Cho $x,y,z>0$

Chứng minh : $\frac{2xy}{(z+x)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3zx}{(y+z)(z+x)} \geq \frac{5}{3}$

Bảo toàn động lượng sai ở đâu vậy bạn? Mình viết trong hệ quy chiếu đất.
$F_q=0$ từ khi quả cầu bắt đầu rời bán cầu. Câu hỏi rất hay! Đúng, kể từ thời điểm quả cầu nhỏ bắt đầu rời bán cầu, không còn lực tác dụng vào bán cầu theo phương ngang, gia tốc của nó bằng 0 và từ đó bán cầu bắt đầu chuyển động thẳng đều. HQC gắn với bán cầu là HQC quán tính. Có thể sử dụng nhận xét này để đơn giản hóa các tính toán của bài toán.

BTĐL $(M+m)v1=Mv1+mv2$ chứ

Bài này hơi phức tạp chút. Gọi vận tốc của bán cầu (trong HQC đất) là $\mathbf{v_1}$, vận tốc của quả cầu so với bán cầu (vận tốc của quả cầu trong HQC gắn với bán cầu) là $\mathbf{u}$ và vận tốc của quả cầu so với đất (HQC đất) là $\mathbf{v_2}$, thì ta có: $\mathbf{v_2}=\mathbf{v_1}+\mathbf{u}$, các chữ in đậm chỉ đại lượng véc tơ.

Xét thời điểm quả cầu tạo góc $a$ với phương thẳng đứng, chiếu ptrinh trên lên phương ngang $Ox$ (chiều từ trái qua phải), ta được:

$v_{2x}=-v_{1}+u\cos a$

Còn phương thẳng đứng $Oy$ (Cứ viết, có thể sẽ dùng sau):

$v_{2y}=-u\sin a$

 

Định luật bảo toàn động lượng theo phương ngang:

 

$Mv_{1x}=mv_{2x} $

 

$Mv_{1}=m(-v_{1}+u\cos a)$    $(1)$

 

Định luật bảo toàn năng lượng - $R$ là bán kính của bán cầu. (Đề bài không cho $R$ mà cho 2 lần khối lượng $m$!):

$mgR+\frac{1}{2}MV^2=mgR\cos a + \frac{1}{2}Mv_{1}^2+\frac{1}{2}mv_2^2=mgR\cos a + \frac{1}{2}Mv_{1}^2+\frac{1}{2}m(v_{2x}^2+v_{2y}^2)$

 

$mgR+\frac{1}{2}MV^2=mgR\cos a + \frac{1}{2}Mv_{1}^2+\frac{1}{2}m\left( \left ( -v_{1}+u\cos a\right )^2+\left (-u\sin a \right )^2 \right )$   $(2)$

 

Đến đây, bạn tự giải ra $u$ và $v_1$ rồi làm tiếp. Có gì không hiểu đừng ngần ngại hỏi. Ta tiếp tục trao đổi.

chổ bảo toàn động lượng bạn viết sai rồi

khi vật rời bắt đầu rời khỏi bán cầu (HQC gắn với bán cầu ) thì còn $F_{qt}$ không ?????

Gợi ý:
- HQC đất, sử dụng định luật bảo toàn động lượng & năng lượng, tính ra vận tốc tương đối u của quả cầu nhỏ so với bàn cầu khi nó ở vị trị đạt góc $\alpha$ nào đó.
- Viết phương trình các lực trong HQC đất.
- Chọn HQC gắn với khối cầu đang chuyển động là hệ quy chiếu phi quán tính. Viết lại phương trình các lực, chú ý đến lực quán tính $F_q$.
- Khi quả cầu nhỏ rời bán cầu, phản lực $N$ giữa quả cầu nhỏ và bán cầu bằng 0.
- Từ đó suy ra $u$ và các đại lượng bài toán yêu cầu.
Bạn thử làm theo gợi ý, có gì mình sẽ trao đổi thêm.

mình đang thắc mắc chổ bảo toàn năng lượng =)) bạn viết công thức chổ đó ra đc ko????

mà chổ V của M phải $\leq \sqrt{gR}$ khỏi m rơi tự do thì phải

Cho $\Delta ABC$ có H là trực tâm. Một đường thẳng đi qua H lần lượt cắt AB,BC tại M,N

I là trung điểm của BC. Chứng minh IM=IN là điều kiện cần và đủ để HM=HN

Tìm m để hệ có nghiệm $\left\{\begin{matrix} 4x^2-3xy+3y^2 \leq 6 & \\ x^2+xy-2y^2 \geq m& \end{matrix}\right.$

Cho $a, b, c > 0$ thoả mãn điều kiện: $4a + 9b + 16c = \frac{25}{4}$. Tìm GTNN của:

$P = a^{3} + b^{3} + c^{3}$

Ta thấy dấu "=" xảy ra khi $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}$

Tách ra xong áp dụng cauchy là đc

cho $a,b,c>0$ và $abc=1$ cm : $ab^2+bc^2+ca^2 \geq a+b+c$

Cho các số thực a,b,c không âm thỏa mãn $a^{2}+b^2+c^2=1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=a^3+2b^3+3c^3$

ta có : $(a^3+a^3+\alpha ^3 )+2(b^3+b^3+\beta ^3)+3(c^3+c^3+\gamma ^3) \geq 3a^2\alpha +6b^2\beta +9c^2\gamma$

cần chọn $\alpha=2 \beta =3 \gamma$

và $a= \alpha , b= \beta , c= \gamma , a^2+b^2+c^2=1$

$=> a= \frac{6}{7} ; b=\frac{3}{7} , c=\frac{2}{7}$

thay  vào bài toán

Nhận xét : $x = 0$ không là nghiệm của pt.

xét $x \neq 0$

chia 2 vế của pt cho $x^3$

 $-2 + \frac{10}{x} - \frac{17}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 2.\sqrt[3]{\frac{5}{x^{2}}-1}$

$\Leftrightarrow \left(\frac{2}{x}-1 \right)^{3}+2.\left(\frac{2}{x}-1 \right)=\left(\frac{5}{x^{2}}-1 \right)+ 2.\sqrt[3]{\frac{5}{x^{2}}-1}$

$\Rightarrow \frac{2}{x}- 1 = \sqrt[3]{\frac{5}{x^{2}}-1}$

Họ tên : Nguyễn Văn Thìn 

Nick trong diễn đàn ( nếu có ): arsfanfc

Năm sinh : 2000

Hòm thư : [email protected]

Dự thi cấp : THCS, THPT

Biểu thức có dạng đồng bậc thì ta nghĩ ngay đến phép đặt $a=xc,b=yc$ để giảm biến. (Bài này lộ ra điểm rơi $a=b$ nên chắc chắn $x=y$

nhờ anh làm thêm 1 bước nữa đc ko ạ !!!! thay vào rồi và éo làm đc gì...ngu quá 

 Là lớn hơn hoặc bằng đó bn

dấu đúng mà bạn     

 Bài toán sai rồi bn ơi

sai chỗ nào bạn nói rõ xem     

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz=3 $.Chứng Minh $x^{\frac{1}{x}}y^{\frac{1}{y}}z^{\frac{1}{z}} \leq 3$

Với x, y $\epsilon \mathbb{Q}$, $x^{2}+y^{2}+(\frac{xy+1}{x+y})^{2}=0$ cm $\sqrt{1+xy}$ là 1 số hữu tỉ

đề sai chăng ???? $VT \geq 0 => x=y=0$ ( không xác định vì mẫu của $\frac{xy+1}{x+y}$ là $x+y $

1.Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR: 

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$

 

Cho x,y>0 và $x+y \leq 1$

Tìm GTNN của $B = \frac{1}{x^{3}+y^{3}} +\frac{1}{xy}$

$x^3+y^3 =(x+y)(x^2-xy+y^2) \leq (x^2-xy+y^2) =(x+y)^2 -3xy \leq 1-3xy$

$=> \frac{1}{x^3+y^3} +\frac{1}{xy} \geq \frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy} \geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{1}=4+2\sqrt{3}$

Bài 1: Giải PT nghiệm nguyên dương : $(x+1)^{y+1}+1=(x+2)^{z+1}$

Bài 2: Giải phương trình :

$[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+...+[\sqrt{x^2-1}]=y$ với y nguyên tố

Ta có: $\left\{\begin{matrix} y^{6}+y^{3}+x^{2}=\sqrt{\frac{1}{4}-\left ( xy-\frac{1}{2} \right )^{2}} \leq \frac{1}{2}\\ 4xy^{3}+y^{3}-2x^{2}+\frac{1}{2}\geq 1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y^{6}+y^{3}+2x^{2}\leq \frac{1}{2}+2x^{2}(1)\\ 4xy^{3}+y^{3}\geq \frac{1}{2}+2x^{2} \end{matrix}\right.(2)$

Do đó: (1),(2) $\Rightarrow y^{6}+y^{3}+4x^{2}\leq 4xy^{3}+y^{3}$

                       $\Leftrightarrow y^{6}-4y^{3}x+4x^{2}\leq 0$

                       $\Leftrightarrow (y^{3}-2x)^{2}\leq 0$

                       $\Leftrightarrow y^{3}=2x$

Đến đây được chưa

Định viết thêm đoạn này mà sợ sai

Vậy hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y\\ 2x=y^{3}\\ xy=1\\ 4x^{2}+2x=1+x^{2} \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow x=y=-1$

 

P/s: Sai sót là không thể tránh khỏi

sai từ đây :$ y^6+y^3+2x^2 \leq \frac{1}{2}$ ( con số 2 )

p/s : cách làm củng tương tự của chị thôi

Ta có :$ y^6+y^3+2x^2 \leq \frac{1}{2}$

$=> 4xy^3+y^3 +\frac{1}{2} \geq 4xy^3+2y^3+y^6+2x^2 (1)$

mà$ 4xy^3+y^3+\frac{1}{2} \geq 2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2} (2)$

$(1)+(2) <=> 8xy^3+2y^3+1 \geq 4xy^3+2y^3+y^5+4x^2+\sqrt{1+(2x-y)} $

$<=> 4xy^3+1 \geq y^6+4x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2}$

$<=> 1 -\sqrt{1+(2x-y)^2} \geq y^6+4x^2-4xy^3 =(y^3-2x)^2 $

$\left\{\begin{matrix} 1-\sqrt{1+(2x-y)^2} =0& \\ y^3-2x=0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2x-y)^2=0& \\ y^3=2x& \end{matrix}\right.$

$=> (x;y) =(-\frac{1}{2};-1)$

áp dụng BĐT C-S

$\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{(c+b-c)(a-c+c)} =\sqrt{ab}$

$\sum_{n=1}^{k}n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$ tính tổng các lập phương có công thức đó mà bạn

cái đích của bài toán này là cần chứng minh công thức mà bạn nêu ra đó 

Ta có $\sum_{n=1}^{k}n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} =>\sqrt{\sum_{n=1}^{k}n^{3}}=\sqrt{\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}}=\frac{n(n+1)}{2}=\sum_{n=1}^{k}n (đpcm)$

bạn làm từ $GT=>\sum_{n=1}^{k}n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$

rồi từ $\sum_{n=1}^{k}n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}=> GT$

Hài