ta có :

$(\frac{1}{2x}+\frac{1}{3y}+\frac{1}{6z})(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=\frac{7}{18}+\frac{y}{6x}+\frac{x}{6y}+\frac{z}{12x}+\frac{x}{12z}+\frac{z}{18y}+\frac{y}{18z}  \geq  1$

=> PT (2) xảy ra dấu "=" khi : $x=y=z$

thay vô PT (1) ......................

: D

x, y, z là số thực mà bạn, đâu phải số dương 

Giải hpt: Biết x, y, z là các số thực.

$\left\{\begin{matrix} x + y^{2}+z^{3}=14 \\ (\frac{1}{2x}+\frac{1}{3y}+\frac{1}{6z})(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6})=1 \end{matrix}\right.$

Cho abc=1 và $a^{3}> 36. Chứng minh rằng: \frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$\frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}\geq \frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\geq \frac{2}{\sqrt{(y+2)(z+3)}}$

$\frac{y+1}{y+2}=1-\frac{1}{y+2}\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{z+3}\geq \frac{2}{\sqrt{(x+1)(z+3)}}$

$\frac{z+2}{z+3}=1-\frac{1}{z+3}\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}\geq \frac{2}{\sqrt{(x+1)(y+2)}}$

Nhân theo vế các BĐT trên ta được

$\frac{x(y+1)(z+2)}{(x+1)(y+2)(z+3)}\geq \frac{8}{(x+1)(y+2)(z+3)}\Rightarrow x(y+1)(z+2)\geq 8$

Theo BĐT $AM-GM$ thì $8\leq x(y+1)(z+2)\leq \frac{(x+y+z+3)^3}{27}\Rightarrow x+y+z\geq 3$

Đặt $x+y+z=t$ $(t\geq 3)$

$\Rightarrow P=t+\frac{1}{t}=t+\frac{9}{t}-\frac{8}{t}\geq 2\sqrt{t.\frac{9}{t}}-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$

Vậy $P$ min $=\frac{10}{3}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=2;y=1;z=0$

Mình nghĩ làm thế này dễ hiểu hơn:

Ta có: $1\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{x+y+z+6}=\frac{9}{x+y+z+6}$

$\Rightarrow x+y+z+6\geq 9\Rightarrow x+y+x\geq 3$

Ta lại có: $x+y+z+\frac{1}{x+y+z}=\frac{8(x+y+z)}{9}+\frac{x+y+z}{9}+\frac{1}{x+y+z}\geq \frac{8.3}{9}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$

Vậy Pmin = $\frac{10}{3}$

Cho các số x, y, z không âm và không đông thời bằng 0 thỏa mãn: $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\leq 1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của P=$x+y+z+\frac{1}{x+y+z}$

Cho tam giác ABC. M là trung điểm BC. Trên phần kéo dài cạnh AC về phía A lấy điểm N sao cho AN = 1/3 AC. Nối MN cắt AC tại P. Diện tích APN = 6. Tính diện tích ABC

Hình như sai đề rồi bạn ơi, MN cắt AB tại P chứ !!!

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi F là trung điểm của AB. Lấy điểm M trên đường phân giác trong của góc C. Dựng MQ vuông góc với BC tại Q. Chứng minh rằng: Nếu MF vuông góc với DQ thì AM=BC.

Cho 3 số hữu tỉ x, y, z thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$

Chứng minh rằng: $\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ là số hữu tỉ

Cho $a+b+c=0$, $x+y+z=0$, $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$

Chứng minh rằng: $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$

Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn: $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Rút gọn biểu thức sau: $P=\frac{a^{2}}{a+2bc}+\frac{b^{2}}{b+2ca}+\frac{c^{2}}{c+2ab}$

Ở cấp hai bạn gọi là BĐT Schwarz đó

  $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}\geq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{a+b}$ với $a,b$ dương

Cảm ơn bạn 

Giải

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$M=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{(x+y)^2}+\frac{2}{(x+y)^2}\geq 6$

Vậy $M$ min $=6$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Bất đẳng thức AM-GM là bđt gì vậy bạn?

Cho x, y là các số dương thỏa mãn: $x+y\leq 1$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$M=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{xy}$

Từ giả thiết có:$a=\frac{7+4b}{3}$ thay vào có:

Bất đẳng thức phải chứng minh <=>$\frac{(7+4b)^2}{3}+4b^2\geq 7<=>(4b+7)^2+12b^2\geq 21<=>28b^2+56b+28\geq 0<=>(b+1)^2\geq 0$ đúng 

Dấu bằng xảy ra:$b=-1$=>$a=1$

     Đơn giản vậy mà cũng không nghĩ ra . Cảm ơn bạn nhiều nha

Từ giả thiết có:$x^2+xy-2xy-2y^2=0<=>x(x+y)-2y(x+y)=0<=>(x+y)(x-2y)=0$

Xét 2 trường hợp

_TH1:$x=2y$$P=\frac{2y-3y}{2y+3y}=\frac{-y}{5y}=\frac{-1}{5}$

_TH2:$x=-y$=>$P=\frac{-y-3y}{-y+3y}=\frac{-4y}{2y}=-2$
 

Cảm ơn bạn nha. 

Cho tam giác ABC. Trên AC, BC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: $\frac{AM}{CM}=\frac{CN}{BN}=k$, trên đoạn thẳng MN lấy điểm P sao cho $\frac{MP}{NP}=k$

Chứng minh: $\sqrt[3]{S_{\bigtriangleup AMP}}+\sqrt[3]{S_{\bigtriangleup BNP}}=\sqrt[3]{S_{\bigtriangleup AEC}}$

Cho a, b thỏa mãn 3a - 4b = 7. Chứng minh rằng $3a^{2}+4b^{2}\geq 7$

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Các số thực x, y với y # 0, x+3y # 0 thoả mãn: $x^{2}-xy-2y^{2}=0$

Tính giá trị của biểu thức: P=$\frac{x-3y}{x+3y}$

bài này là trường hợp đặc biệt của bài thứ 3 ở trang    http://diendantoanho...định-lí-ta-lét/

Mình vẫn chưa hiểu lắm, bạn giải thích rõ hơn được ko? Cảm ơn nhiều nha!!!

Cho tam giác ABC vuông tại A. Một đường thẳng d đi qua trọng tâm G của của tam giác cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{AM^{2}}+\frac{1}{AN^{2}}\geqslant \frac{9}{BC^{2}}$

Mọi người giúp mình bài này với! Cảm ơn nhiều ạ !!!     

Cho hình chữ nhật ABCD, H là hình chiếu của A trên BD. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AH, BH, CD.

Chứng minh a điểm A, N, D, I cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.

Điều kiện xác định bạn tự tìm hộ mình nhé:

Phương trình <=>$x+y+z-2\sqrt{x-1}-2\sqrt{y-5}-2\sqrt{z-3}=0<=>(x-1-2\sqrt{x-1}+1)+(y-5-2\sqrt{y-5}+1)+(z-3-2\sqrt{z-3}+1)+6=0<=>(\sqrt{x-1}-1)^2+(\sqrt{y-5}-1)^2+(\sqrt{z-3}-1)^2+6=0$

Ta thấy $(\sqrt{x-1}-1)^2+(\sqrt{y-5}-1)^2+(\sqrt{z-3}-1)^2\geq 0$ nên $VT\geq 6>0$ từ đó suy ra phương trình vô nghiệm

Tuyệt vời ông mặt trời !!!    

Cảm ơn bạn nhiều !!!

Tìm x, y, z biết:

$\sqrt{x-1}+\sqrt{y-5}+\sqrt{z-3}=\frac{x+y+z}{2}$

Giúp mình bài này với !!! 

Đặt $x^2=a^3,y^2=b^3,z^2=c^3$ mà $xyz=1$ suy ra $abc=1$ ta có:$A=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}$

Ta có:$a^3+b^3\geq ab(a+b)$

Tương tự ta có các bất đẳng thức:$b^3+c^3\geq bc(b+c)$,$c^3+a^3\geq ac(a+c)$

Từ đó có:$A\leq \frac{abc}{ab(a+b)+abc}+\frac{abc}{bc(b+c)+abc}+\frac{abc}{ac(a+c)+abc}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$

Dấu bằng xảy ra <=>$x=y=z=1$

 

Mình có 2 nhận xét sau:

_Thứ nhất:Bài toán phải là tìm giá trị lớn nhất nhé bạn

_Thứ hai:Bạn chú ý đến bài toán phụ sau rất quan trong thi USA MO 1998:

Cho $a,b,c>0$,$abc=1$.Chứng minh:$\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\leq 1$

Bạn thử sức bài toán sau ý tưởng đặt tương tự

Cho $a,b,c>0$ ,$abc=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

$B=\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}$

Xin lỗi mình ghi sai đề. Cảm ơn bạn nhiều nha     

Cho x, y, z thỏa mãn: xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A, biết:

$A= \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+1}$