chọn ma trận đường chéo toàn số lẻ,phần tam giác trên toàn số chẵn thì
detA lẻ nên khâc 0

.

(nhắc lại bđt sylvester $ r(A)+r(B) \leq r(AB)+n $ (chứng minh bdt này vô cùng đơn giản
ta có
$r(A)+r(A-E)+r(A+E) \leq r(A(A-E))+n +r(A+E) \leq r(A(A-E)(A+E))+2n =2n $
do đó
$ \dim(Ker A)+\dim (Ker A-E) + \dim(Ker A+E) \geq n $
do đó n có đủ n vtr đltt ( tương úng với các gtr 0,1-1 ) nên chéo hoá đc

Tổng quát: Cho A là 1 ma trận vuông có n gtr đôi 1 phân biệt thì

mọi ma trận B thoả mãn AB=BA  <=> B biểu diễn đc dưới dạng 1 đa thức của A

A^TA đối xứng và xác định dương nên không nhận $-1/2$ làm trị riêng

Cho $b_{ij}=(-1)^{i+j}a_{ij}$. Chứng minh rằng: $\left | a_{ij} \right |^{n}_{1}=\left | a_{ij} \right |^{n}_{1}$

quy najp theo n
Khai triển định thức theo cột cuối cùng

Cho $A, B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ sao cho $A^{2017}=0, AB=BA, B \ne 0$.
Chứng minh rằng $rank(AB) \le rank(B)-1$

Giả sử rankBA=rank AB=rank B
nên dim Im BA=dim Im AB=dim Im B
nhưng do $ImBA \subset Im B$ nên ImBA=ImB
bằng qui nạp kết hợp AB=BA ta có
$ImA^{2017}B=ImB$
vô lí.nên ta có rank AB <r ank B

$dim KerA=dim Ker A^T \leq n-1$
lấy $X \in Ker A, Y\in KerA^T$ và
$B=XY^T$ ta có dpcm

xét ánh xa tuyến tính đi từ $im B$ vào $imAB$
do 
rank(AB)=rank(B).
do đó ánh xa này là toàn ánh
tính chất cơ bản nó đồng thời là đơn ánh nên từ
$A(BX-BY)=0$ ta có $BX_BY=0$

Lời giải câu hình

 

 

 

 

 

Bài 7 dài quá, có thể phân ra 2 ý như sau:

7.1/ Tìm tất cả các số $a$ thoả mãn đề bài.

Khai triển và thu gọn, ta có $p(2p+3)=q(q^2-q-1)$. Do $(q,q^2-q-1)=1$ và $p$ là số nguyên tố nên chỉ xảy ra $p|q$ hoặc $p|q^2-q-1$.

Nếu $p|q$ thì do $p$, $q$ là số nguyên tố nên $p=q$. Thay vào tính được $p=q=4$ hoặc $p=q=-1$, đều loại.

Nếu $p|q^2-q-1$ thì $q|2p+3$. Đặt $2p+3=kq(k\in\mathbb{N},k\geq 1)$, thay vào đẳng thức ban đầu, khai triển và thu gọn thì $2q^2-(2+k^2)q+3k-2=0$. Xem đây là phương trình bậc hai theo $q$, để có nghiệm nguyên thì cần có $\bigtriangleup$ là số chính phương. Tính được $\bigtriangleup =k^4+4k^2-24k+20$. Thử với $k$ từ $1$ đến $5$, ta chọn $k\in \left \{ 1,2,5 \right \}$. Thế vào tính lại, nhận $k=5$, $q=13$, $p=31$, $a=2015$. Với $k\geq 6$ thì $(k^2+2)^{2}>k^4+4k^2-24k+20>(k^2)^{2}$ nên $k^4+4k^2-24k+20=(k^2+1)^{2}$, Phương trình này không cho nghiệm nguyên nên loại. Vậy $a=2015$.

7.2/ Tìm tất cả các số $b,c,d$ thoả mãn đề bài.

Từ giả thiết, $3d!+1>2015$ nên suy ra $d\geq 2$ hay $2|d!$. Ta có đẳng thức $3d!+1-2015-2^{b}=3^c$. Vế trái là bội của 2 mà vế phải thì không, mâu thuẫn. Vậy không tồn tại bộ 4 số nguyên dương thoả mãn đề bài.

Ý 7.1 thì $a=2016$ nhé.
Còn ý 7.2 thì chứng minh $b$ chia hết cho 6.
Xét $d>6$ với mod 7 thấy vô lý.
Xét d=6 thì tìm đc $b=6,c=4$

2. CMR với bất kì số nguyên n>1 nào thì $3^n-2^n$ không chia hết cho $n$.
3. Cho $p$ là số nguyên tố, n nguyên dương. Đặt $S_n=1^n+2^n+...+(p-1)^n$. Tìm số dư khi chia $S_n$ cho $p$.

Cho tam giác ABC, đường cao AK,BN,CM. Chứng minh rằng KM+KN<=BC

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+2abc=1$.

Tìm max của $P=a+b+c$ 
Cách giải đại số nhé các bạn, lượng giác mình chưa học...

Cho dãy số xác định bởi
$a_1=1$ và $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$. Tính $[a_{2020}]$ ( phần nguyên)

Cho dãy $a_n$ có $a_1=\dfrac{4}{3}$ và $(n+2)^2a_n=n^2a_{n+1}-(n+1)a_na_{n+1}$.
Tìm lim $a_n$
........................................

\begin{matrix}y=x(xy+2) \\z=y(yz+2)\\x=z(xz+2) \end{matrix}

Câu 1:\begin{matrix}x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=5 \\(xy-1)^2=x^2-y^2+2 \end{matrix}

Câu 2:\begin{matrix}x^2+xy+y^2=3y-1 \\x^3+x^2y=x^2-x+1 \end{matrix}

Câu 3:\begin{matrix}x^2+3x^2y=\dfrac{8}{x} \\y^3-1=\dfrac{6}{x} \end{matrix}

Câu 4:\begin{matrix}x^2+y^2+xy+1=4y \\y(x+y)^2=2x^2+7y+2 \end{matrix}

Câu 5:\begin{matrix}x^2y^2+2y^2+16=11xy \\x^2+2y^2+12y=3xy^2 \end{matrix}

Câu 6:\begin{matrix}x\sqrt{y^2+6}+y\sqrt{x^2+3}=7xy \\x\sqrt{x^2+3}+y\sqrt{y^2+6}=x^2+y^2+2 \end{matrix}

Câu 7: \begin{matrix}2x+2x^2-2y^2=7 \\2(x^2+y^2)=5 \end{matrix}

Câu 8: \begin{matrix}x^4-2x=y^4-y \\(x^2-y^2)^3=3 \end{matrix}

thanks ^^ còn bài 1 nựa bạn ơi 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Bạn ơi! Bàng tiếp góc A thì phải tiếp xúc với BC chứ

Thì có tiếp xúc với tia đối tia BA đó bạn

Giúp mình với :3

1. Cho tam giác ABC, đường tròn (O) bàng tiếp góc A tiếp xúc AB tại N, đường kính NM của đường tròn (O). Trên tia đối của tia AB lấy điểm K sao cho AK=BN. Chứng minh rằng K,C,M thẳng hàng.