Em xin giải :
Đặt $p = a + b = c - d$ với $p, a, b, c, d \in \mathbb{P}$ và $a \geq b ; c > d$.
Ta có :
Do $p$ là tổng của $2$ số nguyên tố nên $p > 2$ $\Rightarrow p$ lẻ.
Do $p$ lẻ nên trong hai số $c ; d$ sẽ có một số là $2$, mà $c > d$ nên $d = 2$.
Do $p$ lẻ nên trong hai số $c ; d$ sẽ xảy ra hai trường hợp :
$TH1 : a = b = 2$, loại vì khi đó $p = 4 \Rightarrow p \notin \mathbb{P}$.
$TH2 : a > b \Rightarrow b = 2$, chọn.
Vậy $p = a + 2 = c - 2$ $\leftrightarrow a + 2 = p$ $;$ $p + 2 = d$ hay $a, p, d$ là ba số nguyên tố lẻ liên tiếp.
Mà chỉ có $3$ số $3, 5, 7$ là phù hợp.
$\Rightarrow \left ( a ; p ; d \right ) = \left ( 3 ; 5 ; 7 \right )$
Vậy, $\boxed{p = 5}$.

Dòng đỏ hơi kì : Nếu a = b = 2 thì làm sao p lẻ được ? 
Với lại xuống duới sao bạn lại kết luận d = 7 trong khi phía trên lại ghi d = 2 ?

Lời giải. Đầu tiên ta sẽ chứng minh $x^2-y^2$ chia hết cho $3$ bằng việc áp dụng tính chất $a^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$ với $a \in \mathbb{Z}$.

Thật vậy, nếu cả hai số $x^2$ và $y^2$ có cùng số dư khi chia cho $3$ thì $x^2-y^2$ chia hết cho $3$.
Nếu hai số có khác số dư khi chia cho $3$. Không mất tính tổng quát, giả sử $x \equiv 0 \pmod{3}, \; y \equiv 1 \pmod{3}$ thì $x^2+y^2 \equiv 1 \pmod{3}$ mà $2z^2 \equiv 0,2 \pmod{3}$, mâu thuẫn.
Vậy hai số $x^2,y^2$ không thể khác số dư khi chia cho $3$.
Do đó ta luôn có $3|x^2-y^2$.

Ta chứng minh $x^2-y^2$ chia hết cho $16$ bằng việc áp dụng tính chất $a^2 \equiv 0,1,4,9 \pmod{16}$ với $a \in \mathbb{Z}$.
Dễ nhận thấy $x,y$ có cùng tính chẵn lẻ.

Nếu $x,y$ đều lẻ. Với $x^2,y^2$ có cùng số dư khi chia cho $16$ thì hiển nhiên ta có đpcm.
Với $x^2,y^2$ khác số dư khi chia cho $16$, mà $x,y$ lẻ nên không mất tính tổng quát, giả sử $x^2 \equiv 1 \pmod{16}, \; y^2 \equiv 9 \pmod{16}$ thì $x^2+y^2 \equiv 10 \pmod{16}$, mà $2z^2 \equiv 0,2,8 \pmod{16}$, mâu thuẫn.
Vậy với $x,y$ lẻ thì $16|x^2-y^2$.

Nếu $x,y$ đều chẵn. Đặt $x=2x_1,y=2y_1$ với $x_1,y_1 \in \mathbb{Z}$. Khi đó $$x^2+y^2=2z^2 \Leftrightarrow 2 \left( x_1^2+y_1^2 \right) =z^2 \qquad (1)$$
Ta suy ra $z$ chẵn, đặt $z=2z_1$ thì $$(1) \Leftrightarrow x_1^2+y_1^2=2z_1^2 \qquad (2)$$
Lí luận tương tự trên:
Với $x_1,y_1$ đều lẻ ta suy ra $x_1^2-y_1^2$ chia hết cho $16$.
Với $x_1,y_1$ cùng chẵn thì $x_1=2x_2, \; y_1=2y_2$. Khi đó $x=2x_1=4x_2, \; y=2y_1=4y_2$ nên $x^2-y^2=16(x_2^2-y_2^2)$ chia hết cho $16$.

Trong mọi trường hợp, ta luôn có $16|x^2-y^2$.

Kết luận. Vậy $48|x^2-y^2$.

Khoan khoan : Dòng đỏ : nói là mâu thuẫn nhưng sao lại kết luận là với mọi x,y lẻ ?

Ta có nhận xét sau :

$2^{100k}\equiv 376(mod1000)$

Mà : $9^{10}\equiv 1(mod100)$

$\Rightarrow 9^{2013}\equiv (9^{10})^{201}.9^{3}\equiv 29(mod100)\Rightarrow 9^{2013}=100n+29$

$\Rightarrow 2^{9^{2013}}\equiv 2^{100n+29}\equiv 2^{100n}.2^{29}\equiv 912(mod1000)$

Vậy 3 chữ số tận cùng là 912 

 

Bài bác có lộn không nhỉ !?

Ta có nhận xét sau :

$2^{100k}\equiv 376(mod1000)$

Mà : $9^{10}\equiv 1(mod100)$

$\Rightarrow 9^{2013}\equiv (9^{10})^{201}.9^{3}\equiv 29(mod100)\Rightarrow 9^{2013}=100n+29$

$\Rightarrow 2^{9^{2013}}\equiv 2^{100n+29}\equiv 2^{100n}.2^{29}\equiv 912(mod1000)$

Vậy 3 chữ số tận cùng là 912 

 

Bài bác có lộn không nhỉ !?

Cho em hỏi là nhận xét dòng đầu có mũ k , xuống nhận xét dòng màu đỏ có mũ n . Mình dc dùng như vậy ạ ?

Ta có $1995^{k}\equiv 5(mod20)$

do đó $1994^{1995^{...}}\equiv 1994^{5}(mod100)\equiv 24(mod 100)$

$1993^{1994^{1995^{...}}}\equiv 1993^{24}(mod 1000)$$\equiv 401(mod 1000)$

Đâu có tính chất như vậy đâu bạn 

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 333...33 ( 100 chữ số 3 )
- Bài này em dùng phương pháp quy nạp nhưng đến bước 3 thì không biết làm nữa. Các anh chị chỉ em với .

Vì hợp số có 2 ước trở lên mà!

Nhưng lỡ 1 trong 2 số là số 1 thì sao ?

Gọi $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$.

Ta có $S(n)\equiv n$  modun 9.

Do đó với chữ số $i$,số lần xuất hiện cuối cùng của nó chính bằng số số ban đầu trong dãy đồng dư với $i$ modun 9

Mà ban đầu trong dãy,số số đồng dư với $1$ modun $9$ là nhiều nhất nên sau cùng,chứ số còn lại nhiều nhất là chữ số $1$.

QED.

Bạn ghi rõ hơn đc không 

Giả sử cả 3 số đều không chia hết cho 4 $\Rightarrow a^{2};b^{2};c^{2}\equiv 1(\mod 4)$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}\equiv 2(\mod 4)\Rightarrow a^{2}+b^{2}\neq c^{2}$
Suy ra giả sử sai

Vậy ta có điều phải chứng minh.
 

Bạn thiếu rồi kìa. Phải xét TH chia 4 dư 3; chia 4 dư 2 nữa chứ 

$a)$Ta có:
$a^3+b^3+c^3-a-b-c=(a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c)=(a-1)a(a+1)+(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)$
Vì $a+b+c$ $\vdots $ $6$ và $(a-1)a(a+1)+(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)$ $\vdots $ $6$ nên $a^3+b^3+c^3$ $\vdots $ $6$.

$b)$ $2009^{2010}$ không chia hết cho 2 nên $2009^{2010}$ không chia hết cho $2010$

$c)$ Giả sử $n^2+7n+22$ chia hết cho $9,$ suy ra $n^2+7n+22$ chia hết cho $3$.
Ta có:
$(n+5)^2=n^2+10n+25=n^2+7n+22+3(n+1)$
Mà $n^2+7n+22$ chia hết cho $3$ nên $(n+5)^2$ chia hết cho $3$.
Do đó $n+5$ chia hết cho $3$.
Suy ra $n=3k-5$ $(t\in Z)$
Ta có:
$n^2+7n+22=(3k-5)^2+7(3k-5)+22$
$=9k^2-39k+25+21k-35+22=9k^2-9k+9+3,$
không chia hết cho 3, trái với điều giả sử.
Vậy $n^{2}+7n+22$ không chia hết cho $9$ .

Cho em hỏi ở mấy dòng đỏ : 9.k² -9.k+9+3 chia hết cho 3 mà ?!?!?!

Ta có $S = {n^2} + 3n - 38 = {n^2} + 3n - 10 - 28 = (n + 5)(n - 2) - 28$
Dễ thấy n+5,n-2 có cung số dư khi chia cho 7
Nếu (n+5)(n-2) không chia hết cho 7 thì S không chia hết cho 7
Nếu (n+5)(n-2) chia hết cho 7 thì 1 trong 2 số phải chia hết cho 7.Do nhân xét suy ra cả 2 số chia hết cho 7.suy ra (n+5)(n-2) chia hết cho 49,mà 28 không chia hết cho 49,suy ra S không chia hết cho 49

Giảng cho em hiểu rõ hơn câu ''có cùng số dư khi chia cho 7'' đc k ạ

Tìm scp có dạng 1985ab ? Ai làm dùm em với

Anh chị ơi cho em hỏi mình dc dùng theo kiểu phương trình tích hông ạ ? Như vầy nè :
(x+1).(x² +1) = k² => x+1=k và x² +1=k hoặc...

Ta có : $2^{8}+2^{11}+2^{n}=k^{2}\Leftrightarrow 2304+2^{n}=k^{2}\Rightarrow 2^{n}=(k-48)(k+48)$

Đặt $k - 48 = 2^{p}, k+48=2^{q} (p<q,p+q=n)$

$\Rightarrow 96=2^{q}-2^{p}=2^{p}(2^{q-p}-1)=2^{5}.3\Rightarrow p=5,q=7\Rightarrow n=12$

Ồ thanks. Mình cũng đang bí bài này

Híc bỏ số học lâu quá có gì sai thông cảm =.=
Đặt 13a+3=$y^2$ (y là số nguyên)
13(a-1)=$y^2-16=(y+4)(y-4)$
$\Rightarrow y-4\vdots 13$ hoặc $y+4\vdots 13$
Đặt y+4=13k hoặc y-4=13k' (k,k'$\in N$)
y+4=13k$\Leftrightarrow y=13k-4$
Từ ta có 13(a-1)=13k(13k-8)
$\Leftrightarrow a=13k^2-8k+1$
y-4=13k'$\Leftrightarrow y=13k'+4$
Từ $\Rightarrow a=13k^2+8k'+1$
Vậy a=$13m^2\pm 8m+1(m\in N)$

Ồ. Hay quá Cám ơn ạ. Nhưng mình dùng theo kiểu phương trình tích đc k ạ ?

$\left ( a^{2}+3a+1 \right )^{2}-5a\left ( a+1 \right )^{2}=a^{4}+9a^{2}+1+6a^{3}+6a+2a^{2}-5a^{3}-10a^{2}-5a=a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1$

Dạ. Em cám ơn 

1/ Đặt $5^{25}=a$

Ta có $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}=\frac{a^{5}-1}{a-1}=a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1=\left ( a^{2}+3a+1 \right )^{2}-5a\left ( a+1 \right )^{2}$

Đến đây thay lại $5^{25}=a$ vào là được...

Em có thay vào mà nó vẫn k ra Giải dùm em ạ

Anh chị nào giải hẳn bài 4b cho em đi ạ 

Mấy anh chị giải dùm em  C/m : 198^n + 17 k là sntố với n thuộc N , n > 1 . 

Giải như sau:
Đặt $x=5^{25}$ ta có
$\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$=$a^4+a^3+a^2+a+1$$=(a^2+3a+1)^2-5a(a+1)^2=(a^2+3a+1)^2-5^{26}(a+1)^2=(a^2+3a+1-5^{13}(a+1))(a^2+3a+1+5^{13}(a+1))$
Dễ chứng minh đây là hợp số.

Ôi @@ Cho em hỏi c/m là hợp số lsao ạ ? Em còn nhỏ chưa biết nên đừng la em ạ T___T

Cho em hỏi chỉ biết đó là tích của 2 số thì lsao khẳng định là hợp số ạ ?