$\left\{\begin{matrix} xyz+z=a\\ xyz^{2}+z=b\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \end{matrix}\right.$

Bổ đề: Cho đoạn thẳng AB. Về cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ đoạn AC và BD độ dài tùy ý song song với nhau. CB cắt AD tại E. Kẻ đường thẳng qua E song song AC cắt AB tại F. Khi đó: $\frac{1}{EF}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}$

Thật vậy. Theo định lí Ta-lét ta có $\frac{EF}{AC}=\frac{FB}{AB}$, $\frac{EF}{BD}=\frac{AF}{AB}$

Cộng hai vế của đẳng thức => $EF(\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD})=1$ => đpcm

Áp dụng: Vẽ hình như trên với AC=a và BD=b

=> $\frac{1}{EF}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

Trên BD lấy điểm K sao cho BK=c. EB giao FK tại I. Kẻ IM song song EF cắt FB tại M

=> $\frac{1}{IM}=\frac{1}{EF}+\frac{1}{BK}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Rồi sao nữa ai biết không???

Cho (O;17). M cách O một khoảng bằng 8. Hỏi có bao nhiêu dây đi qua M có độ dài là số tự nhiên?

Cô-si ấy, n = 1

$\frac{(1^{4}+\frac{1}{4})(3^{4}+\frac{1}{4})...(29^{4}+\frac{1}{4})}{(2^{4}+\frac{1}{4})(4^{4}+\frac{1}{4})...(30^{4}+\frac{1}{4})}$

http://olm.vn/hoi-da...tion/146690.htm

b) Ta có: $A=\frac{x^{2}+3}{x}+{x-2}=\frac{x^{2}+3}{x}+\frac{(x-2)x}{x}$

$=\frac{x^{2}+3+x^{2}-2x}{x}=\frac{2x^{2}-2x+3}{x}$

$=\frac{2x(x-1)+3}{x}$

Vì $2x(x-1)\vdots x$. Để $A\in Z$ $\Leftrightarrow x\in Ư_{(3)}$

$\Rightarrow x= {1;-1;3;-3}$ ( $x\in Z$)

Vậy để $A\in Z \Leftrightarrow x= {1;-1;3;-3}$

Không cần phải như vậy đâu, vì $\left | x-2 \right |$ luôn nguyên nên chỉ cần xét $\frac{x^2+3}{\left | x \right |}$ thôi

$\frac{x^2+3}{\left | x \right |} = \left | x \right | + \frac{3}{\left | x \right |} => x \in \left \{ \pm 1;\pm 3 \right \}$

Bài 1 : Tính giá trị của biểu thức :

A = $x^{5} - 5.x^{4} + 5.x^{3} - 5.x^{2} + 5.x - 1$ tại x = 4

$ A = x^5 - (x+1)x^{4} + (x+1)x^{3} - (x+1)x^{2} + (x+1)x - 1$

$ = x - 1 = 4 - 1 = 3$

B tính tương tự

Còn đề bài 2 chắc chắn sai 

1. Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d cách O một khoảng=1,5 R cố định nằm ngoài đường tròn. Từ điểm M bất kì trên d vẽ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn. Vẽ OK vuông góc d. AB cắt OM tại H; vẽ đường kính AA'

Khi MK=2R, giải tam giác OKM. Tính MA

2. Qua 1 điểm P bất kì trên cạnh AC của tam giác ABC kẻ các đường thẳng song song với các trung tuyến AK và CL, cắt các cạnh BC và AB tại E và F tươg ứng. CMR các trung tuyến AK và CL chia EF thành 3 đoạn bằng nhau

Mình không hiểu đề cho lắm, 2 lũy thừa bậc 4 hay hệ số 4 ?

Lũy thừa cơ số 4

CMR nếu $x+ \frac{1}{x}$ thuộc Z thì $x^n + \frac{1}{x^n}$ thuộc Z với mọi số tự nhiên n

CMR có hai lũy thừa khác nhau của 4 mà chúng có 3 chữ số tận cùng giống nhau

Bonus thêm cái ảnh :v

Ý mình nói là trước khi bạn bvptdhv thông báo á :3

Trong link ghi là "8" mà bạn @@
 

 

Nếu thay vì 6 là 8 thì ta cm:
Với $n=1$ thì thỏa mãn

Giả sử với $n=k$ (k là số nguyên dương) ta có cái màu đỏ trên thì với $n=k+1$ ta cũng có cái màu đỏ trên = ))
Tức là $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2^{n}}=\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}$ Ta có $$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2^{n}-1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2^{n+1}-2+1}{2^{n+1}}=\frac{2^{n+1}-1}{2^{n-1}}$$

Theo  quy nạp, ta có đpcm =))

Trời ơi, kiểm mấy lần mà không thấy con số $8$, không lẽ già cả mắt yếu rồi @@

Mà dòng cuối cùng của bạn đâu phải đâu, vì giữa $\frac{1}{2^n}$ và $\frac{1}{2^{n+1}}$ (với n>1) còn nhiều số có dạng $\frac{1}{2k}$ nữa....

Quy luật của $3$ số đầu là tổng các nghịch đảo của số chẵn,trong khi số sau lại là tổng nghịch đảo các số là luỹ thừa của $2$ ?

Bạn xem lại đề !

Mình lấy đề ở đây, bài cuối cùng của dạng I

http://toan.hoctainh...uy-nap-toan-hoc

2 .Nếu có số tự nhiên n sao cho k=n^2.thì ta nói k là số chính phương . tìm tất cả các số có hai chữ số ab sao cho số ab+ba là số chính phương 

$ab+ba = 11(a+b) = x^2$

=> $a+b=11^n.k^2$ với n lẻ và k nguyên khác 0

mà $a+b \leqslant 18$ => $n = k = 1$ hay $a+b = 11$

Vậy ab là các số có hai chữ số sao cho $a + b = 11$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}6+...+\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}$

(sử dụng phương pháp quy nạp) 

2.Tìm các số nguyên dương m,n lớn hơn 1 sao cho $2^m+3^n$ là số chính phương.

TH1 mình làm như bạn hamdvk

TH2: m = 2a

$2^m+3^n=4^a+3^n=x^2$

Vì $x^2$ lẻ nên $x^2=4k+1$

=> $4^a+3^n=4k+1$

=> $3^n \equiv 1$ (mod 4)

=> n chẵn. Đặt n = 2b

$4^a+3^n=4^a+9^b$ chia 8 dư 5

=> Không có số nguyên dương nào thỏa mãn đề bài

Tìm số nguyên dương n để $\frac{n-37}{n+43}$ là bình phương của một số hữu tỉ dương

1.Chứng minh rằng $3^n+4$ không thể là số chính phương với n là số nguyên dương bất kì.

$3\equiv -1(mod4)$ , nếu n lẻ thì $3^n+4$ chia 4 dư -1 (loại)

Nếu n chẵn: đặt n = 2m. $3^n+4=9^m+4$ chia 8 dư 5 (loại)

$\Rightarrow$ đpcm

+xét y chẵn=> y=2

thay vào =>x=5

vậy (x,y)=(5,2)

+xét x chẵn => x=2=>y=...(loại)

+xét x lẽ ,y lẽ $VT\vdots 2$

$VP$ lẽ => mâu thuẫn

vậy (x;y)=(5,2)

Ừ hén, đơn giản vậy mà quên mất vì x, y là số nguyên tố. Lúc nãy mình còn đặt x là 2k nữa chứ =)))

Tìm số nguyên tố x, y sao cho $3x^2+1=19y^2$

Bạn ơi cho mình hỏi tại sao 2n+1 chia 8 dư 1 vậy

Xét số dư của bình phương các số $8k\pm 1, 8k\pm 2, 8k\pm 3, 8k\pm 4$ khi chia cho 8 được các số dư là 0; 1; 4

1. Nghiệm nguyên của phương trình $4x-3y=-1$ thỏa mãn $-16 < x+y < -2$ là $(X₀;Y₀)$. Khi đó X₀.Y₀=?

2. Tam giác ABC, hai trung tuyến BD và CE cắt tại G. Biết BD=6cm, CE=4,5cm. BC=?

3. Cho đường tròn (O;R) và dây AB=R$\sqrt{2}$. Một điểm C bất kỳ nằm trên cung lớn AB (C không trùng với A và B). Vẽ đường kính AD, BC cắt AD tại M. Khi đó, kết quả của phép so sánh $\frac{MD}{MA}$ và $\frac{CD}{CA}$ là?

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB và AD ta lấy lần lượt các điểm M và N. Nếu góc MCN bằng 45 độ thì tỉ số giữa chu vi tam giác AMN và chu vi hình vuông ABCD bằng?