Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Long Cold Ice nội dung

Có 39 mục bởi Long Cold Ice (Tìm giới hạn từ 21-10-2016)



Sắp theo                Sắp xếp  

#593254 Đăng ký tham gia dự thi VMEO IV

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 11-10-2015 - 15:41 trong Thông báo chung

Họ tên: Trương Hoàng Long
Nick trong diễn đàn: Long Cold Ice
Năm sinh: 2000

Hòm thư: [email protected]
Dự thi cấp: THCS & THPT 




#538470 $(x-a)(x-10)+1$

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 20-12-2014 - 17:27 trong Đại số

Bạn ơi dấu * ở đây nghĩa là dấu gì vậy?

:closedeyes: chắc dấu nhân !!!!

Đặt $(x-a)(x-10)+1=(x-b)(x-c)$

<=> $x^2-x(a+10)+10a+1=x^2-x(b+c)+bc$

Đồng nhất hệ số

=>$\left\{\begin{matrix} a+10=b+c\\ 10a+1=bc \end{matrix}\right.$

=> $10b+10c-bc=99$

=> $(b-10)(c-10)=1$

=>(b;c)=(9;9);(11;11)

=> a=8;12




#538466 Tính $a^{2011} + b^{2011}$

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 20-12-2014 - 17:12 trong Đại số

GT=> $a^{2000}(a-1)+b^{2000}(b-1)=0$ => $b^{2000}(b-1)=-a^{2000}(a-1)$

Lại có:  $a^{2000}(a-1)(a+1)+b^{2000}(b+1)(b-1)=0$

=> $a^{2000}(a-1)(a+1-1)=0$

=> a=0;1

a=0 (loại) (a,b >0 )

a=1 => b=1 ( loại b=0 )

=> S=2




#538464 Tìm các số nguyên x, y thoả mãn $x(x^2+x+1)=4y(y+1)$

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 20-12-2014 - 17:06 trong Đại số

$GT => x^3+x^2+x+1=4y^2+4y+1$

=> $(x+1)(x^2+1)=(2y+1)^2$

Ta có $x^2+x+1=x(x+1)+1$ là số lẻ mà $(x^2+x+1)x \vdots 2$

=> x là số chẵn => x+1, $x^2+1$ là số lẻ

Nếu x+1 và $x^2+1$ không nguyên tố cùng nhau

Gọi d là ƯCLN của s+1 và $x^2+1$

 => $\begin{Bmatrix} x+1\vdots d\\ x^2+1\vdots d \end{Bmatrix}$

$x(x+1)\vdots d$ => $x^2+x\vdots d$ => $2\vdots d$

=> d=1;2

mà x+1, $x^2+1$ là số lẻ => d=1

Giải nghiệm nguyên tích như bình thường =>(x;y)=(0;-1);(0;0)




#537084 Chứng minh rằng S chia hết cho 30 thì P chia hết cho 30 và ngược lại.

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 10-12-2014 - 21:10 trong Số học

thay lần lượt các giá trị a1,a2... vào x (chỉ là tượng trưng )




#536854 Tìm GTLN của biểu thức $\sqrt{x-2005}+\sqrt{200...

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 09-12-2014 - 16:07 trong Đại số

Hay dùng BCS cho nhanh bạn à . 

$A^2=(\sqrt{x-2005}+\sqrt{2006-x})^2\geq (1+1)(x-2005+2006-x)= 2.1=2$

=> $A\geq \sqrt{2}$

Dấu = xảy ra khi $\sqrt{x-2005}=\sqrt{2006-x}$ <=> $2x=4011<=>x=\frac{4011}{2}$




#536846 Tìm min : P= $\frac{1}{a^{2}+b^{2...

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 09-12-2014 - 15:45 trong Bất đẳng thức và cực trị

Ta có : $\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq \frac{9}{ab+ac+bc}$

$\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{(ab+ac+bc)}+\frac{1}{(ab+ac+bc)} \geq\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}= \frac{9}{(a+b+c)^2}=9$ (*)

$\frac{21}{3(ab+ac+bc)}\geq \frac{21}{(a+b+c)^2}=21$ (**)

Cộng (*)+(**) => $P\geq 21+9=30$

dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$




#536738 Tìm $x$ để $A=x^{1975}+x^{1973}+1$ là...

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 08-12-2014 - 20:45 trong Số học

Xét TH :

Với x=0 (loại)

X=1 (TM)

$x\geq 2$

=> $x^{1975}-x=x(x^{1974}-1)\vdots (x^3-1)\vdots (x^2+x+1)$

$x^{1973}-x^2=x^2(x^{1971}-1)\vdots (x^3-1)\vdots (x^2+x+1)$

$x^2+x+1\vdots (x^2+x+1)$

=> $x^{1975}+x^{1973}+1\vdots x^2+x+1$

mà $x^{1975}+x^{1973}+1\neq x^2+x+1$

=> Loại

Vậy chỉ có một nghiệm là x=1




#536725 Chứng minh rằng $\frac{1}{x^2+4yz}+\frac...

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 08-12-2014 - 20:12 trong Bất đẳng thức và cực trị

Ta có :

$\frac{1}{xyz}=\frac{4}{4xyz}=\frac{x+y+z}{4xyz}=\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xz}+\frac{1}{4yz}$

mà $\frac{1}{4xy}>\frac{1}{4xy+z^2}$ chứng minh tương tự với những phân thức còn lại

=> ĐPCM ( dấu = không xảy ra )




#536573 Chứng minh rằng S chia hết cho 30 thì P chia hết cho 30 và ngược lại.

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 07-12-2014 - 18:15 trong Số học

Bài này chỉ cần chứng minh

$x^{5}-x\vdots 30$

$x^{5}-x=x(x^4-1)=x(x^2-1)(x^2+1)=x(x-1)(x+1)(x^2-4+5)=x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)+5x(x-1)(x+1)$

tích 5 số nguyên liên thì chia hết cho 30 , tích 3 số liên tiếp chia hết cho 6

=> ĐPCM




#536572 Tìm chữ số có 4 chữ số

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 07-12-2014 - 18:00 trong Số học

gt=> $\overline{aabb}=\overline{xx}.\overline{yy}.\overline{zz}$

=> 1100a+11b $\vdots 1331$

=> 100a+b $\vdots 121 \vdots 11$

=>a+b $\vdots 11$

 mà $1\leq a+b\leq 18$

=> a+b = 11

đặt 100a+b=121k

=>99a+11=121k

=>9a+1=11k $\vdots 11$

=> 9a+1=55 =>a=6 =>b=5

số đó là 6655

(x,y,z)=(5;1;1) và hoán vị




#536569 $a^{3}b+ab^{3}+2a^{2}b^{2}+2a+2b...

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 07-12-2014 - 17:43 trong Đại số

Cho 2 số hữu tỉ a, b thỏa mãn $a^{3}b+ab^{3}+2a^{2}b^{2}+2a+2b+1=0$

Chứng minh rằng (1-ab) là bình phương của một số hữu tỉ

gt <=> $ab\left ( a+b \right )^{2}+2(a+b)+1=0$

đặt a+b=x

=> $ab.x^{2}+2x+1=0$

$\Delta' = 1-ab\geq 0$

vì a,b là hai só hữu tỉ => a+b , a.b là các số hữu tỉ

=> $\sqrt{\Delta }$ là số hữu tỉ => ĐPCM




#536562 Tìm 3 số nguyên tố mà tích của chúng bằng 5 lần tổng của chúng.

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 07-12-2014 - 17:20 trong Số học

Cách khác :

a.b.c  $\vdots 5$

mà a,b,c là số nguyên tố

$\begin{bmatrix} a=5\\ b=5 \\ c=5 \end{bmatrix}$

giả sử a=5 

5bc=5(b+c)+25

=> bc-b-c=5

=>(b-1)(c-1)=6

tìm nghiệm nguyên tố

(a;b;c) = (5;2;7) và các hoán vị




#536355 Chứng minh A không là số nguyên

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 05-12-2014 - 22:07 trong Số học

cách này đã được trình bày trong sách của Vũ Hữu Bình rồi ( hơi khó hiểu )

có  cách nào khác không ?




#534910 Cho $A=\sqrt{2013}-\sqrt{2012}$;...

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 26-11-2014 - 21:21 trong Số học

2. $y=\left | x-1 \right |+\left | x-3 \right |$

Vẽ đồ thị : chia thành 3 TH ( có giới hạn )

$y=\left | x-1 \right |+\left | 3-x \right |\geq \left | x-1+3-x \right |=2$

min y= 2

Dấu = xảy ra khi $(x-1)(3-x)\geq 0$

<=> $1\leq x\leq 3$




#534907 Cho $A=\sqrt{2013}-\sqrt{2012}$;...

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 26-11-2014 - 21:16 trong Số học

1. $A(\sqrt{2013}+\sqrt{2012})=1$

=> A$= \frac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2012}}$

$B(\sqrt{2014}+\sqrt{2013})=1$

=> B$= \frac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2013}}$

vì $\sqrt{2012}<\sqrt{2014}$

=> A>B




#534903 $x^4+bx^3+x^2+bx+1=0$

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 26-11-2014 - 20:55 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Cho phương trình $x^{4}+bx^{3}+x^{2}+bx+1=0$. Tìm b để phương trình có không ít  hơn 2 nghiệm âm phân biệt

Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình

Chia cả hai vế cho $x^{2}$

ta được $x^2+bx+1+\frac{b}{x}+\frac{1}{x^2}=0$

Đặt $x+\frac{1}{x}=a$

=> $a^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2$

=> Pt <=> $a^2+ab-1=0$

Tính a theo b bằng $\Delta$

Giới hạn a bằng pt $x^2+1=ax$

từ đó giới hạn b




#534899 Phương trình nguyên: 11x+18y =120

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 26-11-2014 - 20:44 trong Số học


        d)5x - 3y=2xy -11

 

=>  $x(2y-5)+3y-11=0$

=> $2x(2y-5)+3(2y-5)=7$

=> $(2x+3)(2y-5)=7$

Tìm nghiệm x,y nguyên




#534895 Chứng minh rằng $n^4+6n^3+11n^2+30n-24$ chia hết cho 24

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 26-11-2014 - 20:26 trong Số học

mình nghĩ chỉ cần dùng những thứ đơn giản thôi

Ta có tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 24

=> $n(n+1)(n+2)(n+3)=n^4+6n^3+11n^2+6n\vdots 24$

=> $n^4+6n^3+11n^2+6n+24(n-1)\vdots 24$

=> ĐPCM




#534892 Tìm GTNN của A = $\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+y...

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 26-11-2014 - 20:20 trong Bất đẳng thức và cực trị

chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì :

  $n^4+6n^3+11n^2+30n-24$ chi hết cho 24

Ta có tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 24 ( tự c/m)

=> $n(n+1)(n+2)(n+3)=n^4+6n^3+11n^2+6n \vdots 24$

=> $n^4+6n^3+11n^2+6n+24(n-1)\vdots 24$

=> ĐPCM




#534795 Chứng minh A không là số nguyên

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 25-11-2014 - 22:41 trong Số học

Với $n\epsilon N ,n\geq 2$

Chứng minh A không phải là số nguyên

A= $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+....+\frac{1}{n}$




#534781 Chứng minh rằng $a^3+b^3+c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}...

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 25-11-2014 - 21:52 trong Bất đẳng thức và cực trị

Sử dụng BĐT   côsi cho 3 số dương ta có

$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(a+c)(b+c)\leq \frac{24(x+y+z)^3}{27}=\frac{8(x+y+z)^3}{9}$

=> ĐPCM




#534648 Tìm max B= $x^2y^3$

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 24-11-2014 - 23:49 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $x,y>0$ sao cho $x+y=1$

Tìm max B= $x^2y^3$




#534647 Tìm Min S= $\frac{1}{a}+\frac{1}...

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 24-11-2014 - 23:47 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a,b,c>0 sao cho $6a+\sqrt{3b}+\sqrt[3]{2c}=3$

Tìm Min S= $\frac{1}{a}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^3}$




#534645 $\frac{x}{x^{2}-yz+2013}+\frac...

Đã gửi bởi Long Cold Ice on 24-11-2014 - 23:26 trong Đại số

Đặt VT=P

Áp dụng BĐT Cauchy-Swart (c/m dựa vào Bđt Bunhiacopki)

$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$

$P= \frac{x^{2}}{x^{3}-xyz+2013x}+\frac{y^2}{y^3-xyz+2013y}+\frac{z^2}{z^3-xyz+2013z}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2013(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)+(x+y+z)(3xy+3xz+3yz)}= \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^3}=\frac{1}{x+y+z}$ (đpcm)