3} \geq \sum \frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}} = \sum \frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}} = \frac{2}{3}\sum b\sqrt[3]{a^2}$ 

Lại có:$a +  ac + ac \geq a\sqrt[3]{c^2}$

           $b + ba + ba \geq b\sqrt[3]{a^2}$

           $c + bc + bc \geq c\sqrt[3]{b^2}$

cộng theo vế ta có:

$(a+b+c) + 2(ab+bc+ca) \geq 3\sum b\sqrt[3]{a^2}$

suy ra: $3\sum b\sqrt[3]{a^2} \leq 3+2.3 = 9 $

do đó: $ \sum b\sqrt [3]{a^2} \leq 3$

từ đó $P \geq 3 - \frac{2.3}{3} = 1$

 Giải hpt:

1. $\left\{\begin{matrix} (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})(x+y)=15\\(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})(x^{2}+y^{2})=85 \end{matrix}\right.$

 

2. $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+x-\frac{1}{y}=2\\ y-y^{2}x-2y^{2}=-2 \end{matrix}\right.$

 

3. $\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=3\\ 6\frac{(x+y)^{2}}{xy}+x^{2}+y^{2}-5(x+y)=\frac{2x^{2}}{y}+\frac{3y^{2}}{x}+6 \end{matrix}\right.$

 

Mod: Chú ý cách đặt tiêu đề và gõ latex

đặt $a = \frac{1}{y} $  

tới đây bạn trừ 2 pt cho nhau ta đc:
$(a-x)(2a+2x+2) = 0$ 

tới đây thế lại vào hệ là OK!!! 

Cho x,y thuộc R sao cho x²+y²=1. Tìm Min của biểu thức  : A=$\frac{x^{2}+2xy}{4y^{2}+1}$

@Mod : Chú ý cách đặt tiêu để

$A =  \frac{x^{2}+2xy}{4y^{2}+x^2+y^2}$

xét $y  = 0$ ta có: $x^2 = 1 $ và $A = x^2 = 1$

xét $y \neq 0$. đặt $ t = \frac{x}{y}$

khi đó: $A = \frac{t^2+2t}{5 + t^2} $    (chia cả tử và mẫu cho $y^2$ )

đến đây có lẽ bạn đã làm đc   

Bạn phải xét dấu trước đã nếu $x,y$ âm, $z$ dương thì sao

mà tới đây thì $x,y,z$ có nghiệm là bao nhiêu 

theo đề bài x,y,z dương

dấu = xảy ra khi $x = y = z = x^2 = y^2 = z^2$ $=> x = y =z = 0$ hoặc $x = y = z = 1$  (ko thỏa mãn)

cộng 2 vế lại rồi cô-si cho 6 số đó ra VT >= VP.từ đó tìm ra (x;y;z)

($x^{2}+y^{2}+z^{2} + x + y + z \geq 6\sqrt[6]{x^3y^3z^3} = 6\sqrt{xyz}$ )

$x^2+xy+y^2=x^2y^2$

$(x+y)^2 = xy(xy+1)$

VT là số CP còn VP là tích của 2 số nguyên liên tiếp

do đó: $xy = 0$  hoặc  $xy+1 = 0$

từ đó tìm đc $x$ và $y$

4)cho a,b,c là các số thực dương thoả $a^2+b^2+c^2=5(a+b+c)-2ab$ tìm giá trị nhỏ nhất của 

$P=a+b+c+48\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}\end{pmatrix}$

$P=a+b+c+48\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}\end{pmatrix}$

áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$a + 10 + \frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}} + \frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}} \geq  36$

$b + c + \frac{16}{\sqrt[3]{b+c}} + \frac{16}{\sqrt[3]{b+c}} + \frac{16}{\sqrt[3]{b+c}} \geq  32 $

cộng theo vế ta có: $P + 10 \geq 68$ suy ra: $P \geq 58$

dấu "=" xảy ra khi $a = 2 ;  b = 3 ; c = 5$ và khi đó  $a^2+b^2+c^2=5(a+b+c)-2ab$

  $x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$   $(1)$  

Nếu 3 số x , y, z có số dư khác nhau khi chia cho 3 thì x -y ,y - z , z -x cùng ko chia hết cho 3

Mà x + y + z chia hết cho 3 . từ (1) suy ra vô lí.

+ Nếu trong 3 sô x,y,z chỉ có 2 số chia cho 3 có cùng số dư thì 1 trong 3 hiệu x -y ,y - z , z -x có 1 hiệu chia hết cho 3

mà x + y + z ko chia hết cho 3 nên từ (1) suy ra vô lí.

vậy x,y,z có cùng số dư khi chia cho 3. do dó  (x -y) (y - z) ( z -x ) chia hết cho 27

đặt a = x -y.  b = y-z .  c = z-x thì a+b+c = 0 và abc chia hết cho 27

suy ra $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ chia hết cho 3.27 = 81

P/S: bị chậm mất rồi