Trước tiên ta nhận thấy $C_n^k = \dfrac{n}{k}C_{n-1}^{k-1}$. Điều này dễ thấy bằng cách biến đổi tương đương. Khi đó:

\[\frac{1}{{C_{2017}^1}} + \frac{1}{{C_{2017}^2}} + ... + \frac{1}{{C_{2017}^{2017}}} = \sum\limits_{i = 1}^{2017} {\frac{1}{{C_{2017}^i}}} = \sum\limits_{i = 1}^{2017} {\frac{i}{{2017}} \cdot \frac{1}{{C_{2016}^{i - 1}}}} = \frac{1}{{2017}} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{2017} {\frac{i}{{C_{2016}^{i - 1}}}} , (*)\]

Xét \[A= \sum\limits_{i = 1}^{2017} {\frac{i}{{C_{2016}^{i - 1}}}} = \frac{1}{{C_{2016}^0}} + \frac{2}{{C_{2016}^1}} + ... + \frac{{2016}}{{C_{2016}^{2015}}} + \frac{{2017}}{{C_{2016}^{2016}}}\]

Áp dụng tính của tổ hợp ta có: $C_{2016}^i = C_{2016}^{2016-i}, i = \overline{1,2016}$. Áp dụng vào $A$, ta được:

$$A =  \sum\limits_{i = 1}^{2017} {\frac{i}{{C_{2016}^{i - 1}}}} = 1009 \cdot \left[ {\left( {\frac{1}{{C_{2016}^0}} + \frac{1}{{C_{2016}^{2016}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{C_{2016}^1}} + \frac{1}{{C_{2016}^{2015}}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{C_{2016}^{1007}}} + \frac{1}{{C_{2016}^{1009}}}} \right) + \frac{1}{{C_{2016}^{1008}}}} \right] $$

$$=  1009 \cdot \sum\limits_{i = 1}^{2017} {\frac{1}{{C_{2016}^{i - 1}}}} (**)$$

Thay $(**)$ vào $(*)$ ta được đpcm.

 

 

 

a) ${}\quad \underbrace{\ldots}_{x_1}N_1\underbrace{\ldots}_{x_2}N_2\underbrace{\ldots}_{x_3}N_3\underbrace{\ldots}_{x_4}N_4\underbrace{\ldots}_{x_5}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_1;\;x_5 \ge 0 \\  x_2;\;x_3;\;x_4 \ge 1\\  x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=6 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}  y_1=x_1+1 \\  y_5=x_5+1 \\  y_1;\;x_2;\;x_3;\;x_4;\;y_5 \ge 1\\  y_1+x_2+x_3+x_4+y_5=8 \end{array} \right. \Rightarrow\; {}$ Có $C_7^4$ nghiệm.

 

Do đó số cách xếp thỏa mãn là $C_7^4\times 4!\times 6!=604800$

 

b) ${}\quad N_1\underbrace{\ldots}_{x_1}N_2\underbrace{\ldots}_{x_2}N_3\underbrace{\ldots}_{x_3}N_4\underbrace{\ldots}_{x_4}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_1;\; x_2;\;x_3;\;x_4 \ge 1\\  x_1+x_2+x_3+x_4=6 \end{array} \right. \Rightarrow\; {}$ Có $C_5^3$ nghiệm.

 

Do đó số cách xếp thỏa mãn là $C_5^3\times 4!\times 6!=172800$

 

bạn ơi, mình thấy câu b) do bàn tròn nên phải là nhân cho $3!$ phải không bạn? 

Trích trong đề thi Đại số sơ cấp của Đại học Khoa học tự nhiên:

Cho $n$ ($n \geq 3$) điểm trên mặt phẳng sao cho không có $3$ điểm nào thẳng hàng. Gọi $T$ là một họ các tam giác có các đỉnh từ $n$ điểm trên sao cho hai tam giác bất kỳ trong họ $T$ có ít nhất một đỉnh chung. Hãy chứng minh rằng:

$ |T| \leq C_{n-1}^2 $