Hình như bạn chưa đề cập $x$ là gì thì phải.

xin lỗi bạn mình gõ nhầm   

Cho $(x_n)$ thỏa $x_0=0; x_1=45; x_{n+2}=3x_{n+1}+x_n$. Tìm số dư của $x_{2008}$ khi chia cho $2012$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $M$ là một điểm bất kì trên đường tròn. Gọi $D, E, F$ là chân các đường vuông góc từ $M$ đến $BC, CA, AB$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $DE$ đi qua trung điểm $HM$.

Trên một mặt bàn đặt một số các đồng xu với kích cỡ không giống nhau đôi một (các đồng xu không được đè lên nhau và phải nằm sấp hoặc ngửa trên bàn). Chứng minh rằng dù ta đặt như thế nào đi nữa, cũng luôn tồn tại một đồng xu chỉ tiếp xúc được với nhiều nhất 5 đồng xu khác.
 

Thật sự là mình không biết . Nhưng dấu bằng xảy ra không phải ở a=b=c

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. CMR:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{6}{a+b+c}\geq 5$

Cho $a,b,c>0$   và $a^2+b^2+c^2=1$. CMR

$\frac{a}{a^3+bc}+\frac{b}{b^3+ac}+\frac{c}{c^3+bc}\geq 3$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ cố định, $A$ di chuyển. $E,F$ lần lượt là điểm đối xứng của $B,C$ qua $CA, AB$.

$i)$ Chứng minh đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với $EF$ luôn đi qua một điểm cố định.

$ii)$ Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Chứng minh $AK$ đi qua điểm cố định.

Cho $x,y \in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+2y^2}}\geq \frac{2}{\sqrt{1+2xy}}$

Từ giả thiết tương đương

$2(a^2c+b^2a+c^2b)\geq a^2b+b^2c+c^2a+3abc$

$\Leftrightarrow 2[a^3+b^3+c^3-a^2c-b^2a-c^2b]\leq (a^3+b^3+c^3-a^2b-b^2c-c^2a)+a^3+b^3+c^3-3abc$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}(2b+a)(a-b)^2 \leq \frac{1}{3}\sum (2a+b)(a-b)^2+\frac{1}{2}(a+b+c)[\sum (a-b)^2)]$

$\Leftrightarrow 4\sum (2b+a)(a-b)^2\leq 2\sum (2a+b)(a-b)^2+3(a+b+c)[\sum (a-b)^2]$

$\Leftrightarrow 3(a-b)^2(a+c-b)+3(b-c)^2(b+a-c)+3(c-a)^2(c+b-a)\geq 0$ (đúng vì $a,b,c$ là độ dài các cạnh tam giác)

Tìm $a,b \in \mathbb{Z}^+$ và $ab\neq 1$. Sao cho

$\frac{a^2+b^2+ab}{ab-1}\in \mathbb{Z}$

Cho $K$ là một điểm nằm trong tam giác $ABC$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là các điểm đối xứng với $K$ qua trung trực của $BC, CA, AB$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$ và $X,Y,Z$ lần lượt là trung điểm của $EF,FD,DE$ Chứng minh rằng $MX,NY,PZ$ đồng quy.

Cho $\left\{\begin{matrix} 0<b \leq a \leq2\\ ab \leq 2 \end{matrix}\right.$

Xác định hàm số $f: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn phương trình

$mf(n)+nf(m)=(m+n)f(m^2+n^2)$

Cho tam thức bậc hai có dạng $f(x)=ax^2+bx+c$ thỏa $\left | f(x) \right |<1, \forall x\in [-1;1]$. CMR $f(\frac{5}{4})<\frac{17}{8}$

Bài 1:Giải các phương trình sau

a) $\sqrt{7-x}+\sqrt{x+1}=x^2-6x+13$

 

Áp dụng Bunhiacopsky cho VT:

$\sqrt{7-x}+\sqrt{x+1}\leq \sqrt{2(7-x+x+1)}$ 

<=>$\sqrt{7-x}+\sqrt{x+1}\leq4$ (1)

Mặc khác: $x^2-6x+13=(x-3)^2+4\geq 4$ (2)

(1),(2) => $\sqrt{7-x}+\sqrt{x+1}=x^2-6x+13=4$ => $x=3$

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm và không có hai số nào cùng bằng $0$. CMR

$\frac{a^2+b^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+b^2}\geq \frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b}$

Cho $x,y,z \in \mathbb{R}$. CMR: $6(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\leq 27xyz+10(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}$

$\Leftrightarrow 2(ab)^3+2(bc)^3+2(ca)^3+3(abc)^2<(ab)^23(a^2+b^2+c^2)+(bc)^23(a^2+b^2+c^2)+(ca)^23(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow (ab)^2(3a^2-2ab+3b^2)+(bc)^2(3b^2-2bc+3c^2)+(ca)^2(3c^2-2ca+3a^2)>0$ (đúng vì $a,b,c>0$)

Đáng nhẽ ra phải như thế này chứ :$\sum (ab)^{2}(3a^2-2ab+3b^2+3c^2)>0$

Cho $a, b, c >0$. CMR $(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}<(a^2+b^2+c^2)^3$

Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên dương, phương trình $x^{2}+15y^{2}=4^{n}$ có ít nhất $n$ nghiệm nguyên $(x,y)$

Cho tam giác $ABC$ có $BC=a ; CA=b; AB=c$. $M$ là điểm nằm trong tam giác. Gọi $H, I, K$ lần lượt là chân các đường vuông góc từ hạ từ $M$ xuống $BC, CA, AB$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{MH}\overrightarrow{MH}+\frac{b}{MI}\overrightarrow{MI}+\frac{c}{MK}\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{0}$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 5(x^2+y^2)+\frac{2}{(x+y)^2}-2xy &=\frac{251}{5}\\ \frac{x^2+2xy+y^2+1}{x+y}&=5-x+y \end{matrix}\right.$

Cho phương trình 

$x+3(m-3x^2)^2=2$

a. giải phương trình với $m=2$

b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm

Cho góc vuông xOy và 2 điểm A, B nằm trên cạnh Ox (A nằm giữa O và B), điểm M bất kỳ trên cạnh Oy. Đường tròn (T) đường kính AB cắt tia MA, MB lần lượt tại 2 điểm thứ hai là C,E. Tia OE cắt (T) tại F.

1. Chứng minh 4 điểm O,A,M,E thuộc 1 đường tròn
2. Tứ giác OCFM là hình gì? tại sao?
3. CMR $OE.OF+BE.BM=OB^2$
4. Xác định M để OCFM là hình bình hành, tìm mối quan hệ OA và AB để tứ giác là hình thoi.

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.