Cho tam giác $ABC$ có $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp; $H$ là trực tâm; $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Đặt $AB=c, BC=a, CA=b$. Giả sử đường thẳng $OH$ cắt các cạnh $CB$ và $CA$ lần lượt tại $P$ và $Q$.

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác $ABPQ$ nội tiếp là $a^2+b^2=6R^2$

Cho $\Delta ABC$ có đường phân giác trong góc $A$ có phương trình $x+y-2=0$. Đường cao kẻ từ $C$ có phương trình $x-2y+5=0$. Tìm tọa độ điểm $C$ biết $AC$ tiếp xúc với $\left( {\text{C}} \right):{x^2} + {y^2} = 5$

Gọi $C(2c-5;c)$, lấy đối xứng $C'$ qua phân giác trong góc $A$ thu được $C'(2-c;7-2c)$

suy ra ptđt $AB: 2x+y-11+4c=0$, giải hệ $\Rightarrow A(9-4c;4c-7)$

$\Rightarrow AC: x+2y-4c+5=0\Rightarrow d^2_{O,AC}=5\Leftrightarrow (5-4c)^2=25\Leftrightarrow \begin{bmatrix}c=0 \\ c=\frac{5}{2} \end{bmatrix}$

Cho hình thoi ABCD . M(x1,y1) N(x2,y2)lần lượt thuộc các cạnh AB và CD . Tâm I có tọa độ (x3,y3) .Góc B = a độ . Tìm tọa độ các dỉnh của hình thoi biết B có tọa độ dương .

Lấy M' đối xứng với M qua I suy ra M' thuộc CD. Tìm được tọa độ M', ptđt CD, ptđt AB

Tính được IH và góc $\widehat{HBI}=\frac{a}{2}\Rightarrow BI=\frac{HI}{sin\frac{a}{2}}$

$\Rightarrow$ tọa độ các đỉnh.

Bài này chắc giống như vậy: http://diendantoanho...-của-hình-thoi/

Cho đường tròn (R): $x^{2}+y^{2}=\frac{5}{2}$ có tâm I và điểm A(1;3). Gọi (C) là đường tròn đi qua I, A cắt (R) tại hai điểm B, C. Biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng $\frac{1}{4}$. Viết phương trình đường thẳng BC

Do $\stackrel\frown{IB}= \stackrel\frown{IC}\Rightarrow$ $IA$ là phân giác trong góc $A$

Có $\widehat{BIJ}=2\widehat{BCJ}; \widehat{BIJ}=\widehat{BCA}=\widehat{BCJ}+\widehat{JCA}\Rightarrow \widehat{BCJ}=\widehat{JCA}\Rightarrow$ $JC$ là phân giác ngoài góc $C$

Nên tìm được tọa độ tâm đường tròn nội tiếp $J$ suy ra pt đường tròn nội tiếp $\Delta ABC\Rightarrow pt AB,AC\Rightarrow B,C\Rightarrow pt BC$.

cho đường tròn (C): x²+y²=9 , đường thẳng (d):y = x-3+$\sqrt{}$3 và điểm A(3;0).gọi M là một điểm di động trên (C) và B là 1 điểm sao cho tứ giác ABMO là hình bình hành .Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABM biết G thuộc (d) và G có tung độ dương

Hình bình hành $ABMO$ có $OA=OM$ nên là hình thoi

Gọi $G(y+3- $\sqrt{3}$ ;y)$ $(y>0)$ tìm được tọa độ của $N$(trung điểm của $BM$) và $B$ từ $\left\{\begin{matrix}\vec{GN}=2\vec{GN} \\ \vec{OG}=2\vec{GB} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ tọa độ $M$ theo $B,N$ 

Do $M$ thuộc $(C)$ nên tìm được $y$.

Thanks, m ra rồi 

Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix}(x+7y)\sqrt{x}+(y+7x)\sqrt{y}=8\sqrt{2xy(x+y)} \\ 2(1-y)\sqrt{x^2+2x-1}=y^2-2x-1 \end{matrix}\right.$

Từ A nằm ngoài đường tròn tâm $I(7;2)$ vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE tới đường tròn. Biết phương trình $BC: 2x-y-7=0$ và tọa độ điểm $D(3;5)$. Đường thẳng qua D vuông góc IB cắt BC, BE lần lượt tại M, N. Với $IM=\sqrt10$. Tính IN 

Viết ptđt $AI$ $\Rightarrow F (\cap BC,AI)$

$\Rightarrow BI=DI=R\Rightarrow AI$

$\Rightarrow$ tọa độ $A,B,C$

Gọi $M$ thuộc $BC$ $\Rightarrow MI=\sqrt{10}\Rightarrow M\Rightarrow DN$

Biết $A,D$$\Rightarrow AD\Rightarrow E\Rightarrow BE\Rightarrow N(\cap Dn,BE)\Rightarrow$ độ dài đoạn $IN$.

trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có A( -1;2), C (3;-2), E là trung điểm AD. Đường thẳng qua B, vuông góc CE tại M có pt: 2x-y-4= 0. N là trung điểm BM, tìm tọa độ giao diểm P của 2 đường thẳng AN và DM

Cm được $DQ=QC$$(\Delta ADQ=\Delta CDE)$

Kẻ $AF$ vuông góc vs $BC$ tại $F$ $\Rightarrow FC=BF(\Delta BQC=\Delta AFB)\Rightarrow N\in AF$

Viết ptđt $CE, AN$, tìm tọa độ $M, N, B$

$\Rightarrow AB\Rightarrow DC\Rightarrow Q\Rightarrow D\Rightarrow DM$

Tìm giao của $DM$ và $AN$ được tọa điểm $P$.

Tìm GTLN và GTNN của $y=3sin^{10}x-4cos^8x$.

Cho $(C): x^2+y^2=4$, $d: x+y+4=0$. Tìm điểm $A$ thuộc $d$ sao cho từ $A$ kẻ được hai tiếp tuyến tiếp xúc với $(C)$ tại $M,N$ và $S_{\Delta AMN}=3\sqrt{3}$.

Cho đường tròn (C) : x² + y² =5.Tìm tọa độ các điểm A,B thuộc đường thẳng $\Delta: 3x -y -2 =0 $, biết OA = $\frac{\sqrt{10}}{5}$ và cạnh OB cắt đường tròn tại điểm M sao cho MA= MB

Nhận thấy $OA=d_{(O;\Delta )}\Rightarrow OA\perp \Delta \equiv A\Rightarrow A(\frac{3}{5};\frac{-1}{5})$

Để $MA=MB$ thì $B$ nằm ngoài $(O)$

$AM=MB\Rightarrow \Delta AMB$ cân $\Rightarrow \Delta AMO$ cân $\Rightarrow$ $AM=MO$ hay $M$ là trung điểm của $OB$.

Gọi $B(x;3x-2)$ thì $M(\frac{x}{2};\frac{3x-2}{2})\in (C)\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{(3x-2)^2}{4}=5\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=2\Rightarrow B(2;4) \\ x=\frac{-4}{5}\Rightarrow B(\frac{-4}{5};\frac{-22}{5}) \end{bmatrix}$

Câu này còn cách khác 

Bài này nếu biết Định lý Euler thì không khó .
Ta có : $I{J^2} = {R^2} - 2Rr$

. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = IA = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}$ và $IJ = \frac{5}{2}$

$ \Rightarrow r = \sqrt 5 $

. Mình tìm tọa độ $B,C$ bằng cách  viết tiếp tuyến kẻ từ $A$ với đường tròn nội tiếp

Vậy $B(1;5) và $C(-4;-5)$

Câu này còn 1 cách khác đơn giản hơn.

Bài này nếu biết Định lý Euler thì không khó .
Ta có : $I{J^2} = {R^2} - 2Rr$

. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = IA = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}$ và $IJ = \frac{5}{2}$

$ \Rightarrow r = \sqrt 5 $

. Mình tìm tọa độ $B,C$ bằng cách  viết tiếp tuyến kẻ từ $A$ với đường tròn nội tiếp

Vậy $B(1;5) và $C(-4;-5)$

Cảm ơn bạn nhé.

Câu 2:

Có: AC = 10 = 2R, gọi K là trung điểm AC suy ra K thuộc (C), K(4;5)

Gọi H là trung điểm CK suy ra H(5/2;3)

Dễ thấy tam giác CMH đồng dạng với tam giác CAM suy ra MH/AM = CM/CA = 1/2 suy ra 2MH = MA

P = MA + 2MB = 2(MH + MB). Để Pmin thì B, M, H thẳng hàng và M nằm giữa B, H suy ra M(1;6)

Điểm $C$ ở đâu vậy bạn?

P/s: Bạn có thể vẽ hình không?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có $A(4;-1)$, tâm đường tròn ngoại tiếp $I(\frac{-3}{2};0)$, tâm đường tròn nội tiếp $J(1;0)$. Tìm tọa độ các đỉnh $B,C$.

2) Cho tam giác ABC, trọng tâm G(1;2), H là trực tâm tam giác ABC, biết đường tròn đi qua trung điểm của các cạnh HA , HB, HC có phương trình: $x^{2}+y^{2}-2x+4y+4=0$ . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi các điểm như hình vẽ.

$MK$ giao $(K)$ tại $E$ $\Rightarrow PE\parallel =HN$. Gọi $E'$ là trung điểm của $BC$ $\Rightarrow PE'\parallel =HN$ $\Rightarrow E\equiv E'$

$\Rightarrow ME\parallel =\frac{1}{2}AD\Rightarrow \left\{\begin{matrix}R_{(I)}=2R_{(K)}=2 \\ K la TD cua HI(do HE=ED)\end{matrix}\right.$

Chứng minh được $\vec{HG}=2\vec{GI}\Leftrightarrow \vec{HK}+\vec{KG}=2\vec{GI}\Leftrightarrow \vec{KI}+\vec{KG}=2\vec{GI}$

Gọi $I(x;y)$ thì $\left\{\begin{matrix}(x-1)+0=2(x-1) \\ (y+2)+4=2(y-2) \end{matrix}\right. \Rightarrow I(1;10)$

$\Rightarrow (I): (x-1)^2+(y-10)^2=4$

P/s: Chắc bài này tương tự: http://diendantoanho...-trọng-tâm-g23/

1) Cho tam giác ABC có trực tâm H(5;5), phương trình đường thẳng chứa BC : x+y-8=0, biết phương trình ngoại tiếp tam giác ABC đi qua M(7;3), N(4;2). Tính diện tích tam giác ABC 

+) Pt đường trung trực của $MN: 3x+y-19=0$, gọi $I(x;19-3x)$

+) Pt $AH:x-y=0$, gọi $A(a;a)$

$\Rightarrow$ $\vec{AH}=(5-a;5-a)\Rightarrow \vec{IK}=(\frac{5-a}{2};\frac{5-a}{2})\Rightarrow K(\frac{5-a}{2}+x;\frac{5-a}{2}+19-3x)\in BC$

$\Rightarrow (5-a+2x)+(5-a-6x+38)-16=0\Leftrightarrow 2x+a-16=0\Rightarrow A(16-2x;16-2x)$

+)  $AI=IN=R\Leftrightarrow (3x-16)^2+(x-3)^2=(x-4)^2+(3x-17)^2\Rightarrow x=5\Rightarrow I(5;4)\Rightarrow A(6;6)\Rightarrow S_{\Delta ABC}=6.$

Cho tam giác ABC có phương trình trung tuyến , phân giác qua B là : 2x+y-3=0 và x-y+2=0. M(2;1) thuộc AB. R=sqrt(5). Hoành độ điểm A >0. Viết phương trình các cạnh tam giác

Lấy $M'$ đối xứng với $M$ qua đường p/g từ $B$ và $N$ là trung điểm của $AC$

Suy ra $M'$ thuộc $BC$

Có  $B(\frac{1}{3};\frac{7}{3})\Rightarrow AB: 4x+5y-13=0$

      $M(2;1)\Rightarrow M'(-1;4)\Rightarrow BC: 5x+4y-11=0$

Gọi $A(a;\frac{13-4a}{5}), C(c;\frac{11-5c}{4})\Rightarrow N(\frac{a+c}{2};\frac{1}{2}[\frac{13-4a}{5}+\frac{11-5c}{4}])$

Có $cosB=\left |cos(\vec{n}_{AB},\vec{n}_{BC} \right) |=\frac{40}{11}\Rightarrow sinB=\frac{9}{41}$

Áp dụng CT hàm số $sin$ trong tam giác có $\frac{AC}{sinB}=2R\Rightarrow AC=2RsinB=\frac{18}{41}\sqrt{5}$

Từ đó lập hệ $\left\{\begin{matrix}N\in AC \\ AC=\frac{18}{41}\sqrt{5} \end{matrix}\right.$ với tọa độ $A,C$ vừa gọi $\Rightarrow A,C\ \Rightarrow ptAC$

Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy, cho 2 điểm A(1;2), B(4;1) và d: 3x-4y+5=0. Viết phương trình đường tròn qua A,B và cắt d tại C,D sao cho CD = 6

Do đường tròn đi qua $A,B$ nên tâm $I$ thuộc trung trực của $AB$, pt đường trung trực của $AB: 3x-y-6=0$

Gọi $I(x,3x-6)$.

Ta có $CD=6$ suy ra $CH=3$

$\Rightarrow IC^2=IH^2+CH^2\Leftrightarrow IA^2=d_{I,(d)}^2+3^2\Leftrightarrow (x-1)^2+(3x-8)^2=\frac{[3x-4(3x-6) +5]^2}{5}+9$

$\Rightarrow$ tọa độ điểm $I$ $\Rightarrow R^2=IA^2\Rightarrow (C)$

Chắc bạn nguyenlyninhkhang làm đúng rồi 

P/s: Hồi trước mình làm theo CT hàm số Côsin, mn thử làm xem  ($A$ max khi $cosA$ min mà)

sai thì thôi nhé! ....

 

Từ đề bài ta tính được: $R = 5\sqrt 2 $ và $IA = \sqrt {82} $. Suy ra $A$ nằm ngoài đường tròn.

 

$\widehat{AMI}$ đạt MAX khi $M$ nằm giữa $I$ và $M$. Hay $I,A,M$ cùng nằm trên một đường thẳng.

 

Dễ dàng viết được pt $IA:9x - y - 12 = 0$. Từ đây giải hệ tìm được điểm $M$: $\left\{\begin{matrix} 9x-y-12=0\\ {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 50 \end{matrix}\right.$

 

Giải được 2 điểm. Dùng điều kiện khoảng cách tìm được ${\text{M}}\left( {\frac{{82 - 5\sqrt {41} }}{{41}};\frac{{246 - 45\sqrt {41} }}{{41}}} \right)$

Sorry sonesod  , gõ sai 1 dấu thôi

Trong trường hợp trên thì cách giải đó đúng rồi

Thôi coi là 1 bài riêng 

Bài thật đây: 

Bài 3:

Cho $A(1;-3)$ và $(C): (x-2)^2 + (y+6)^2=50$ tâm$I$. Tìm điểm $M$ thuộc $(C)$ sao cho $\widehat{AMI}$ $Max$

P/s: $A$ nằm trong mất rồi  

3) Cho tam giác $ABC$, chân ba đường cao kẻ từ $A,B,C$ lần lượt là $A_1(-1;-2)$, $B_1(2;2), C_1(-1;2)$. Viết ptđt $BC$.

Bài 1:

Cho hình bình hành $ABCD$, $A(-1;3)$, $C\in \Delta : x+y+6=0$. $BD: x-2y+2=0$. Biết $tan\widehat{BAC}=\frac{1}{2}$. Tìm tọa độ điểm $B,C,D$.

Bài 2:

Cho $A(1;-3)$ và $(C): (x-2)^2+(y-6)^2=50$  tâm $I$. Tìm điểm $M$ thuộc $(C)$ sao cho $\widehat{AMI}$ đạt $Max$

Mình không hiểu đoạn này cho lắm ?

Thực ra là mình dự đoán là tam giác đều để tìm các yếu tố đường cao, cạnh rồi quy về 1 ẩn dùng côsi cho dấu $"="$ xảy ra