Đến nội dung

Bonjour nội dung

Có 461 mục bởi Bonjour (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#677230 đường tròn mixtilinear

Đã gửi bởi Bonjour on 12-04-2017 - 23:16 trong Hình học phẳng

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn(O).Đường tròn(J)tiếp xúc với AB;AC;(O) lần lượt tại P;Q;K.AK cắt PQ tại I

Chứng minh:$\frac{BP}{IP}=\frac{CQ}{IQ}$ 

Bạn tự vẽ hình nha
Gọi $D$ là giao điểm của $(J)$ và $AK$

Theo kết quả quen thuộc thì $AK$ là đường đối trung đỉnh $K$ của $\Delta KPQ$

 

Điều đó dẫn đến

 

$\frac{PI}{QI}=\frac{PK^2}{KQ^2}$                                  $(1)$

 

Dễ chứng minh được $\Delta BPK$ đồng dạng $\Delta PDK$ nên

                                                      

                                              $PB=\frac{KP.PD}{KD}$

Tương tự                                      

                                              $CQ=\frac{KQ.QD}{KD}$

 

                                   $\Rightarrow \frac{PB}{CQ}=\frac{PK}{QK}.\frac{PD}{DQ}$

           $\frac{PD}{DQ}=\frac{KP}{QK}$ $(2)$ do $PDQK$ là tứ giác điều hòa nên

  

$\frac{PB}{CQ}=\frac{PK}{QK}.\frac{KP}{QK}$                       $(2)$             

Từ (1) và (2) suy ra đpcm




#677151 $ f(f(n))+f(n)=6n+4$

Đã gửi bởi Bonjour on 12-04-2017 - 01:02 trong Phương trình hàm

Cho hàm số :$f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa

$ f(f(n))+f(n)=6n+4$

a) Tính $f(2017)$

b) Tìm tất cả các hàm $f$ thỏa mãn.

Giả sử hàm $f$ thõa mãn yêu cầu bài toán. Với $n $ là số tự nhiên bất kì

Ta xét dãy ${x_{n}}$ như sau:

 $x_{0}=n$ và $x_{n+1}=f(x_{n})$

 Thay $n$ bởi $x_{n}$ ta được:

 $x_{n+2}+x_{n+1}-6x_{n}-4=0$

suy ra :$x_{n}=a.(-3)^n+b.2^n-1$

 Mà do $x_{n}=2^{n}(b+a(\frac{-3}{2})^n-\frac{1}{2^n})$

 Xét $a<0$ thì khi chọn $n$ chẵn và đủ lớn ta có $x_{n}$ tiến về âm vô cùng.vô lí

Tương tự xét $a>0$ và chọn $n$ lẻ và đủ lớn cũng có được $x_{n}$ tiến về âm vô cùng ,vô lí

Vậy $a=0$ .Khi đó $x_{n}=b.2^{n}-1$ .Thay $n=0,1$ ta có được $f(n)=2n+1$. Thử lại đúng
vậy $f(n)=2n+1$ và $f(2017)=4035$




#671764 Cho tập $A= \left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right \...

Đã gửi bởi Bonjour on 15-02-2017 - 22:56 trong Tổ hợp và rời rạc

Cho tập $A= \left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right \}$. Hỏi ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số chỉ có mặt 3 chữ số khác nhau từ tập A?

$5!C_{9}^{3}.6$




#663433 Chứng minh đường thẳng Simson đi qua trung điểm $HM$

Đã gửi bởi Bonjour on 29-11-2016 - 23:53 trong Hình học

Dễ thấy phép vị tự tâm $M$ tỉ số $2$ biến đường thẳng $Simson$  của điểm $M$ đối với  tam giác  $ABC$ thành đường thẳng $Steiner$ của điểm $M$ đối với tam giác $ABC$




#663258 Cho dãy (x_{n}) biết x_{1}=2 và x_{n+1}=\f...

Đã gửi bởi Bonjour on 28-11-2016 - 01:22 trong Dãy số - Giới hạn

Đã gửi 29-05-2016 - 12:50

Cho dãy $(x_{n}) $ biết $ x_{1}=2 $ và $x_{n+1}=\frac{1}{16}(4x_{n}+1+4\sqrt{4x_{n}+1}) (1\leq n\in \mathbb{N})$
 
Tính $Limx_{n+1}$

Biến đổi ta có :
$\Rightarrow 16x_{n+1}+4=(\sqrt{4x_{n}+1}+2)^2$
$\Rightarrow2\sqrt{4x_{n+1}+1}=\sqrt{4x_{n}+1}+2$
Đặt $\sqrt{4x_{n+1}+1}:=u_{n+1}$

Từ đó có $2u_{n+1}-u_{n}=2$

 Suy ra $\Rightarrow u_{n+1}=\frac{1}{2^{n}}+2$

 Vậy $\Rightarrow ((\frac{1}{2^{n}}+2)^2-1)/4=x_{n+1}$
Nên 
 $\Rightarrow limx_{n+1}=lim\frac{(\frac{1}{2^{n}}+2)^2-1}{4}=\frac{3}{4}$

 




#663251 phân tích đa thức thành nhân tử $B(x)=4(x^2+11x+30)(x^2+22x+120)-3x^2$

Đã gửi bởi Bonjour on 28-11-2016 - 00:10 trong Đại số

Tìm nghiệm nguyên:

a, x+y+xy=4

b, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=$\frac{1}{2}$ ($x,y \epsilon Z^{+})

a) $\Leftrightarrow (x+1)(y+1)=5$ sau đó xét các ước của $5$ thôi

b) Tương tự, qui đồng lên




#663213 $x^{2}-4y^{2}= 12345...20082009$

Đã gửi bởi Bonjour on 27-11-2016 - 18:32 trong Số học

Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^{2}-4y^{2}= 12345...20082009$

$VT$ chia $3$ dư $0$ hoặc $1$ do số chính phương chia $3$ dư $0$ hoặc $1$

$VP$ chia $3$ dư 2 nên PT đã cho vô nghiệm nguyên




#663207 Giải pt vô tỉ

Đã gửi bởi Bonjour on 27-11-2016 - 17:55 trong Chuyên đề toán THCS

$PT(1)\Leftrightarrow (6x-x^2-2)(\sqrt{x-1}-1)=x^2+x-6x+x^2+2=2x^2-5x+2$
   $(x-2)(\frac{6x-x^2-2}{\sqrt{x-1}+1}-x+2)=0$ 
Cm cái trong ngoặc khác không nữa là xong.




#663206 Chứng minh$\widehat{CAM}=\widehat{DAN}$

Đã gửi bởi Bonjour on 27-11-2016 - 17:43 trong Hình học

chứng minh bổ đề thế nào vậy bạn?

$(AMN)$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $B',C'$ khi đó cung nhỏ $B'N$ và cung nhỏ $MC'$ bằng nhau
Ta có : $BN.BM=BB'.BA$ và $CM.CN=CC'.CA$

 $\Rightarrow \frac{BN.BM}{CM.CN}=\frac{BB'.BA}{CC'CA}=\frac{BA}{CA}.\frac{BA}{CA}$
mà $BM=MC$ nên có đpcm
      




#663202 CMR: $\sqrt[n]{(n+1)!}\geq 1+\sqrt[n]{...

Đã gửi bởi Bonjour on 27-11-2016 - 17:18 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Cho $n$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng:

$\sqrt[n]{(n+1)!}\geq 1+\sqrt[n]{n!}$

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$(n+1)!\geq (1+\sqrt[n]{n!})^n$

$\Leftrightarrow (1+1)(1+2)(1+3)...(1+n)\geq (\sqrt[n]{1}+\sqrt[n]{n!})^n$




#663081 phân tích đa thức thành nhân tử $B(x)=4(x^2+11x+30)(x^2+22x+120)-3x^2$

Đã gửi bởi Bonjour on 26-11-2016 - 00:00 trong Đại số

$B(x)=4(x^2+11x+30)(x^2+22x+120)-3x^2$

$B(x)=(2x+15)(x+8)(2x^2+35x+120)$  :)




#663080 $\left\{\begin{matrix} xy-y^2=\sqrt...

Đã gửi bởi Bonjour on 25-11-2016 - 23:50 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

1. $\left\{\begin{matrix} xy-y^2=\sqrt{3y-1}-\sqrt{x+2y-1}\\ x^3y-4xy^2+7xy-5x-y+2=0 \end{matrix}\right.$

 

$PT(1)\Leftrightarrow (x-y)(y+\frac{1}{\sqrt{3y-1}+\sqrt{x+2y-1}})=0$

Mà $y+\frac{1}{\sqrt{3y-1}+\sqrt{x+2y-1}}>0$ với mọi $x,y$ thuộc tập xác định nên $x=y$ ,thay vào $PT(2)$ :

$\Rightarrow x^4-4x^3+7x^2-6x+2=0$

$\Leftrightarrow (x-1)^2(x^2-2x+2)=0$
Vậy $x=1=y$




#663079 CMR nếu a+b+c$\vdots$ 30 thì $a^{5}+b^{5...

Đã gửi bởi Bonjour on 25-11-2016 - 23:41 trong Đại số

CMR nếu a+b+c$\vdots$ 30 thì $a^{5}+b^{5}+c^{5}\vdots 30$

Chỉ cần chứng minh $a^5-a\equiv 0(mod30)$ là được

   Theo Fermat nhỏ có $a^5-a\equiv 0(mod5)$ mà   $a^5-a=a(a+1)(a-1)(a^2+1)$ có tích của hai số tự nhiên liên tiếp và tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên $a^5-a$ chia hết cho $2$ và $3$ mà $(2,3)=1$ nên $a^5-a$ chia hết cho $30$ do $(6,5)=1$




#663076 CMR: $4x_{n+2}x_{n}+1$ la SCP

Đã gửi bởi Bonjour on 25-11-2016 - 23:36 trong Đại số

Cho dãy số $x_{1}, x_{2}, x_{3},...$

$x_{1}=1, x_{2}=3, x_{n+2}=2x_{n+1}-x_{n}+1$

CMR: $4x_{n+2}x_{n}+1$ la SCP

Bằng qui nạp bạn tự chứng minh được: $x_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$

$\Rightarrow 4x_{n+2}x_{n}+1=(n+2)(n+3)n(n+1)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)-1=(n^2+3n+1)^2$




#662981 Phương trình x+y+z=1000 có bao nhiêu bộ nghiệm (x,y,z) biết x,y,z nguyên dương

Đã gửi bởi Bonjour on 25-11-2016 - 11:19 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức

Như tiêu đề, cảm ơn.

Giả sử như phương trình có nghiệm $(x_{1};x_{2};x_{3})$ . Tương ứng với nghiệm này là số dạng nhị phân :
 $(\underbrace{11...111}0\underbrace{111...11}0\underbrace{11...11})$

   $x_{1}$ chữ số $1$   $x_{2}$ chữ số $1$    $x_{3}$ chữ số $1$

Tổng các số $1$ trong số dạng nhị phân trên là $1000$

Vậy thì số nghiệm nguyên dương của phương trình trên ứng với số cách xếp hai số $0$ xen kẽ giữa các $1$




#662870 $\left\{\begin{matrix} &x^3+2x^2=5-2y...

Đã gửi bởi Bonjour on 24-11-2016 - 01:01 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải hệ $\left\{\begin{matrix} &x^3+2x^2=5-2y & \\ & (15-2x)\sqrt{6-x}-(4y+9)\sqrt{2y+3}=0 & \end{matrix}\right.$

Xét hàm phương trình hai , hàm $f(t)=\sqrt{t}(2t+3)   (t\geq 0)$ dễ thấy $f(t)$ là hàm tăng trên $R^{+}$ nên $6-x=2y+3$ ,sau đó thế thẳng vào phương trình 1




#662869 TOPIC Tổ hợp-Xác suất

Đã gửi bởi Bonjour on 24-11-2016 - 00:27 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức

 

2) chứng minh $\sum_{k=0}^{n}(-3)^k.C_{2n}^{k}.C_{2n-k}^{n-k}=(-2)^n.C_{2n}^{n}$

2) Ta có :
$C_{2n}^{n}=\frac{(2n)!}{n!n!}$

 mà $C_{2n}^{k}.C_{2n-k}^{n-k}=\frac{(2n)!}{k!(2n-k)!}.\frac{(2n-k)!}{(2n-k-n+k)!(n-k)!}=\frac{(2n)!n!}{k!(n-k)!n!n!}$

                                                                                                         $=C_{2n}^{n}.C_{n}^{k}$

                    $\Rightarrow \sum_{k=0}^{n}(-3)^k.C_{2n}^k.C_{2n-k}^{n-k}=C_{2n}^{n}\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}(-3)^{k}=C_{2n}^{n}(1-3)^n$




#662867 tính $Q=C_{n}^{1}+2\frac{C_{n}^...

Đã gửi bởi Bonjour on 23-11-2016 - 23:49 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức

tính $Q=C_{n}^{1}+2\frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{1}}+...+k\frac{C_{n}^{k}}{C_{n}^{k-1}}+...+n\frac{C_{n}^{n}}{C_{2}^{n-1}}$

Lạy  Chúa mới làm chiều nay đây mà
Ta có 
     $k\frac{C_{n}^{k}}{C_{n}^{k-1}}=k\frac{\frac{n!}{k!(n-k)!}}{\frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!}}=n-k+1$

nên :

$Q=n+(n-1)+(n-2)+...+(n-k+1)+...+(n-(n-1))=n^2-(1+2+...+n-1)$

                                                                  $=n^2-\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}$




#662512 Có bao nhiêu bộ 3 số nguyên không âm (a,b,c) mà a+b+c=300

Đã gửi bởi Bonjour on 20-11-2016 - 13:21 trong Các dạng toán khác

Có bao nhiêu bộ 3 số nguyên không âm (a,b,c) mà a+b+c=300

Đây là bài toán chia kẹo $Euler$

với yêu cầu điều kiện các số nguyên không âm như trên thì phương trình $x_{1}+x_{2}C+...+x_{n}=m$ có $C_{m+n-1}^{n-1}$ bộ nghiệm .Chứng minh bằng kĩ thuật song ánh và tổ hợp

có tất cả $C_{300+3-1}^{3-1}$ bộ nghiệm




#662508 Chứng minh rằng: $P$ là trung điểm $ME$

Đã gửi bởi Bonjour on 20-11-2016 - 11:55 trong Hình học

Cho đường tròn tâm $O$ và đường thẳng $d$ cắt đường tròn tâm $O$ tại hai điểm $B, C$ ( $d$ không đi qua $O$). Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $A$ ( $A$ nằm ngoài đường tròn tâm $O$). Kẻ $AM$ và $AN$ là các tiếp tuyến với đường tròn tâm $O$ ($M$ và $N$ là tiếp điểm ). Gọi $I$ là trung điểm của $BC, AO$ cắt $MN$ tại $H$ và cắt đường tròn tại các điểm $P$ và $Q$ ( $P$ nằm giữa $A$ và $O$), $BC$ cắt $MN$ tại $K$.

a) Chứng minh $4$ điểm $O, M, N, I$ cùng nằm trên một đường tròn và $AK.AI=AM^2$

b) Gọi $D$ là trung điểm $HQ$, từ $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $MD$ cắt đường thẳng $MP$ tại $E$.

Chứng minh rằng: $P$ là trung điểm $ME$. 

a dễ rồi còn b:

 $HE$ cắt $MD$ tại $G$ , $J$ là trung điểm $GQ$

Dễ thấy $HD^2=DG.DM$ mà $HD=DQ$ nên $\Delta DQG\sim \Delta DMQ$

Suy ra $\widehat{DQG}=\widehat{DMQ}=\widehat{MEH}$ và $\widehat{EHM}=90^{\circ}-\widehat{MHG}=90^{\circ}-\widehat{MDH}=\widehat{MDQ}$

Mặt khác $GD$ vuông $DJ$ nên chứng minh được $\Delta DGI\sim \Delta HMP$

từ đó $PH$ là trung tuyến của tam giác $HME$ cũng tương ứng với trung tuyến của tam giác $GDQ$




#662472 MO vuông góc EF

Đã gửi bởi Bonjour on 20-11-2016 - 00:23 trong Hình học

Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Cát tuyến qua B cắt (O1và (O2) lần lượt tại C,D(B nằm giữa C,D). Đường thẳng MC cắt (O1) tại P khác C. Đường thẳng MD cắt (O2) tại Q khác D. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, E là giao điểm của PB và AC, F là giao điểm của QB và AD. Chứng minh MO vuông góc EF

Trước tiên có bổ đề :

Tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$ có $AB\cap CD=E ,BC\cap DA=F,AC\cap BD=I$ thì 

    $EF^2=\textit{P}_{E/(O)}+P_{F/(O)}$

    $EI^2=\textit{P}_{E/(O)}+P_{I/(O)}$

    $FI^2=\textit{P}_{F/(O)}+P_{I/(O)}$ 

Trở lại bài toán thì $ME^2-MF^2=P_{M/(O1)}+P_{E/(O1)}-P_{M/(O2)}-P_{F/(O2)}=P_{E/(O1)}-P_{F/(O2)}$

 Mà $(O1)$ và $(ADC)$ có trục đẳng phương là $CA$ mà $E$ nằm trên đó nên $P_{E/(O1)}=P_{E/(ADC)}$

Tương tự thì $P_{F/(O2)}=P_{F/(ADC)}$ nên $P_{E/(O1)}-P_{F/(O2)}=OE^2-OF^2$

Do đó $ME^2-MF^2=OE^2-OF^2$ đpcm




#662470 Tính thể tích

Đã gửi bởi Bonjour on 19-11-2016 - 23:50 trong Hình học không gian

Tính thể tích khối 20 mặt đều cạnh a=1

http://diendantoanho...1-là-bao-nhiêu/




#661979 1 TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG TRÒN MIXTILINEAR

Đã gửi bởi Bonjour on 15-11-2016 - 00:55 trong Hình học phẳng

Với $S$ là điểm $Spieker$ của tam giác $ABC$ thì cũng có kết quả $(I,S,G,N)=-1$ 




#661851 Chứng minh rằng AX, BY, CZ, DT đồng quy.

Đã gửi bởi Bonjour on 14-11-2016 - 00:07 trong Hình học

Cho tứ giác ABCD, O = AC ∩ BD. Phân giác của các góc $\widehat{AOB},\widehat{BOC},\widehat{COD},\widehat{DOA}$  theo thứ tự cắt AB, BC, CA, AD tại M, N, P, Q. X, Y, Z, T theo thứ tự là trung điểm của QM, MN, NP, PQ. Chứng minh rằng AX, BY, CZ, DT đồng quy.

Capture.png

Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm $BD,AC$ và $K$ là điểm chia trong $EF$ sao cho $\frac{KF}{KE}=\frac{AC}{BD}$

  Ta có:

$\overrightarrow{BK}=\frac{EK}{EF}.\overrightarrow{BF}+\frac{FK}{EF}.\overrightarrow{BE}$

 

$=\frac{DB}{BD+AC}.\overrightarrow{BF}+\frac{AC}{CA+BD}.\overrightarrow{BE}$

 

$\Rightarrow (AC+DB)\overrightarrow{BK}=BD.\overrightarrow{BF}+AC.\overrightarrow{BE}$

 

$=\frac{BD}{2}.(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA})+\frac{AC.BE}{BO}.\overrightarrow{BO}$

 

$=\frac{BD}{2}.(\frac{OB+OC}{OB}\overrightarrow{BN}+\frac{OB+AO}{OB}\overrightarrow{BM})+\frac{AC.BE}{BO}.(\frac{OA}{AC}\overrightarrow{BC}+\frac{OC}{AC}\overrightarrow{BA})$

 

$=\frac{BD}{2}.(\frac{OB+OC}{OB}\overrightarrow{BN}+\frac{OB+AO}{OB}\overrightarrow{BM})+\frac{AC.BE}{BO}(\frac{OA}{AC}.\frac{OB+CO}{OB}\overrightarrow{BN}+\frac{OC}{AC}.\frac{OB+OA}{OB}\overrightarrow{BM})$

 

$=\overrightarrow{BN}.\frac{DB}{2}.\frac{(OB+OC)}{OB}.(1+\frac{OA}{OB})+\overrightarrow{BM}.\frac{DB}{2}.\frac{(OB+OA)}{OB}.(1+\frac{OC}{OB})$

 

$=\frac{DB}{2}.\frac{(OA+OB)(OB+OC)}{OB^2}.(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{BM})$

 

$=BD.\frac{(OA+OB)(OB+OC)}{OB^2}.\overrightarrow{BX}$

 

$=\Rightarrow \overrightarrow{BK}=BD.\frac{(OA+OB)(OB+OC)}{OB^2(BD+AC)}.\overrightarrow{BX}$

 Từ đó suy ra $BX$ đi qua $K$ , tương tự cho các đỉnh còn lại , từ đó có Đpcm




#661759 Cho (I,r) nội tiếp tam giác ABC.M là trung điểm của BC,MI cắt đường cao AH tạ...

Đã gửi bởi Bonjour on 13-11-2016 - 12:22 trong Hình học phẳng

Cho (I,r) nội tiếp tam giác ABC.M là trung điểm của BC,MI cắt đường cao AH tại K.CMR AK=r

Bài đơn giản vậy thôi chứng minh khá lâu

Giả sử $BC=a;CA=b;AB=c$ với $b>c$ 

Gọi $D$ là tiếp điểm của $(I;r)$ với $BC$

Ta có $HB^2-HC^2=c^2-b^2\Rightarrow HC-HB=\frac{b^2-c^2}{a}$

 $\Rightarrow (\frac{a}{2}+HM)-(\frac{a}{2}-HM)=\frac{b^2-c^2}{a}\Rightarrow HM=\frac{b^2-c^2}{2a}$

Mà $DM=\frac{a+b-c}{2}-\frac{a}{2}=\frac{b-c}{2}$

$\Rightarrow \frac{AK}{OD}=\frac{AH}{OD}-\frac{HK}{OD}=\frac{\frac{a+b+c}{2}}{\frac{1}{2}a}-\frac{\frac{b^2-c^2}{2a}}{\frac{b-c}{2}}=1$

Suy ra $AK=r$