Cho đường tròn (O) bán kính R = 1 và một điểm A sao cho $OA=\sqrt{2}R$. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Một góc xOy có số đo bằng 45⁰ có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E. Chứng minh rằng $2-\sqrt{2}<DE<1$

Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng:

$\sum xy(x+y)\sqrt{(x+z)(y+z)}\geq 4xyz(x+y+z)$

Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với HI, cắt AB, AC lần lượt tại X, Y
Chứng minh được HX=HY (http://diendantoanho...hm-cắt-ab-ac-t/)

Mà $XY\parallel NS$
=> Q là trung điểm NS

Cho $\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+b}=1$. Tìm max $a^{2}b^{3}$

Gợi ý đặt a+b+c=p

ab+bc+ac=q

abc=r

Bạn giải cụ thể ra được không

Cho x,y,z>0.Chứng minh rằng:

$\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(x+z)}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{xy+yz+xz}$

 

Cho góc nhọn xOy và một điểm A ở trong góc đó.  

  a) Tìm điểm B thuộc Ox, điểm C thuộc Oy sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. 

  b) Áp dụng: Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABC nếu A nằm trên 

đường phân giác của góc xOy và cách O một khoảng b=12,3456cm.

Làm kĩ ý b, nha

a)Lấy M, N lần lượt là điểm đối xứng với A qua Ox và Oy

Ta có: $P(ABC)= AB+AC+BC= BM+BC+CN \geq MN$
Dấu bằng xảy ra khi M,B,C,N thẳng hàng
Vậy chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi B,C thuộc MN

b) Theo phần a, chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi B,C,M,N thẳng hàng
OA cắt MN tại H, dễ dàng chứng minh được $\widehat{AHN }=90^{o}$

$\Rightarrow \widehat{HNA }=\widehat{ AOy}=\frac{\widehat{xOy}}{2}$

$\Rightarrow MinP(ABC)= 2HN=2. AN.cos\widehat{ANH}=4b.cos\frac{\widehat{xOy }}{2} (b=12,3456cm.)$
 

Cho tam giác ABC có góc A bằng 60 độ nội tiếp (O;R). Chứng minh rằng AB+AC $\leq 2R\sqrt {3} $

Kéo dài BO cắt (O) tại M

$\widehat{BMC}=\widehat{BAC}=60^{o}$
$\widehat{BCM}=90^{o}$ (do BM là đường kính)
Suy ra tam giác BMC là tam giác nửa đều
Lại có $BM=2R\Rightarrow BC=\sqrt{3}R (1) $
Vẽ phân giác AD của tam giác ABC
Kẻ BH, CK vuông góc với AD (H,K thuộc AD)
Chứng minh được $AB=2BH; AC=2CK \Rightarrow AB+AC=2(BH+CK)\leq 2(BD+CD)=2BC (2) $
Kết hợp (1) và (2) $\Rightarrow AB+AC=2(BH+CK)\leq 2\sqrt{3}R$
=> ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$

bài 4 : cho a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác
Cm: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)

BĐT còn đúng không khi điều kiện của a;b;c chỉ là a,b,c>0

BDT sai với $a=0,2; b=0,4$ nhé!

Đã sửa lại đề rồi bạn nhé

Cho $a;b\geq 0.$ Chứng minh rằng $(2a^{2}+b)^{2}\geq 3ab.( a+\sqrt{b} )$

Câu b) có cách giải kiểu lớp 8 không bạn

Ta có: MN= 2IB  = 2ID => IB=ID => I thuộc đường trung trực của BD => A,I,C thẳng hàng

       Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ $(AB>AC)$. Tia phân giác của $\widehat{B}$ cắt $AC$. Kẻ $DH\perp BC \left ( H\epsilon BC \right )$. Trên tia $AC$, lấy điểm $E$ sao cho $AE=AB$. Đường thẳng vuông góc với $AE$ tại $E$ cắt tia $DH$ tại $K$.

         a, Chứng minh rằng: $BA=BH$

         b, Chứng minh rằng: $\widehat{DBK}= 45^{\circ}$

 

(Giải bài bằng cách sử dụng các định lí trong tam giác)

b) Vẽ hình vuông AEMB
=> BH=BM (=BA)

=> tam giác BKH= tam giác BKM (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

=> $\widehat{HBK}=\widehat{MBK} \Rightarrow \widehat{DBK}=\frac{1}{2}\widehat{ABM}=45^{o} $

$CMR:x^2+y^2+z^2\geq \sqrt{2}.(xy+yz)$

$VT= (\frac{x}{\sqrt{2}})^{2}+y^{2}+(\frac{x}{\sqrt{2}})^{2}+z^{2}\geq 2.\frac{x}{\sqrt{2}}.y+2.\frac{x}{\sqrt{2}}.z=\sqrt{2}.(xy+xz)$ (ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi $x=\sqrt{2}.y=\sqrt{2}.z$

Trong dãy sau có tồn tại số nào là số chính phương không : $11,111,1111,11111,...$

Tất cả các số trong dãy đều có 2 chữ số tận cùng là 11. Mà 11 chia 4 dư 3 => Tất cả các số trong dãy cũng chia 4 dư 3.
Ta chứng minh được 1 số chính phương chia 4 chỉ dư 0 hoặc 1

=> Trong dãy không có số nào là số chính phương

Cho $a+b+c=0$. C/m $\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(b-a)^2}=0$ 

Bạn xem lại đề, khi $a=1,8; b=-1,1; c=-0,7$ thì đề sai

Bạn tự chứng minh CEBA là hình chữ nhật . => CE=AB =>$\triangle CEI = \triangle ABI (c.g.c) => \widehat{GIA}=\widehat{KIC}$(2)

BC và AE cắt nhau tại trung điểm của 2 đoạn là M => MAC là tam giác cân tại M => $\widehat{MCA}=\widehat{MAC}$(1)

Từ(1);(2) => $\widehat{IGA}=\widehat{IKC}=90^{\circ}$ => AE vuông góc với BI . 

G,K là điểm gì thế bạn

Bài 1 : Cho tam giác ABC có $\widehat{C} = 50^{\circ} , \widehat{B} = 30^{\circ}$. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = AC. So sánh CM và AB

 

Vẽ tam giác đều ABD, AD cắt BC tại E
$\Rightarrow \widehat{DAB}=\widehat{ABD}=\widehat{DBA}=60^{\circ}$
$\widehat{BED}=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$
Mà $\widehat{DBC}=30^{\circ}$
$\Rightarrow$ E là trung điểm AD và BC là trung trực AD
$\Rightarrow AC=AD$
$\Rightarrow \triangle AMC=\triangle CAD (c.g.c)$ 
$\Rightarrow MC=AD=AB$

Bài 2 : Cho tam giác ABC có $\widehat{B} = 45^{\circ}$. Trên cạnh BC lấy điểm P sao cho PC = 2PB và $\widehat{APC} = 60^{\circ}$. Tính $\widehat{ACB}$ = ?

Gọi H là chân đường vuông góc từ C xuống AP

Ta có: PC=2PH => $ PH=PB \Rightarrow \widehat{PBH}=30^{\circ}=\widehat{HCB}, \widehat{ABH}=15^{\circ}=\widehat{BAH}$

$HB=HC, HB=HA \Rightarrow HA=HC\Rightarrow \widehat{HCA}=45^{\circ}\Rightarrow \widehat{ACB}=75^{\circ}$

Chỗ này bạn giải thích rõ ra được không ? Mình không hiểu lắm 

Phần mẫu là BĐT Bunhia đó

k rõ đề có nhầm k mà thầy gi là tứ giác bạn

Vậy thì nhiều kết quả lắm

Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại O. Biết diện tích $\Delta OAB=9$ và $\Delta OCD=16$. Tính diện tích tứ giác ABCD.

Đề có bị nhầm không bạn. phải là hình thang ABCD chứ. Khi đó thì
S_ABCD= 49 cm²