Cho a,b>0.CMR: $\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+ab^2\geq \sqrt{3(a^2+b^2+1)}$

Cho a,b,c là các số nguyên dương sao cho $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ là số nguyên.CMR: a,b,c là các số chính phương

Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $\frac{x^3y}{x+y}=p$

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. CMR: $\sum \frac{a}{1+bc}\leq \sqrt{2}$

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp $\left ( O \right )$.M là điểm trên cung BC không chứa A.H là trực tâm tam giác ABC.Kẻ $ME,MF\perp AB,AC$.Nối MH.CMR: EF đi qua trung điểm MH.

Tích $ab$ có lớn hơn 0 không bạn? 

không bạn ạ

Cho a,b khác 0.Tìm GTNN của: $\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4}-(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Cho tứ giác ABCD có giao điểm 2 đường chéo cắt nhau tại O thỏa mãn: P(OAB)=P(BOC)=P(COD)=P(DOA), trong đó P là chu vi các tam giác OAB,BOC,COD,DOA.CMR: tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Cho $x^{2}+y^{2}=1$.Tìm max, min của $(x-2)(y-2)$

Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR: $a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a+b)^2> a^3+b^3+c^3$

Cho tam giác ABC cân tại A. M là trung điểm BC. O bất kỳ nằm trong tam giác AMC(không trùng A,M,C). CMR:$\widehat{AOB}+\widehat{MOC}=180^{o}$ 

Đây này bạn: http://diendantoanho...2-cmr-mambmcmd/

 Giả sử phản chứng:$\widehat{A}\neq 90^{^{o}}$.

TH1: $\widehat{B},\widehat{C},\widehat{A}<90^{o}$.

Vẽ góc vuông DAC trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B và D,B,C thẳng hàng. Đặt $p(DAC)=p';p(DAH)=p'_{1}$.

Ta có:$$\left\{\begin{matrix} p^2=p_{1}^{2}+p_{2}^{2} & & \\ p'^{2}=p'_{1}^{2}+p_{2}^2 & & \end{matrix}\right \Rightarrow (p'-p)(p'+p)=(p'_{1}-p_{1})(p'_{1}+p_{1}) \Rightarrow p'+p=p'_{1}+p_{1}$$

TH2:$\widehat{B},\widehat{C}<90^{o};\widehat{A}>90^{o}$. Tương tự trường hợp trên ta thấy mâu thuẫn.

TH3:$\widehat{B},\widehat{C}>90^{o}: p_{2}^2>p^2\Rightarrow p_{1}^2<0$(mâu thuẫn).

Vậy giả thiết phản chứng sai.

$\Rightarrow Q.E.D$

Cho hình vuông ABCD. M trên BC. AM cắt CD tại N; DM cắt BN tại P. CMR: AN vuông góc với CP.

Dùng phản chứng bạn à

Kẻ $AK\perp BC.$ Ta có:

$\frac{AH}{HC}=\frac{2AB^2-BC^2}{BC^2}\Leftrightarrow AH.BC^2=(2AC^2-BC^2).HC\Leftrightarrow BC^2(AH+HC)=2AC^2.HC\Leftrightarrow BC^2=2AC.HC$ (1).

Mặt khác, $\triangle BHC\sim \triangle AKC\Leftrightarrow \frac{BC}{AC} =\frac{2HC}{BC}\Leftrightarrow BC^2=2AC.HC$(2). Từ (1) và (2), suy ra điều phải chứng minh

Cho tam giác ABC. Đường cao AH. $p,p_{1},p_{2}$ là chu vi các tam giác ABC, ABH, ACH. CMR: $\widehat{A}=90^{o}\Leftrightarrow p^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}$

Cho a, b, c>0. CMR: $\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}\geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}$

Cho tam giác ABC có M là trung điểm AB. Nối CM. N bất kỳ trên đoạn CM. Vẽ phân giác $\widehat{BMC}, \widehat{AMC}$ cắt AN, BN, AC, BC lần lượt tại P,Q,E,F. CMR:  AE=AP$\leftrightarrow BF=BQ$ 

Cho tam giác ABC. M, N, P bất kỳ lần lượt trên AB, AC, BC. CM, BN cắt AP tại E, F. BN cắt CM tại I. Biết $S(AEM)=S(INC)=S(IEF)=S(BFP)$. CMR: $S(AEIN)=S(PFIC)=S(MEFB)$

1.Kẻ BH vuông góc với AC. Cần chứng minh: BH=HO. Đặt CH=x(cm). $\Delta CHB\sim CBA$. Từ đó tính được HO=HB=2x(cm)

$\rightarrow \widehat{BOC}=45^{o}$

2. Ta có: $\frac{AM}{AC}=\frac{AM}{AB}=\frac{DM}{DN}=\frac{CB}{CN}=\frac{AC}{NC}$

$\rightarrow \Delta ANC\sim \Delta MCA(c.g.c)\rightarrow 60^{o}=\widehat{ACK}+\widehat{NCK}=\widehat{ANC}+\widehat{NCK}=\widehat{AKC} \rightarrow \widehat{AKC}=60^{o}$

Ta có:

8=$\sqrt{1-x^2}+\sqrt{16-y^2}+\sqrt{25-z^2}\leq \sqrt{(1+4+5)^2-(x+y+z)^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \frac{x}{1}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=\frac{3}{5} \Leftrightarrow x=\frac{3}{5};y=\frac{12}{5};z=3$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x+y+z=6 & & \\ \sqrt{1-x^2}+\sqrt{16-y^2}+\sqrt{25-z^2}=8 & & \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x+y+z=6 & & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=18 & & \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=4& & \end{matrix}\right.$

Đặt $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}.$

$\rightarrow VT=\sum \frac{\frac{x}{y}}{\frac{x+y}{y}.\frac{y+z}{z}}=\sum \frac{xz}{(x+y)(y+z)}=\sum \frac{x^2z^2}{xz(x+y)(y+z)}\geq \frac{(\sum xz)^2}{3xyz(\sum x)+\sum x^2z^2}=\frac{(\sum xz)^2}{(\sum xz)^2+xyz(\sum x)}\geq \frac{\left ( \sum xz \right )^2}{(\sum xz)^2+\frac{\left ( \sum xz \right )^2}{3}}=\frac{3}{4}$

Dấu $"= "$ xảy ra khi $a=b=c=1$