Giải các bất phương trình: 

1. $(2x+7)\sqrt{2x+7}\geq x^{2}+9x+7$

2. $2x\sqrt{x+2}+15>3\sqrt{x+2}+10x$

3. $\sqrt{\frac{x^{2}}{4}+\sqrt{x^{2}-4}}\geq 8-x^{2}$

4. $\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}+\sqrt{x(x^{2}-x+1)}\leq \sqrt{\frac{(x^{2}+1)^{3}}{x}}$

Cho $m$ gam hỗn hợp $X$ gồm $Fe$ và $Cu$ ( Có tỉ lệ khối lượng là $\frac{7}{3}$) tác dụng với dd $HNO_{3}$, sau khi các phản ứng xảy ra hoàn toàn, thu được $3,32m$ gam kim loại, dd $Y$ và thoát ra $0,17$ mol khí $NO$( là sản phẩm khử duy nhất của $N^{+5}$ trong $HNO_{3}$). Xác định $m$.

Chứng minh rằng: $(tanx+\frac{cosx}{1+sinx})(cotx+\frac{sinx}{1+cosx})(\frac{cosx-cos3x}{4sinx})=1$.

Trong đó: $sinx.cosx(1+cosx)(1+sinx) \neq 0$

$LHS=(\frac{sinx}{cosx}+\frac{cosx}{1+sinx})(\frac{cosx}{sinx}+\frac{sinx}{1+cosx})(\frac{4cosx(1-cosx^{2})}{4sinx})=\frac{1}{sinx}.\frac{1}{cosx}.\frac{4cosx.sinx^{2}}{4sinx}=1$

$CO$ là chất có tính khử nên khi tác dụng với oxit bazơ sẽ sinh ra kim loại và khí $CO_2$

$3CO+Fe_2O_3\rightarrow 2Fe+3CO_2$

Mình tưởng ra $2FeO+CO_{2}$ chứ 

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$ ; ta có đẳng thức :

$$\frac{1}{\sin^{2} \frac{\pi}{4k+2}} + \frac{1}{\sin^{2} \frac{3\pi}{4k+2}} + \frac{1}{\sin^{2} \frac{5\pi}{4k+2}}+ \cdots+ \frac{1}{\sin^{2} \frac{(2k-1)\pi}{4k+2}} = 2k(k+1)$$

$\sum_{k=1}^n\frac1{\sin^2\left(\frac{2k-1}{4n+2}\pi\right)}=\sum_{k=1}^n\frac1{\cos^2\left(\frac\pi2-\frac{2k-1}{4n+2}\pi\right)}=\sum_{k=1}^n\frac1{\cos^2\left(\frac{n-k+1}{2n+1}\pi\right)}\\=\sum_{k=1}^n\frac1{\cos^2\left(\frac{k}{2n+1}\pi\right)}=n+\sum_{k=1}^n\tan^2\left(\frac{k}{2n+1}\pi\right)\\=n+n(2n+1)=2n(n+1)$

 

Cái số $5$ là sao bạn???

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng: $$\sum \frac{a}{a^2+2b+3} \leq \frac{1}{2}.$$

Bạn làm bằng AM-GM ngược dấu được không?

Áp dụng $AM-GM$:

$\sum \frac{a^2}{a+2b^2}=\sum (a-\frac{2ab^2}{a+2b^2})\geq \sum (a-\frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}})=\sum (a-\frac 23\sqrt[3]{a^2b^2}.)$

Do đó ta cần chứng minh: $\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2}\leq 3.$

Áp dụng $AM-GM$ lần nữa: $\sqrt[3]{a^2b^2}\leq\frac{1}{3}(ab+a+b)$,...

suy ra ĐPCM

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $\sum a=3$

Chứng minh

$\sum\frac{a^2}{a+2b^2}\geq 1$

Dễ dàng chứng minh BĐT quen thuộc sau: 

$\sum a^{4}\geq \sum a^{3}.$

Suy ra: $\sum\frac{a^2}{a+2b^2}=\sum \frac{a^{4}}{a^{3}+2a^{2}b^{2}}\geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{\sum a^{3}+2\sum a^{2}b^{2}}\geq 1.$

Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=c=1$

Cho $a,b>0$  thoả mãn $a+b=1,$ Tìm Min: $\displaystyle P= \left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2$

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$:

$2P\geq (a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2}\geq (a+b+\frac{4}{a+b})^{2}=25\Rightarrow P\geq \frac{25}{2}.$

Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=\frac{1}{2}$

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả mãn: $ab+bc+ca$ khác $0$. Chứng minh: $$\frac{a^{2}(b+c)^{2}}{a^{2}+3bc}+\frac{b^{2}(a+c)^{2}}{b^{2}+3ac}+\frac{c^{2}(a+b)^{2}}{c^{2}+3ab}\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}.$$

Lấy $a=b=c= \alpha \in (0,\frac{1}{3})$, "BĐT" trên sai.

a=b=c=1/6 => bất đẳng thức trên sai

Xin lỗi, mình đánh nhầm đề, đã sửa ở trên

Bài này là 1 bài số học khó, phải chia làm nhiều bước

Bước 1: Chứng minh nó đúng với mọi số nguyên tố p 

Bước 2: chứng minh đây là hàm nhân tính

Bước 3: Sau đó mới suy ra điều phải chứng minh

Đây là định lý erdos -zinburg có trong tài liệu số học của thầy Trần Nam Dũng

Vậy dùng kiến thức THCS không có được không ạ??

Cho $x,y,z$ là các số thực dương bất kì. Tìm $GTNN$ của $$P=x(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{yz})+y( \dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{zx})+z( \dfrac{z}{2}+\dfrac{1}{xy}).$$

Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $\frac{ab(5a^{2}+5b^{2}-2)}{5ab-1}\in\mathbb{Z}$. Chứng minh rằng $a=b$.

Đề bài phải hình như phải có thêm dữ kiện là "không có cặp đường thẳng nào song song và không có $3$ đường nào đồng quy".

Tổng quát với bài toán $n$ đường thẳng nha.

Lời giải.

Gọi $n$ là số đường thẳng, $k\left ( n \right )$ là số miền tối đa có thể có.

Với $n=0$ thì $k\left ( 0 \right )=1$.

Với $n=1$ thì $k\left ( 1 \right )=2$.

Xét $n>1$ thì thì do $2$ đường bất kỳ không song song, $3$ đường bất kỳ không đồng quy nên đường thẳng thứ $n$ sẽ cắt $n-1$ đường còn lại tại $n-1$ điểm tạo thành $n-2$ đoạn thẳng và hai tia. Mỗi đoạn thẳng và tia này lại tạo thành $2$ miền (thêm một miền mới). Như vậy $n-2$ đoạn thẳng tạo thành $n-2$ miền mới, cùng với hai tia tạo thành $2$ miền mới nữa. Vậy số miền được tạo thành từ $n$ đường thẳng cắt nhau là $k\left ( n \right )=k\left ( n-1 \right )+\left ( n-2 \right )+2=k\left ( n-1 \right )+n$ (thua luôn đoạn này, chỉnh kiểu gì cũng không hiện công thức được  )

Công thức tổng quát của dãy trên dễ dàng tìm được là $k\left ( n \right )=\frac{n^{2}+n+2}{2}$.

Em xin lỗi ạ, em đánh đề bị lộn (, em sửa ở trên rồi ạ

Có $99$ đường thẳng chia mặt phẳng thành $n$ miền. Biết rằng: $n<199$, tìm tất cả các giá trị có thể có của $n$.

Xét tính chia hết thôi mà

$\Delta = b^2-4ac$

Mà b lại lẻ nên $\Delta $  không thể chia hết cho 4

Như vậy $\Delta$ không phải là số chính phương chia hết cho 2

Từ đó kết luận PT không có nghiệm  hữu tỉ

Hình như có nhầm lẫn thì phải

$\Delta =(2x+1)^{2}-4(2y+1)(2z+1)\equiv 5(mod8)\Rightarrow VL$ (Với $b=2x+1,a=2y+1,c=2z+1$, $x,y,z\in \mathbb{Z}$)

Cho a,b,c là 3 số nguyên lẻ.

Chứng minh phương trình: $ax^2+bx+c=0$ không có nghiệm hữu tỉ.

VD 11 sách tài liệu chuyên (trang 40).

Bài $5$: Số còn lại là: $(1+1)(2+1)...(2015+1)-1=2.3.4....2016-1.$

Bổ sung bước cuối

$VT\equiv(-1)^{2011}+(-1)^{2011}\equiv -2(mod2013)\Rightarrow VL.$

Vậy phương trình vô nghiệm.

Cho $x,y$ là hai số thực dương thoả mãn: $x^{2}+y^{2}=1$. Tìm $GTNN$ của: $$P=(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x}).$$

Cho hình lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Hình chiếu vuông góc của điểm $A’$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $I$ của cạnh $AB$. Biết $A’C$ tạo với mặt phẳng đáy một góc $\alpha$ với $tan\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}$ . Tính theo $a$ thể tích khối chóp $A’.ICD$ và khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(A’AC).$

Giả sử $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn: $a\geq b\geq c>0$ và $a+b+c=1$. Tìm $GTNN$ của: $$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\frac {24}{5\sqrt{5a+5b}}.$$

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a}{\sqrt{1+a}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b}}+\dfrac{c }{\sqrt{1+c}}\geq \dfrac{3\sqrt{2}}{2}.$$

Em chưa học bổ đề hình thang anh ơi!!!! Còn cách nào khác ko anh????

Em chưa học nhưng nếu cm thì vẫn dc mà ( Dùng toàn Thales không à )

Chứng minh thì em tham khảo ở đây, anh lười gõ lại quá

 http://diendantoanho...quy-tại-1-điểm/