Cho 2 đường tròn w₁  và w₂ cắt nhau tại A, B. Một cát tuyến qua A cắt w₁ tại C và w₂ tại D. Tiếp tuyến tại C của w₁ và tiếp tuyến tại D của w₂ cắt nhau tại P. Chứng minh rằng đường trung trực của PB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BO₁O₂ với O₁, O₂ lần lượt là tâm đường tròn w₁, w₂

Cho tam giác ABC khác tam giác cân. đường tròn tâm I nội tiếp tam giác và tiếp xúc với các cạnh BC, AC, AB lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ADI, BEI, CFI thẳng hàng.

Bài này vẫn đúng với trường hợp hai điểm đẳng giác liên hợp bất kì trong tam giác nên mình xin phép mở rộng một chút thế này:

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $M,N$ là hai điểm đẳng giác liên trong tam giác.. $AM$ cắt $(O)$ tại $A'$. $AN$ cắt $(O)$ tại $A_1$. $A'N$ cắt $(O)$ tại $A_2$.  Tương tự có $B_1,B_2,C_1,C_2$

Chứng minh rằng $A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$ đồng qui.

Bài giải:

Trước hết ta cần bổ đề:

Cho tam giác $ABC$. $M,N$ là hai điểm đẳng giác liên hợp của tam giác. $AM$ cắt $(O)$ tại $A'$. $A'N$ cắt $BC$ tại $D$. Chứng minh rằng $MD$ song song $AN$.

(Bổ đề này mình có bài chứng minh nhưng thực sự thấy nó hơi dài nên rất mong các bạn chứng minh giúp nếu bí quá mình sẽ gửi link chứng minh sau )

 

Trở lại bài toán:

Phát hiện ra điểm đồng qui thuộc $MN$ (đường nối hai điểm đẳng giác liên hợp)

Do đó ta sẽ đi chứng minh ba đường cùng đi qua một điểm thuộc $MN$

Gọi $P$ là giao điểm $MN$ và $A_1A_2$

Gọi $D$ là giao điểm $A'N$ với $BC$. Gọi $J$ là giao điểm $MD$ với $A_1A_2$

Áp dụng bổ đề đã nêu trên suy ra $MJ$ song song $A_1N$

Áp dụng ĐL $Thales$ suy ra $\frac{PN}{PM}=\frac{A_1N}{JM}$

Dễ chứng minh được tứ giác $A_2JA'M$ nội tiếp suy ra $DA_2.DA'=DJ.DM$

Mặt khác $A2BA'C$ cùng thuộc đườn tròn $(O)$

suy ra $DB.DC=DA_2.DA'$

suy ra $DB.DC=DJ.DM$ suy ra $BJCM$ nội tiếp suy ra $\angle MBC=\angle MJC$ suy ra $\angle NBA=\angle MJC$

suy ra $\angle AA_1B_1=\angle MJC$

suy ra $JC$ song song $A_1B_1$

Gọi $P'$ là giao của $MN$ với $B_1B_2$

Gọi $E$ là giao của $B'N$ với $AC$. Gọi $I$ là giao của $ME$ với $B_1B_2$

Chứng minh tương tự như trên

suy ra $\frac{P'N}{P'M}=\frac{B_1N}{IM}$

và $IC$ song song $A_1B_1$

suy ra $IJ$ song song $A_1B_1$

cũng thấy tam giác $A_1NB_1$ và $MJI$ là hai tam giác đồng dạng (tam giác có cạnh tương ứng song song)

suy ra $\frac{A_1N}{MJ}=\frac{B_1N}{MI}$

suy ra $P,P'$ trùng nhau

Chứng minh tương tự suy ta $A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2, MN$ đồng qui

gửi link đi bạn

gửi link đi bạn

Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm ngoại tiếp O. AO cắt (O) tại A'; A'H cắt (O) tại A₁ và AH cắt (O) tại A₂; các cặp điểm B₁, B₂ và     C₁, C₂ được xác định tương tự. Chứng minh rằng A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ đồng quy.

link bị lỗi mất 

Cho k₁, k₂, ..., k_n là n số dương. Chứng minh rằng: $min\left \{ k_{1}, k_{2}, ..., k_{n} \right \}$ < $\frac{\left ( k_{1}+k_{2}+...+k_{n} \right )^{2}}{k_{1}+2k_{2}+...+nk_{n}}$ < $2max\left \{k_{1}, k_{2}, ..., k_{n} \right \}$ 

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O và một đường thẳng d đi qua điểm O cắt hai cạnh AC và BC. Các hình chiếu tương ứng L và K của các điểm A và B trên d. Một đường thẳng đi qua L và vuông góc với BC cắt đường thẳng đi qua K và vuông góc với AC tại điểm M. Chứng minh rằng M nằm trên đường tròn Euler của tam giác ABC.

Cho tam giác ABC có góc A tù. D là một điểm sao cho $\widehat{DBA}= \widehat{BAC}= \widehat{DCA}$ . Chứng minh rằng đường thẳng Euler của tam giác ABC đi qua D.

VỚI CÁC CHỮ SỐ 0, 1, 2, 3, 4, 5 CÓ THỂ LẬP ĐƯỢC BAO NHIÊU SỐ GỒM CHÍN CHỮ SỐ, TRONG ĐÓ MỖI CHỮ SỐ 0, 1, 2, 3 XUẤT HIỆN ĐÚNG MỘT LẦN, CHỮ SỐ 4 XUẤT HIỆN ĐÚNG HAI LẦN VÀ CHỮ SỐ 5 XUẤT HIỆN ĐÚNG BA LẦN?