Viết như trên chưa đầy đủ thông tin. Với mọi f hay tồn tại f?

Cho đa thức $f(x)$ với hệ số nguyên thỏa mãn phương trình $f(x)=m$ có quá $2m$ nghiệm

Chứng minh hoặc phủ nhận mệnh đề sau:

"$f(x)\in \mathbb{Z}[x],f(x)=m$ có quá $2m$ nghiệm nguyên thì $f(x)=-m$ không có nghiệm nguyên"

 

3) CMR : $\sum {\frac{1}{a(1+b)}}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}$

Ta có  $\frac{1+abc}{a(b+1)}+1=\frac{a+1}{a(b+1)}+\frac{b(c+1)}{a+1}$

          $\Rightarrow VT(1+abc)+3=\sum \frac{a+1}{a(b+1)}+\sum \frac{b(c+1)}{a+1}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}+3\sqrt[3]{abc} $

          $VT\geq \frac{\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}+3\sqrt[3]{abc}-3}{1+abc}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})} $

$(đpcm)$

http://timtailieu.vn...c-so-hoc-33052/

Đề thi học sinh giỏi huyện Tiên Lữ

Câu 1 a. Cho $x=\frac{4\sqrt{4-\sqrt{5+\sqrt{21+\sqrt{80}}}}}{\sqrt{10}-\sqrt{2}} $ Tính $P=(x^3-4x+1)^2015$

           b.Cho $a,b$ là hai số dương thỏa mãn $a^2-b>0$.Chứng minh $\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} $

Câu 2 a.Giải phương trình $\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2+2x-3} $

           b.Tìm nghiệm nguyên dương $4y^2=2+\sqrt{199-x^2-2x} $

Câu 3 a.Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $A(1;1),B(9;1)$ .Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng $AB$ và chia tam giác $OAB$ thành hai phần có diện tích bằng nhau.

           b.Tìm số tự nhiên $n$ để $n(n+3)$ là số chính phương.

Câu 4 Cho đường tròn tâm $(O)$ đường kính $AB$ .$M$ là điểm thuộc đoạn thẳng $OA$,vẽ đường tròn tâm $O'$ đường kính $MB$.Gọi $I$ là trung điểm $MA$ ,vẽ dây cung $CD$ vuông góc với $AB$ tại $I$.Đường thẳng $BC$ cắt đường tròn $(O')$ tại $J$

a.Chứng minh đường thẳng $IJ$ là tiếp tuyến của $(O')$

b.Xác định vị trí của $M$ trên đoạn $OA$ để diện tích $IJO'$ lớn nhất

Câu 5

a.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AD$ là đường phân giác góc $A$ ($D$ thuộc $BC$),biết $AB=c;AC=b:AD=d$. Chứng minh rằng $\frac{\sqrt{2}}{d}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c} $

b.Cho a,,c là 3 số dương thỏa mãn $a+b+c+ab+bc+ac=6abc$.Chứng minh rằng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 3 $

"3 xị" mà admin VMF E Galois  chưa lấy vợ sao  

Thời nay 30-35 tuổi lấy vợ là hợp lí chú ạ.Không muộn đâu :v

Cho M là một số nguyên dương $S=\left \{ n \epsilon \mathbb{N}*/M^2\leq n<(M+1)^2 \right \} $. Chứng minh rằng mọi tích $ab$ (a,b thuộc S) phân biệt

Dựa vào điều kiện $abc=1$ đổi biến đi là ra BĐT Schur bậc 3

 

Spoiler

Đổi biến thành $(a,b,c)\rightarrow (\frac{y}{x},\frac{z}{y},\frac{x}{z})$

Thế còn bất đẳng thức mạnh hơn là $a^3+b^3+c^3+9abc\geq 2(a^2b+b^2c+c^2a+c^2b+b^2a+a^2c) $

Thử $a=b=2,c=\frac{1}{4}$. Chiều ngược lại đúng.

Vậy bạn thử chứng minh chiều ngược lại xem sao $2(\sum a+\sum \frac{1}{a})\leq \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+9abc$

Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc=1$ .Chứng minh rằng $\sum a+\sum \frac{1}{a}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 $

Cho $a, b, c, d > 0$. CMR:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a + d}{b + d} + \frac{b + d}{c + d} + \frac{c + d}{a + d}$

$BĐT \Leftrightarrow  \frac{ad-bd}{b(b+d)}+\frac{bd-cd}{c(c+d)}+\frac{cd-da}{a(a+d)}\geq 0\Leftrightarrow \frac{ad+b^2}{b(b+d)}+\frac{bd+c^2}{c(c+d)}+\frac{cd+a^2}{a(a+d)}\geq 3$

Áp dụng AM-GM và Cauchy Schwarz $ \frac{ad+b^2}{b(b+d)}+\frac{bd+c^2}{c(c+d)}+\frac{cd+a^2}{a(a+d)}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(ad+b^2)(bd+c^2)(cd+a^2)}{abc(a+d)(b+d)(c+d)}}$

                                                         $=3\sqrt[3]{\frac{[(ad+b^2)(ad+a^2)][(bd+c^2)(bd+b^2)][(cd+a^2)(cd+c^2)]}{[abc(a+d)(b+d)(c+d)]^2}}$

                                                         $\geq 3\sqrt[3]{\frac{(ad+ab)^2(bd+bc)^2(cd+ac)^2}{[abc(a+d)(b+d)(c+d)]^2}}=3 $

Vậy ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c>0$

Dòng màu đỏ, bất đẳng thức đầu tiên sử dụng a,b,c có dương đâu bạn

bài bất đẳng thức nếu cả 3 số âm thì thay bởi 3 số dương không làm thay đổi tính chất bài toán , nếu có 1 số âm và 2 số dương thì giả sử a âm ,thay a bởi -a ta được một biểu thức có giá trị lớn hơn , có 2 số âm cũng tương tự nên chỉ cần xét 3 số dương là đủ

Thực ra đề bài có 3 số không âm rồi :v mình ghi thiếu 

Câu 5

Cách khác $\frac{1}{1-ab}=1+\frac{ab}{1-ab}\Rightarrow BĐT \Leftrightarrow \frac{ab}{1-ab}+\frac{bc}{1-bc}+\frac{ca}{1-ca}\leq \frac{3}{2} $

Lại có $\frac{ab}{1-ab}\leq \frac{ab}{1-\frac{a^2+b^2}{2}}=\frac{2ab}{2c^2+a^2+b^2}\leq \frac{1}{2}.\frac{(a+b)^2}{(c^2+a^2)+(b^2+c^2)}\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{a^2}{a^2+c^2} +\frac{b^2}{b^2+c^2}\right ) $ (do $AM-GM$ và $Cauchy-Schwarz$ )

Thiếp lập các BĐT tương tự cộng lại có đpcm

Dấu bằng xảy ra <=> $a=b=c= \frac{1}{\sqrt{3}}$

.

.

.

P/S Còn bài hình ai đó làm nốt đi 

Đề thi chọn đội tuyển lần 2 trường THPT chuyên Hưng Yên

Câu1 Giải phương trình trên tập số thực $3x^2-10x+6+(x+2)\sqrt{2-x^2}=0 $

Câu2 Tìm số tự nhiên x,y thỏa mãn $2^y=1+x+x^2+x^3$

Câu3 Cho n số nguyên dương đôi một phân biệt thỏa mãn $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}=1 $ trong đó số lớn nhất trong cách số $a_{1};a_{2}...;a_{n}$ có dạng $2p$ với $p$ là số nguyên tố.Xác định số lớn nhất đó

Câu4 Cho tam giác $ABC$ không tù.Gọi $D$ là chân đường cao vẽ từ $A$. Gọi $I;J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABD;ACD$ ($D$ là chân đường cao hạ từ $A$) .Đường thẳng $IJ$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh rằng $AP=AQ$ khi và chỉ khi $AB=AC$ hoặc góc $BAC$ bằng 90 độ.

Câu5 Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng

$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ac}\leq \frac{9}{2} $

Câu6 Trong một hội nghị có 100 người.Trong đó có 15 người Pháp,mỗi người quen với ít nhất 70 đại biểu và 85 người Đức,mỗi người quen với không quá 10 đại biểu.Họ được phân vào 21 phòng.Chứng minh rằng có một phòng nào đó không chứa một cặp nào quen nhau.

Họ tên:Đoàn Tiến Anh

Nick trên diễn đàn:Không có

Năm sinh: 1999

Hòm thư:[email protected]

Dự thi cấp:THPT

Họ tên :Vũ Tấn Khang

Nick trên diễn đàn:Không có

Năm sinh :2000

Hòm thư: [email protected]

Dự thi cấp :THCS và THPT

em đề nghị cần chia ra thành các lớp cho dễ dàng

Mình nghĩ không cần chia ra thành các lớp đâu bạn,thời gian giải bài là khoảng 1 tháng 20 ngày,cũng khá nhiều thời gian đi,như thế nếu gặp bài vượt quá kiến thức,bạn có thể đọc trước tài liệu rồi tìm cách giải,như thế cũng nâng cao kiến thức,cũng rất hay mà

Mình đăng khí hộ bạn

Họ và tên:Doãn Trung Đức

Nick trong diễn đàn:Không có

Năm sinh:2000

Hòm thư: [email protected]

Dự thi cấp: THCS và THPT

Họ tên:Vũ Thị Vân Anh

Nick trên diễn đàn: Chung Anh

Năm sinh: 2000

Hòm thư: [email protected]

Dự thi cấp: THCS,THPT

         Đề thi chọn đội tuyển lần 1 trường THPT chuyên Hưng Yên
                        Thời gian làm bài:150 phút
Câu 1 Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}2x^2-3y^2+xy=12 &  & \\ 6x+x^2y=12+6y+y^2x&  & \end{matrix}\right. $
Câu 2 Cho các số thực $a,b,c$ đôi một phân biệt và thỏa mãn $a^2(b+c)=b^2(c+a)=2012$ .Tính $M=c^2(a+b)$
Câu 3 Cho các số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2$ ,Chứng minh rằng $a+b+c+d$ là hợp số
Câu 4 Cho các số thực dương $a,b,c$ .Chứng minh rằng
$\sum \frac{(b+c)^2}{a(b+c+2a)}\geq 2\left ( \sum \frac{a}{b+c} \right ) $
Câu 5 Cho hình vuông $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ .Điểm $M$ thuộc cung nhỏ $CD$ của $(O)$ ,$M$ khác $C,D$ .$MA$ cắt $DB,DC$ theo thứ tự tại $X,Z$ .$MB$ cắt $CA,CD$ theo thứ tự tại $Y,T$ , $CX$ giao $DY$ tại $K$
a. Chứng minh rằng $\widehat{MXT}=\widehat{TXC},\widehat{MYZ}=\widehat{ZYD},\widehat{CKD}=135^{\circ} $
b. Chứng minh rằng $\frac{KX}{MX}+\frac{KY}{MY}+\frac{ZT}{CD}=1 $
c. Gọi $I= MK\cap CD $ .Chứng minh rằng $XT,YZ,OI$ cùng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $KZT$
Câu 6 Trên một cái bảng người ta viết 2014 dấu $+$ và 2015 dấu $-$ .Giả sử mỗi lần ta thực hiên thao tác : 2 dấu bất kì trong bảng bị xóa đi và thay bằng một dấu $+$ nếu chúng giống nhau,thay bằng một dấu $-$ nếu chúng khác nhau .Sau khi thực hiện nhiều lần đến khi trên bảng chỉ còn  một dấu.Hỏi trên bảng còn dấu $+$ hay dấu $-$

P/s: Vì dốt số nên em bỏ lại câu 3 

Cho $a,c,b>0$ CMR: $\left ( 1+a+b+c \right )\left ( 1+ab+bc+ca \right )\geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$

Đã có ở đây

http://diendantoanho...sqrt2abcbcacab/

làm sao có thể dự đoán được dấu '='vậy bạn   

Giả sử điểm rơi bài toán đạt tại $a=x;b=y;c=z$

Ta thực hiện các đánh giá $\frac{a^3}{2}+\frac{a^3}{2}+\frac{x^3}{2}\geq 3\frac{a^2x}{2} $

                                         $b^3+b^3+y^3\geq 3b^2y $

                                         $\frac{3c^3}{2}+\frac{3c^3}{2}+\frac{3z^3}{2}\geq 3.\frac{3c^2z}{2} $

Khi đó $\frac{x}{2}=\frac{3z}{2}=y $

Và $x^2+y^2+z^2=1$

Tới đây tìm $x,y,z$

 

Cho $a,b,c>0$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ 

Tìm $GTNN$ của $A=a^{3}+2b^{3}+3c^{3}$

 

Áp dụng AM-GM $\frac{a^3}{2}+\frac{a^3}{2}+\frac{27.8}{2.7^3}\geq 3a^2. \frac{3}{7} $

                           $b^3+b^3+\frac{3^3}{7^3}\geq 3b^2.\frac{3}{7} $

                           $\frac{3c^3}{2}+\frac{3c^3}{2}+\frac{3.2^3}{2.7^3}\geq 3c^2.\frac{3}{7} $

=>$A\geq \frac{9}{7}(a^2+b^2+c^2)-\frac{27.8}{2.7^3}-\frac{3^3}{7^3}-\frac{3.2^3}{2.7^3}=\frac{9}{7}-... $

Dấu bằng xảy ra <=>$a=\frac{6}{7};b=\frac{3}{7};c=\frac{2}{7} $

cho $a,b,c$ là 3 số thực dương sao cho $ab+bc+ca=1$ chứng minh rằng

$\frac{1}{4a^{2}-bc+1}+\frac{1}{4b^{2}-ca+1}+\frac{1}{4c^{2}-ab+1}\geq \frac{3}2{}$

Đặt $x=bc;y=ac;z=ab$ => $x+y+z=1$

Khi đó $a^2=\frac{yz}{x} $

=>$VT=\frac{1}{\frac{4yz}{x}-x+1}+\frac{1}{\frac{4zx}{y}-y+1}+\frac{1}{\frac{4xy}{z}-z+1}$

        $=\frac{1}{\frac{4yz}{x}+y+z}+\frac{1}{\frac{4xz}{y}+z+x}+\frac{1}{\frac{4xy}{z}+y+x}$

        $=\frac{x^2}{3xyz+z(yz+yx+xz)}+\frac{y^2}{3xyz+y(xz+yz+yx)}+\frac{z^2}{3xyz+z(xy+yz+xz)}$

        $\geq \frac{(x+y+z)^2}{9xyz+(x+y+z)(xy+yz+zx)}=\frac{1}{9xyz+(xy+yz+zx)} $

Do $1=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow xyz\leq \frac{1}{27} $

      $1=(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)\Leftrightarrow xy+yz+zx\leq \frac{1}{3} $

=>$VT \geq \frac{1}{9.\frac{1}{27}+\frac{1}{3}}=\frac{3}{2} $

Dấu bằng xảy ra <=> $x=y=z= \frac{1}{3}$ <=> $a=b=c= \frac{1}{\sqrt{3}} $

CM bđt sau luôn đúng $\forall a,b,c,d> 0$ .

$\frac{3(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}{4abcd}\geq 1+\frac{3\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}+d^{2}\right )}{ab+ac+ad+bc+bd+cd}$

Ta có $VT\geq \frac{2(a^4+b^4+c^4+d^4)}{4abcd}+1 $

Nên cần chứng minh $ \frac{2(a^4+b^4+c^4+d^4)}{4abcd}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2+d^2)}{ab+bc+cd+da+ac+bd}\Leftrightarrow (a^4+b^4+c^4+d^4)(ab+ac+ad+bc+bd+dc)\geq 6(a^2+b^2+c^2+d^2)abcd $

Theo Cauchy-Schwarz có $4(a^4+b^4+c^4+d^4) \geq (a^2+b^2+c^2+d^2)^2$ (*)

Lại có $(a^2+b^2+c^2+d^2)(ab+bc+cd+da+ac+bd)\geq 4\sqrt{abcd}.6\sqrt{abcd} $ (**)

Từ (*) và (**) có đpcm