Sử dụng bất đẳng thức Cauchy:

Bài 1. Cho $\left\{\begin{matrix} a,b>0\\a + b\leq 1 \end{matrix}\right.$ Tìm GTNN của biểu thức P = $\frac{1}{a^{2}+b^{2}} + \frac{1}{ab}+ 4ab$

Bài 2. Cho $\left\{\begin{matrix} a,b >0\\a+b\leq 1 \end{matrix}\right.$ Tìm GTNN của biểu thức S = $\frac{1}{a^{3}+b^{3}}+\frac{1}{a^{2}b}+\frac{1}{ab^{2}}$

Bài 3. Cho $\left\{\begin{matrix} x, y, z >0\\\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4 \end{matrix}\right.$ Tìm GTLN của P = $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$

Bài 3 (mở rộng). Cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4 \end{matrix}\right.$ Tìm GTLN của P = $\frac{1}{\alpha x+\beta y+\gamma z}+\frac{1}{\beta x+\gamma y+\alpha z}+\frac{1}{\gamma x+\alpha y+\beta z}$

Bài 4. Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0\\ a+b+c=3 \end{matrix}\right.$ CMR: $\sqrt[3]{a+2b}+\sqrt[3]{b+2c}+\sqrt[3]{c+2a}\leq 3\sqrt[3]{3}$

Bài 5. Cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0\\ xyz=1 \end{matrix}\right.$ CMR: $\frac{x^{2}}{1+y}+\frac{y^2}{1+z}+\frac{z^2}{1+x}\geq \frac{3}{2}$