Đến nội dung

Mikhail Leptchinski nội dung

Có 651 mục bởi Mikhail Leptchinski (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#637228 Marathon Phương trình và hệ phương trình VMF

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 31-05-2016 - 21:24 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Đặt $u=x^2+1$,$v=y$. Ta có:$PT(1)\Leftrightarrow \sqrt{uv}+(u-1)v=u^2 \Leftrightarrow \sqrt{uv}-v=u^2-uv$

$\Leftrightarrow \frac{v(u-v)}{\sqrt{uv}+v}=u(u-v)\Leftrightarrow (u-v)(\frac{1}{\sqrt{\frac{u}{v}}+1}-u)=0\Leftrightarrow u=v$ (vì $u>1$)

Thế xuống PT (2) giải hệ

Bạn nên giải hết cả bài đi  :D thế mới hay,không nên giải như thế này vì chưa rõ nhiều bài đoạn xử lí phương trình như thế nào mà.Nhiều bài cho tưởng dễ nhưng không dễ đâu :).Mong các bạn lần sau giải nên FULL lời giải + đáp số nhé mới được công nhận




#637097 Marathon Phương trình và hệ phương trình VMF

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 31-05-2016 - 12:16 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài toán 24:  Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}\sqrt{(x^2+1)y}+x^2y=(x^2+1)^2 & & \\ \sqrt{y}=\frac{(x^2+1)^3}{6xy^2-32x^3} & & \end{matrix}\right.$




#580608 Bàn về cách học Bất Đẳng Thức

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 11-08-2015 - 13:34 trong Kinh nghiệm học toán

Em là thành viên mới của VMF (đăng ký thành viên được 3 ngày) nên nếu em đặt topic này ở đây là không phù hợp cũng mong các admin thông cảm và nhắc nhở em. Em có 1 điều cần sự đóng góp của các bạn nhưng thật sự em không biết nên đặt topic này ở đâu cho phù hợp nên mạo muội đặt ở box Bất Đẳng Thức và Cực Trị Toán THPT vì vấn đề của em là xoay quanh Bất Đẳng Thức. Mở bài dài dòng nhưng vấn đề của em rất đơn giản: 

 

Bất đẳng thức là một câu rất khó trong đề thi đại học.Nếu anh muốn được điểm cao trong đại học,em nghĩ việc đầu tiên nên làm là ôn kĩ nhưng câu cho điểm.Sau đó luyện dần những bài khó theo chuyên đề thầy cô giáo cho.Vì thi đại học nhiều người ra làm được hết nhưng mất điểm ở những câu được coi là cho điểm ở đại học cũng như thế, giả sử mình làm hết được 8 điểm mà người khác làm được 9 bài nhưng họ 8,75 thì ai bảo mình giỏi hơn họ.Đi thi hơn nhau ở chỗ này.Còn về cách học,ai cũng biết học phần nào cũng từ dễ đến khó.Đừng ham khi học những câu phương trình hệ phương trình,hình học phẳng Oxy,bất đẳng thức mà đòi học những cái khó.Nên mua sách từ cơ bản -> nâng cao anh ạ

 

Đấy là BĐT lớp 9 đi thi ĐH ko có chuyện cho kiểu chứng minh dễ như vậy đâu mà thường cho chứng minh BĐT dồn vế 1 biến rồi dùng đạo hàm đây là một ví dụ minh họa:
Nên quen BĐT dạng này thì mới mong được 10 ai rảnh thì vào làm thử không dễ đâu

Lời giải của bài

Đánh giá $(a-1)(b+1)(c+1)$ đầu tiên.Dự đoán dấu bằng xảy ra khi:$a=3;b=c=1$ nên áp dụng cô si ta có:

$(a-1)+(b+1)+(c+1)\geq 3.\sqrt[3]{(a-1)(b+1)(c+1)}<=>(a-1)(b+1)(c+1)\leq \frac{(a+b+c+1)^3}{27}$

Từ đó gợi lên ta ý tưởng đánh giá:$\sqrt{a^2+b^2+c^2-4a+5}\geq x.(a+b+c)+y$ đề dồn biến một ẩn theo $a+b+c$

Ta có:$\sqrt{a^2+b^2+c^2-4a+5}=\sqrt{(a-2)^2+b^2+c^2+1}\geq \sqrt{(\frac{a+b+c-1}{4})^2}=\frac{a+b+c-1}{2}$

Từ đó suy ra:$P\leq \frac{1}{a+b+c-1}-\frac{27}{(a+b+c+1)^3}$

Đặt $a+b+c+1=t$ ($t>3$)

Xét hàm:$f(t)=\frac{1}{t-2}-\frac{27}{t^3}$

Khảo sát hàm số rồi ...

Max $P=\frac{1}{8}$




#574181 Giải phương trình: ​$\sqrt{5x^2+21x+16}-4\sqrt{2x+2}=\sqr...

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 20-07-2015 - 10:23 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải phương trình

 ​$\sqrt{5x^2+21x+16}-4\sqrt{2x+2}=\sqrt{x^2-2x-20}$

Giải phương trình: ​$\sqrt{5x^2+21x+16}-4\sqrt{2x+2}=\sqrt{x^2-2x-20}$

Lời giải:

Điều kiện:$\left\{\begin{matrix}5x^2+21x+16\geq 0 & & \\ x+1\geq 0 & & \\ x^2-2x-20\geq 0 & & \end{matrix}\right.$

          <=>$x\geq \sqrt{21}+1$

Phương trình trở thành:$\sqrt{5x^2+21x+16}=4\sqrt{2x+2}+\sqrt{x^2-2x-20}$

                                <=>$5x^2+21x+16=16(2x+2)+x^2-2x-20+8\sqrt{(2x+2)(x^2-2x-20)}$

                                <=>$(5x^2-9x+4)^2=64(2x^3-4x^2-40x+2x^2-4x-40)$

                                <=>$25x^4-218x^3+249x^2+2744x+2576=0$

                                <=>$(5x^2-21,8x-30)^2+73,76x^2+1436x+1676=0$

Vì $x\geq \sqrt{21}+1$

nên $(5x^2-21,8x-30)^2+73,76x^2+1436x+1676=0 >0 $ với mọi $x$
Do đó:Phương trình vô nghiệm
 
Phân tích một chút:Nếu các bạn giải phương trình: $25x^4-218x^3+249x^2+2744x+2576=0$ sẽ có nghiệm
Nên điểm mấu chốt phải để ý đến điều kiện để giải.Mong có cách khác hay hơn :)



#573894 1,$(2x^2-7x+3)(2x^2+25x+75)=-224x^2$

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 18-07-2015 - 23:54 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giai các phương trình sau

1,$(2x^2-7x+3)(2x^2+25x+75)=-224x^2$

2,$(2x^2-2x+1)(4x^2+2x-1)=5(2x-1)^2$

3,$x^2+4x-4=24(1-\frac{1}{x})^2$

Lời giải hơi trâu nhưng em cứ làm vậy :( ai có ý tưởng hay và chuẩn hơn thì post lên mọi người tham khảo nhé:

 

1,$(2x^2-7x+3)(2x^2+25x+75)=-224x^2$

Lời giải:

Khai triển phương trình ta có:

Phương trình <=>$4x^4+36x^3+205x^2-450x+250=0$                $(1)$

 Phân tích:Nếu ta tách cái này về:

$x^2.(2x+9)^2+124x^2-450x+225=0$ thì rất khó xử lý cái ngoài $>0$ để phương trình vô nghiệm

Do đó :Ta nghĩ đến tách dạng:$(ax^2+bx+c)^2+gx^4+dx^2+ex+f=0$

Ta có: $(1)$ trở thành:$(\sqrt{2}x^2+9\sqrt{2}x-11)^2+2x^4+(43+22\sqrt{2})x^2-x(450-198\sqrt{2})+104=0$

Giờ ta xử lý:$(43+22\sqrt{2})x^2-x(450-198\sqrt{2})+104=0$ >0 vì $(\sqrt{2}x^2+9\sqrt{2}x-11)^2+2x^4>0$ mọi $x$

Bấm máy tính ta làm tròn số :$43+22\sqrt{2}=74,11->74$;$450-198\sqrt{2}=170$ 

Phương trình ta làm tròn là:$74x^2-170x+104=0$

                                     <=>$(\sqrt{74}x-\frac{85}{\sqrt{74}})^2+\frac{471}{74}=0$

Ta thấy:$(\sqrt{74}x-\frac{85}{\sqrt{74}})^2+\frac{471}{74}>0$ với mọi $x$

Do đó:Phương trình vô nghiệm

 

2,$(2x^2-2x+1)(4x^2+2x-1)=5(2x-1)^2$

Lời giải:

 

Dùng máy tính $Casio$ nhẩm nghiệm ta thấy $x=1$ là nghiệm nên phân tích nhân tử

Phương trình

<=>$8x^4-4x^3-22x^2+24x-6=0$

<=>$2(x-1)^2.(4x^2+6x-3)=0$

Từ đó có:$x=1$ hoặc $4x^2+6x-3=0$

Giải phương trình kia có nghiệm:$x=\frac{-3-\sqrt{21}}{4};x=\frac{-3+\sqrt{21}}{4}$

 

3,$x^2+4x-4=24(1-\frac{1}{x})^2$

Lời giải:

 

Khai triển phương trình có:

      $x^4+4x^3-28x^2+28x-24=0$

<=>$\left [ x^2+2(1+\sqrt{7})x -2(1+\sqrt{7})\right ]\left [ x^2+2(1-\sqrt{7})+\frac{24}{2(1+\sqrt{7})} \right ]=0$

Với:$x^2+2(1+\sqrt{7})x-2(1+\sqrt{7})=0$ ta có

Phương trình có 2 nghiệm là

$x=-1-\sqrt{7}-\sqrt{10+4\sqrt{7}};x=-1+\sqrt{7}-\sqrt{10+4\sqrt{7}}$

Với:$x^2+2(1-\sqrt{7})+\frac{24}{2(1+\sqrt{7})}=0$ ta có

$\Delta '=(1-\sqrt{7})^2-\frac{24}{2(1+\sqrt{7})}=-0,5...<0$ nên phương trình vô nghiệm

Do đó:Phương trình có 2 nghiệm:$x=-1-\sqrt{7}-\sqrt{10+4\sqrt{7}};x=-1+\sqrt{7}-\sqrt{10+4\sqrt{7}}$

 
 

 




#569613 $\begin{cases}(x-2y)(3x+8y+4\sqrt{x^2-4xy+4y^2-...

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 03-07-2015 - 10:13 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

  Giải hệ phương trình trên tập số thực :

$$\begin{cases}(x-2y)(3x+8y+4\sqrt{x^2-4xy+4y^2-16})=-6\\(y-4x)(3y+2x+2\sqrt{x^2-4xy+4y^2-16})=-10\end{cases}$$

Lời giải:

Điều kiện xác định:$x^2-4xy+4y^2-16\geq 0<=>(x-2y)^2-4^2\geq 0<=>(x-2y)^2 \geq 16$

Từ phương trình $(1)$

Với $x-2y=0$ ta có:0=-6 => vô lý

Với $x-2y\neq 0$ ta có:$4\sqrt{x^2-4xy+4y^2-16}=\frac{-6}{x-2y}-3y-8y$

                                                                          $=\frac{-6-(3x+8y)(x-2y)}{x-2y}$

                                                                          $=\frac{-6-(3x^2-6xy+8xy-16y^2)}{x-2y}$

                                                                          $=\frac{3x^2-6-2xy+16y^2}{x-2y}$

                                    $<=>2\sqrt{x^2-4xy+4y^2-16}=\frac{3x^2-2xy+16y^2-6}{2(x-2y)}$ thay vào phương trình $(2)$ ta có:

      $(y-4x)\left [ 3y+2x+\frac{-3x^2-2xy+16y^2-6}{2(x-2y)} \right ]=-10$

$<=>(y-4x)\left [ 2(3y+2x)(x-2y)-3x^2-2xy+16y^2-6 \right ]=-20(x-2y)$

$<=>(y-4x)\left [ 2(3xy-6y^2+2x^2-4xy)-3x^2-2xy+16y^2-6 \right ]=-20(x-2y)$

$<=>(y-4x)(x^2-4xy+4y^2-6)=-20(x-2y)$

$<=>(y-4x)\left [ (x-2y)^2-6 \right ]=-20(x-2y)$

_Với $(x-2y)^2=6$ ta có:

$x^2-4xy+4y^2-16=6-16=-10<0$ nên không thỏa mãn điều kiện

_Với $(x-2y)^2\neq 6$ ta có:$y-4x=\frac{-20(x-2y)}{(x-2y)^2-6}$

Ta có :phương trình $(1)$ trở thành:

$(x-2y)\left [ -5(x-2y)-2(y-4x)+4\sqrt{(x-2y)^2-16} \right ]=-6$ thay $y-4x=\frac{-20(x-2y)}{(x-2y)^2-6}$ vào phương trình ta có:

$(x-2y)(-5(x-2y)+\frac{40(x-2y)}{(x-2y)^2-6}+\sqrt{(x-2y)^2-16})=-6$

Đặt $\sqrt{(x-2y)^2-16}=t$ ($t\geq 0$)

=>$\left\{\begin{matrix}(x-2y)^2=t^2+16 & & \\ (x-2y)^2-6=y^2+10 & & \end{matrix}\right.$ thay vào phương trình có:

      $-5(t^2+16)+\frac{40t^2+16}{t^2+10}+t+6=0$

<=>$-5(t^2+16)(t^2+10)+40t^2+16+(t+6)(t^2+10)=0$

<=>$-5(t^4+10t^2+16t^2+160)+40t^2+16+t^3+10t+6t^2+60=0$

<=>$-5t^4-130t^2-800+40t^2+16t+t^3+10t+6t^2+60=0$

<=>$5t^4-t^3+84t^2-26t+740=0$

<=>$(t^4-t^3+\frac{1}{4}t^2)+(t^2-26t+169)+4t^4+\frac{331}{4}t^2+571=0$

<=>$t^2(t-\frac{1}{2})^2+(t-13)^2+4t^4+\frac{331}{4}t^2+571=0$

Ta có:$t^2(t-\frac{1}{2})^2+(t-13)^2+4t^4+\frac{331}{4}t^2+571\geq 571>0$

Suy ra :Phương trình vô nghiệm

Do đó:Hệ phương trình không có nghiệm $x,y$ thỏa mãn đề bài




#568885 $x^{3}+3x^2-x+1-2\sqrt[3]{6x+2}=0$

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 29-06-2015 - 13:36 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

1. $x^{3}+3x^2-x+1-2\sqrt[3]{6x+2}=0$

2.

$\left\{\begin{matrix} x-y+\frac{2y}{x}=-2 & \\ 2xy-2y^2+x=0& \end{matrix}\right.$

1,

      $x^{3}+3x^2-x+1-2\sqrt[3]{6x+2}=0$

<=>$(x+1)^{3}+2(x+1)=(6x+2)+2\sqrt[3]{6x+2}$

Đặt $x+1=a;\sqrt[3]{6x+2}=b$.Ta có phương trình trở thành:

      $a^3+2a=b^3+2b$

<=>$(a-b)(a^2+ab+b^2)+2(a-b)=0$

<=>$(a-b)(a^2+ab+b^2+2)=0$

Từ đây suy ra 2 trường hợp:

_Với:$a=b$ ta có:$x+1=\sqrt[3]{6x+2}$

              <=>$x^3+3x^2+3x+1-6x-2=0$

              <=>$x^3+3x^2-3x-1=0$

              <=>$(x-1)(x^2+4x+1)=0$

phương trình có 3 nghiệm:$x=1;x=-2+\sqrt{3};x=-2-\sqrt{3}$

_Với:$a^2+ab+b^2+2=0$ ta có

   <=>$(a+\frac{1}{2}b)^2+\frac{3}{4}b^2+2\geq 2>0$ nên phương trình vô nghiệm

Do đó:Phương trình có 3 nghiệm là:$x=1;x=-2+\sqrt{3};x=-2-\sqrt{3}$

2,$\left\{\begin{matrix} x-y+\frac{2y}{x}=-2 & \\ 2xy-2y^2+x=0& \end{matrix}\right.$

Điều kiện:$x\neq 0$

Phương trình $(2)$:$2y(x-y)+x=0$

Với $y=0$ ta có:$x=0$ vô lí

Với $y\neq 0$ ta có:

$\left\{\begin{matrix}(x-y)+\frac{2y}{x}=-2 & & \\ 2(x-y)+\frac{x}{y}=0 & & \end{matrix}\right.$

Đặt $x-y=a$;$\frac{y}{x}=b$ ta có:

      $\left\{\begin{matrix}a+2b=-2 & & \\ 2a+\frac{1}{b}=0 & & \end{matrix}\right.$

<=>$\left\{\begin{matrix}2a+4b=-4 & & \\ 2a+\frac{1}{b}=0 & & \end{matrix}\right.$

Trừ vế cho vế ta có:$4b-\frac{1}{b}=-4 <=>4b^2+4b-1=0$

Từ đó có:$b=\frac{-1+\sqrt{2}}{2};b=\frac{-1-\sqrt{2}}{2}$

Từ đó bạn thay vào tính $a$ và giải hệ:

 

P/S:bài hệ số xấu quá nên mình nêu ý tưởng thôi  :(




#568307 tìm max $A = \dfrac{xyz}{(1+3x)(x+8y)(y+9z)(z+6)}$

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 26-06-2015 - 15:28 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Tìm giá trị lớ nhất của biểu thức:

$$A = \dfrac{xyz}{(1+3x)(x+8y)(y+9z)(z+6)}$$
 

Cách nữa:

Dự đoán:Max $A=\frac{1}{7^4}$

Tachứng minh:$\frac{xyz}{(1+3x)(x+8y)(y+9z)(z+6)}\leq \frac{1}{7^4}$

                          <=>$(1+3x)(\frac{x+8y}{x})(\frac{y+9z}{z})(\frac{z+6}{z})\geq 7^4$

                          <=>$(1+3x)(1+\frac{8y}{x})(1+\frac{9z}{y})(1+\frac{6}{z})\geq 7^4$

Áp dụng bất đẳng thức $Holder$ ta có:

$(1+3x)(1+\frac{8y}{x})(1+\frac{9z}{y})(1+\frac{6}{z})\geq (1+\sqrt[4]{3x.\frac{8y.9z.6}{xyz}})^4=7^4$ => điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra:$x=2;y=\frac{3}{2};z=1$




#568194 $\sqrt{\frac{a^3}{b^2+8c^2}}+......

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 25-06-2015 - 22:42 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{a^3}{b^2+8c^2}}+\sqrt{\frac{b^3}{c^2+8a^2}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^2+8b^2}}\geq \sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}}$




#567078 $\begin{cases}2x + y+ xy = 14 \\ x ^ 3 + 3x^2 + 3x - y -...

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 20-06-2015 - 14:14 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

$\left\{\begin{matrix}2x + y+ xy = 14 & & \\ x ^ 3 + 3x^2 + 3x - y - 1 = 0 & & \end{matrix} \right.$

Lời giải

Từ phương trình (1) ta có:

$y(x+1)=14-2x$

Với $x=-1$ ta có0=16 từ đó suy ra vô lí

Với $x\neq -1$ ta có::$y=\frac{14-2x}{x+1}$ thay vào phương trình (2) có:

$x^3+3x^2+3x=\frac{14-2x}{x+1}+1<=>(x+1)^3=\frac{14-2x}{x+1}+2<=>(x+1)^3=\frac{14-2x+2x+2}{x+1}<=>(x+1)^4=16$

$<=>\left[ \begin{array}{l} {x+1=2} \\ {x+1=-2} \end{array} \right.$

<=>$\left[ \begin{array}{l} {x=1} \\ {x=-3} \end{array} \right.$

Với $x=1=>y=6$

Với $x=-3=>y=-10$

Do đó :Hệ phương trình có 2 cặp nghiệm $(x;y)$ là:

$(1;6)$ và $(-3;-10)$




#567068 $\left\{\begin{matrix} x+y+z+t=12 &...

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 20-06-2015 - 13:08 trong Số học

Tìm các nghiệm nguyên dương của hệ 

$\left\{\begin{matrix} x+y+z+t=12 & & \\ xyzt=xy+xz+xt+yz+yt+zt+27 & & \end{matrix}\right.$

                                                               Lời giải hơi trâu

Vì $x,y,z,t>0$ nên áp dụng bất đẳng thức cô si 4 số ta có:

Phương trình 1:$12=x+y+z+t\geq 4\sqrt[4]{xyzt}<=>3\geq \sqrt[4]{xyzt}<=>81\geq xyzt$(1)

Áp dụng bất đẳng thức cô si 9 số cho phương trình (2) ta có:

$xyzt=xy+yz+xz+xt+yz+yt+zt+9+9+9\geq 9\sqrt[9]{(xyzt)^3.9^3}<=>(xyzt)^9\geq 9^{12}.(xyzt)^3<=>(xyzt)^6\geq 9^{12}<=>xyzt\geq 9^2=81$ (2)

Từ (1)(2) ta có:$xyzt=81$

Dấu bằng xảy ra khi:$x=y=z=t$

                                 $xy=yz=xz=xt=yz=yt=zt=9$

                                 $x+y+z+t=12$

<=>$x=y=z=t=3$

Do đó:nghiệm nguyên dương của hệ là:$x=y=z=t=3$

 

Góp ý:Mình nghĩ đề bài không cần cho $x,y,z,t$ nguyên dương vì khi sử dụng bất đẳng thức cô si đánh giá dấu bằng thì $x=y=z=t$




#566199 $3\sqrt[3]{\frac{3}{x+2}}+3x+2=0...

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 16-06-2015 - 15:51 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

giải phương trình

$3\sqrt[3]{\frac{3}{x+2}}+3x+2=0$

thank :lol: :lol: :lol:

Lời giải

Điều kiện xác định:$x\neq -2$

Nếu $x<-2$ ta có:$3\sqrt[3]{\frac{3}{x+2}}<0,3x+2<3.(-2)+2=-4 $ nên $3\sqrt[3]{\frac{3}{x+2}}+3x+2<0$

Nếu $x>-2$ 

$3\sqrt[3]{\frac{3}{x+2}}>0$.

Áp dụng cô si 3 số có:

$\sqrt[3]{x+2}\leq \frac{x+2+1+1}{3}=>3\sqrt[3]{\frac{3}{x+2}}\geq \frac{3\sqrt[3]{3}}{\frac{x+4}{3}}=\frac{9\sqrt[3]{3}}{x+4}$

Do đó:

      $0=\sqrt[3]{\frac{3}{x+2}}+3x+2\geq \frac{9\sqrt[3]{3}}{x+4}+(3x+2)<=>(3x+2)(x+4)+9\sqrt[3]{3}\leq 0$

<=>$<=>3x^2+14x+8+9\sqrt[3]{3}\leq 0<=>(\sqrt{3}x+\frac{7}{\sqrt{3}})^2+9\sqrt[3]{3}-\frac{25}{3}\leq 0$

Mà $(\sqrt{3}x+\frac{7}{\sqrt{3}})^2+9\sqrt[3]{3}-\frac{25}{3}> 0$ với mọi $x>-2$ nên vô lí

Do đó:Phương trình vô nghiệm




#566051 giải phương trình $3\sqrt{5x+4}+3\sqrt{x+4...

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 15-06-2015 - 22:21 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

$<=> 3(\sqrt{5x+4}-2)+3(\sqrt{x+4}-2)-4x^2-8x=0$

$<=> 3.\frac{5x}{\sqrt{5x+4}+2}+3.\frac{x}{\sqrt{x+4}+2}-4x(x+2)=0$

$<=>x(\frac{15}{\sqrt{5x+4}+2}+\frac{3}{\sqrt{x+4}+2}-4(x+2))=0$

Chứng minh được cái sau <0

Bạn chứng minh được cái sau <0 không.Cái bên trong bấm vẫn còn nghiệm

Bài phương trình vô tỉ này khá khó vì còn một nghiệm nữa vô tỉ và $x=0$.Bạn xem lại lời giải mình nhé!




#565066 $P=\frac{1}{\sqrt{3(2a^2+b^2)}}+...

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 11-06-2015 - 23:02 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho em hỏi sao có cái đoạn này.

Câu này là câu cuối trường chuyên Hùng Vương trên mình

Lời giải

Ta có: $\sum \frac{1}{ab}\leqslant \sum \frac{1}{a^2}\Rightarrow 7\sum \frac{1}{a^2}\leqslant 6\sum \frac{1}{a^2}+2015$

 

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2}\leqslant 2015$

Áp dụng bất đẳng thức:$a+b+c\leq \sqrt{3}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Từ đó có:

$\sum \frac{1}{\sqrt{3(a^2+b^2)}}\leq \sqrt{3}.\sqrt{\frac{1}{3}(\sum \frac{1}{2a^2+b^2})}=\sqrt{\sum \frac{1}{2a^2+b^2}}$

Áp dụng bất đẳng thức:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Từ đó có:$P\leq \sqrt{\frac{1}{9}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2})}=\sqrt{\frac{1}{3}.2015}=\frac{\sqrt{6045}}{3}$




#554231 Lí do nhắc nhở

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 15-04-2015 - 20:29 trong Xử lí vi phạm - Tranh chấp - Khiếu nại

Chả hiểu sao em đăng 1 bài ở BOX Đại Số THCS, tiêu đề đặt cũng đúng mà cũng bị hachinh2013 nhắc nhở. Anh chị Ban Quản Trị giải thích giùm em với ạ???.

http://diendantoanho...rằnga3b3c33abc/

 

_Mình kiểm tra thì thấy bạn bị nhắc nhở vì sai BOX .Nếu bạn bảo đăng 1 bài ở BOX Đại Số THCS mà bạn lại bị nhắc nhở sai Box ?Bạn thử xem lại xem lúc đầu bạn đăng đúng BOX chưa? Nếu đúng BOX thì nên nhờ BQT giải quyết.Cảm ơn bạn 




#544202 $\sqrt{2x-1}=x.(3-\sqrt{3x-2}-\sqrt...

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 14-02-2015 - 23:00 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình

Giải phương trình:$\sqrt{2x-1}=x.(3-\sqrt{3x-2}-\sqrt{3x+2})$




#543429 Đề thi thử chuyên Khoa học tự nhiên 2 vòng

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 08-02-2015 - 19:15 trong Tài liệu - Đề thi

Đề thi thử trường THPT chuyên KHTN vòng 1 + vòng 2

 

 

Hình gửi kèm

  • thi thử chuyên KHTN.jpg
  • thi thử chuyên KHTN 2.jpg



#543088 Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 12 Phú Thọ năm 2014-2015

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 05-02-2015 - 18:51 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Câu 8: Theo Cosi thì :

 

   $\frac{x+1}{y^2+1}+\frac{y+1}{x^2+1}=\frac{x}{y^2+1}+\frac{y}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}=\frac{x(1+y^2)-xy^2}{y^2+1}+\frac{y(1+x^2)-x^2y}{x^2+1}+\frac{1+x^2-x^2}{x^2+1}+\frac{1+y^2-y^2}{y^2+1}\geq x+y+2-\frac{xy^2}{2y}-\frac{x^2y}{2x}-\frac{x^2}{2x}-\frac{y^2}{2y}=\frac{x+y}{2}-xy+2= > \frac{x+1}{y^2+1}+\frac{y+1}{x^2+1}\geq \frac{x+y-2xy+4}{2}$   (1)

 

Bài 8 :  ( Cách 2 : Hơi khủng :icon6:  )

 

Đặt :         $\left\{\begin{matrix} x+y=t & \\ xy=q & \end{matrix}\right.$   

         $\Rightarrow q=\frac{5-t}{3}$   

Cách này chắc nhẹ nhàng tình cảm dễ nhìn hơn đó ạ

Từ giả thiết ta có:$xy\leq 1\leq \frac{x^2+y^2}{2}$

Từ đó suy ra:

$\frac{x+1}{y^2+1}+\frac{y+1}{x^2+1}=\frac{x^3+y^3+x^2+y^2+2+x+y}{x^2y^2+x+y+1}=\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2+1)+x^2+y^2+2}{x^2y^2+x+y+1}\geq \frac{(x+y)(x^2+y^2)+x^2+y^2+2}{x^2+y^2+2}\frac{(x+y)(x^2+y^2)}{x^2+y^2+2}+1\geq \frac{x+y}{2}+1=\frac{5-3xy}{2}+1$

Suy ra:$P\geq\frac{5-3xy}{2}+1-\sqrt{9-5xy}\geq 0$

Dấu bằng xảy ra:$x=y=1$




#543049 Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 12 Phú Thọ năm 2014-2015

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 05-02-2015 - 11:30 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Sáng nay hỏi mấy anh lớp 11-12 thấy họ làm có vẻ tốt  :icon6:

Hình gửi kèm

  • đề thi học sinh giỏi tỉnh phú thọ lớp 12.jpg



#542935 Đề thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2014-2015

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 04-02-2015 - 12:35 trong Tài liệu - Đề thi

Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ      KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH               Đề chính thức                                         NĂM 2014-2015

                                                                         Môn:Toán THCS

                                                                             Thời gian:150 phút

Câu 1(3,0 điểm):

a,Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:$x^2+y^2-xy=x+y+2$

b,Chứng minh rằng với ba số tự nhiên $a,b,c$ trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn ta luôn có:

$(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3-(a+c-b)^3$ chia hết cho $96$

Câu 2(4,0 điểm):

a,Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ta có:$\sqrt{1+(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+2})^2}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$

b,Tính tổng $S=\sqrt{1+(1+\frac{1}{3})^2}+\sqrt{1+(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})^2}+...+\sqrt{1+(\frac{1}{2014}+\frac{1}{2016})^2}$

Câu 3(4,0 điểm):

a,Giải phương trình:$\sqrt{2x^2-x}=2x-x^2$

b,Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}(x^2-1)y+(y^2-1)=2(xy-1) & & \\ 4x^2+y^2+2x-y-6=0 & & \end{matrix}\right.$

Câu 4(7,0 điểm):

Cho $BC$ là dây cung cố định trên đường tròn $(O)$,($BC$ không là đường kinh),$A$ là điểm di động trên cung lớn $BC$,($A$ không trùng $B$,$C$).Gọi $AD,BE,CF$ là các đường cao của tam giác $ABC$;$EF$ cắt $BC$ tại $P$.Qua điểm $D$ vẽ đường thẳng song song với $EF$ cắt $AC$ tại $Q$ và cắt $AB$ tại $R$

a,Chứng minh tứ giác $BQCR$ là tứ giác nội tiếp

b,Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$.Chứng minh rằng hai tam giác $EPM$ và $DEM$ là hai tam giác đồng dạng

c,Chứng minh đường tròn ngoại tiếp đi qua tam giác $PQR$ luôn đi qua điểm cố định

Câu 5(2,0 điểm):

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn:$x^2+y^2+z^2=3$.Chứng minh rằng:

$\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\geq xy+yz+xz$

 

P/S:Đề năm nay nhìn dễ chịu hơn đề năm ngoái.Đề năm ngoái cắn bút mới làm được tí mà năm nay hỏi mấy đứa em thi cùng năm ngoái bảo em làm được hết,đứa bảo em còn 1 phần  :( .Khóa nhọ quá.Mấy bác khác ở Phú Thọ năm ngoái cảm nhận thế nào ạ?

 




#542299 chứng minh $\forall a,b,c\epsilon R$ thì $(a^2+2)(b^...

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 29-01-2015 - 21:16 trong Bất đẳng thức và cực trị

chứng minh $\forall a,b,c\epsilon R$ thì

$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)$

thank  :icon6:  :icon6:  :icon6:

Bạn tham khảo thêm tại đây




#541142 $a^3+b^3+c^3 \ge a^2+b^2+c^2$

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 18-01-2015 - 00:06 trong Bất đẳng thức và cực trị

1.Cho a,b,c>0, abc=1/ Chứng minh:

a, $a^3+b^3+c^3 \ge a^2+b^2+c^2$

b, $a^n+b^n+c^n >=a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}$

a,Áp dụng cô si 3 số có:$a^3+a^3+1\geq 3a^2$

Từ đó tương tự ta được:$b^3+b^3+1\geq 3b^2$;$c^3+c^3+1\geq 3c^2$

Cộng các BĐT trên ta có:$2a^3+2b^3+2c^3+3\geq 3(a^2+b^2+c^2)$(1)

Áp dụng cô si 3 số có:$a^3+b^3+c^3\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$

Từ đó có:$3(a^3+b^3+c^3)\geq 2(a^3+b^3+c^2)+3$(2)

Từ (1)(2) =>$đpcm$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

b,Phần b, chỉ là tổng quát nhé bạn bạn làm tương tự trên và dùng quy nạp




#540729 $a+b+c\geq \sqrt{3}$

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 13-01-2015 - 21:36 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a,b,c dương và $ab+bc+ca=1$ Chứng minh rằng:

 

$a+b+c\geq \sqrt{3}$

Bạn chứng minh bất đẳng thức sau:$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)<=>\sum (a-b)^2\geq 0$

Từ đó có:$(a+b+c)^2\geq 3$ hay $a+b+c\geq \sqrt{3}$ =>$đpcm$

Dấu bằng xảy ra:$a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 




#540728 $P=\frac{x}{\sqrt{y^2+1}}+\...

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 13-01-2015 - 21:31 trong Bất đẳng thức và cực trị

Áp dụng bất đẳng thức cô si 2 số có:

Ta có:$P=\sqrt{5}(\frac{x}{2.\sqrt{(y^2+1).\frac{5}{4}}}+\frac{y}{2.\sqrt{(x^2+1).\frac{5}{4}}})\geq \sqrt{5}(\frac{x}{y^2+\frac{9}{4}}+\frac{y}{x^2+\frac{9}{4}})=\sqrt{5}.(\frac{x^2}{xy^2+\frac{9}{4}x}+\frac{y^2}{x^2.y+\frac{9}{4}})$

Áp dụng bất đẳng thức svat có:

$P\geq \sqrt{5}\frac{(x+y)^2}{xy(x+y)+\frac{9}{4}(x+y)}\geq \frac{\sqrt{5}}{xy+\frac{9}{4}}\geq \frac{\sqrt{5}}{\frac{(x+y)^2}{4}+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{\frac{10}{4}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Dấu bằng xảy ra :$x=y=0,5$




#540077 VMO 2015

Đã gửi bởi Mikhail Leptchinski on 09-01-2015 - 12:07 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

Đề thi VMO ngày 2!Em lấy bên mathscope

Hình gửi kèm

  • vmo day 2.jpg