Tìm m để PT $\sqrt{x^{2}-4x+5}=m+4x-x^{2}$ có nghiệm x dương

Kẻ đường kính $CA_{1}$ và $BA_{2}$

Dễ thấy

Với $M$ là trung điểm $BA_{1}$ thi` $OA_{1} // BC$, tương tự với N là trung điểm $A_{2}C$ và NH vuông góc $BA_{1}$ thì $ON//BC=>M,O,N$ thẳng hàng

Nhận thấy OM và NH cùng đi qua điểm N nằm trên cạnh MN của hình chữ nhật BCNM cố định

Trong quá trình làm 1 câu PTH, mình có thắc mắc như sau : D
nếu $f(f(x))=0$ thì thay $x$ bởi $y$, ta có $f(f(y))=0$, điều này có đúng k? : D
Câu hỏi nếu khá ngớ ngẩn mong mn lượng thứ = ))

Với $-3 \leq x \leq 1$, tìm $m$ để $(m-1)[(m-2)x-1] \leq 0$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ với các số thực a,b nằm trong $[1;3]$, $max${$a,b,c$}$ \geq 2$ và $a+b+c=5$

cái đề có thể là 12a+6b+8(1+ab). đề như vậy thì dễ.

11 á bạn = ))

Chứng minh rằng $\sqrt{11a+6b+8(1+ab)}$ không phải là 1 số nguyên với các số nguyên $a,b \geq 0$

P/s: Đề mình chế, có gì sơ suất mong các bạn thông cảm

$\sqrt{x^{2}+4}+2\sqrt{x^{2}-4x+5}\leq 5$

Nhận thấy $\sqrt{x^{2}+4} \geq 2=>2\sqrt{x^{2}-4x+5} \leq 3$ và $2\sqrt{x^{2}-4x+5} \geq 2 =>\sqrt{x^{2}+4} \leq 3$

Từ đây ta có hệ BPT

$$2 \leq 2\sqrt{x^{2}-4x+5} \leq 3$$

$$2 \leq \sqrt{x^{2}+4} \leq 3$$

Đến đây bài toán rõ ràng rồi

BĐT cần CM $$<=>a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)+9abc \geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$$
 

BĐT trên đúng khi ta chứng minh được $12abc+3(a+b)(b+c)(c+a) \geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$

Đến đây phân tách ra dễ thấy $đpcm$

BĐT cần CM <=> $\sum \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{6(\sum a^{2})}{(\sum a)^{2}} \geq 6$

$<=>\frac{2(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca0}+\frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)^{2}} \geq 3$

Ta có $$\frac{3 \sum a^{2}}{(\sum a)^{2}}= \frac{2[2(\sum a^{2})+ab+bc+ca]}{(a+b+c)^{2}}-1$$

$$<=>\frac{(\sum a)^{2}}{2\sum a^{2}+\sum ab}+\frac{2\sum a^{2}+\sum ab}{(\sum a)^{2}} \geq 2$$ (đúng theo AM-GM)

dấu bằng tại $a=b=c$

1,tìm số n có 3 chữ số sao cho tổng bình phương các chữ số của nó cộng với 4 lần tổng các chữ số của nó thì bằng n

​2,tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho p²+q=37q²+p

1/Bài toán đi tìm nghiệm nguyên của PT $\sum a^{2}+4(\sum a) =100a+10b+c$

Biến đổi thành các tổng bình phương, giải ra các nghiệm $(a;b;c)$ lần lượt $(0;0;-3);(0;0;0);(0;6;0);(1;-7;-4)$ và $(0;6;-3)$ đều là các bộ số không thỏa mãn

Chuyển vế rồi trừ, trên tử ta có $(x-y)^{2}(xy-1)$, xét điều kiện xy ở 2 câu là ok r

Sử dụng kĩ thuật ghép đối xứng, chú ý rằng
$(a+b)^{2}(c^{2}+ab)^{2}=[b(a^{2}+c^{2})+a(b^{2}+c^{2})]^{2} \geq 4ab( a^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2}) \geq ab(a+c)^{2}(b+c)^{2}$

nghiệm lượng giác là sao anh Huy

Đặt x bằng các giá trị lượng giác ấy e = ))

Dễ thấy $f(x)=x^{2}+5x+\sqrt{x}-2013$ là hàm đồng biến trên $[0;+\infty)$, GTNN đạt tại $x=0=>min f(x)=-2013$

Dễ chứng minh $\sum \frac{x^{2}}{x+yz}=\sum \frac{x^{2}}{(x+y)(x+z)} \leq \frac{3}{4}$ (theo AM-GM)

Giả sử $x \geq y \geq z$, áp dụng Chebyshev ta có $(x+y+z)P \leq 3.\sum \frac{x^{2}}{x+yz} =>P \leq \frac{9}{4}$

Dấu bằng tại $ x=y=z=\frac{1}{3}$

Cho $x,y,a,b>0, x^{2}+y^{2}=2$

CMR:$\frac{a}{b}(x^{2}+y)+\frac{b}{a}(y^{2}+x) \geq 4x^{2}y^{2}$
P/s: chế tập 2 :v

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn $x.y=1$

CMR:$\frac{1}{x} \leq \frac{y\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2\sqrt{2}x-x^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$

P/s: đề mới chế

Chứng minh $y=x^{4}-3(m-2)x^{2}+3x+12m-1$ luôn cắt 1 đường thẳng cố định tại 2 điểm cố định, Tìm phương trình đường thẳng cố định đó

Giải phương trình (ảnh đính kèm)

Bài 1 bình phương 2 vế, đặt $\sqrt{-x^{2}+9x}=a => a^{2}-2a=0=>a=...=>x=...$
Bài 2 bình phương 2 vế giải PT bậc $2$

Bài 3 đặt $\sqrt{x+1}=a, \sqrt{x^{2}-x+1}=b,\sqrt{x+3}=c$, dễ thấy $(a-c)(b+c)=0$, đến đây dễ rồi

Nhiệm là $3+\sqrt{7},3-\sqrt{7}$

mình cần hướng giải, cần đáp số không thì dùng wolframalpha cho r

Giải Phương trình: $\sqrt{2(x^{4}+4)}=3x^{2}-10x+6$

Áp dụng BĐT Mincowski ta có 

$P \geq \sqrt{(2a-1)^{2}+(2b-1)^{2}}=\sqrt{2(a^{2}+b^{2}+1)} \geq \sqrt{2}$

Dấu bằng tại $a=b=0$
đợi mình xem lại xí

Viết lại BĐT $\sum \frac{a^{2}}{b+c}+\sum \frac{b}{b+c} \geq 2$

Ta có $\sum \frac{a^{2}}{b+c} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)} =\frac{1}{2} (1)$

Mặt khác theo BĐT Chebyshev, ta có $\sum \frac{b}{b+c}=\sum \frac{a}{1-a} \geq \frac{1}{3}(\sum a)(\sum \frac{1}{1-a}) \geq \frac{3}{2} (2)$

Từ $(1)(2) =>đpcm$

Giải các hệ phương trình sau 
1/$xy+y^{2}+x=7y$

   $\frac{x^{2}}{y}+x=12$

2/$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{y}{x}=\frac{2\sqrt{x}}{y}+2$

   $y(\sqrt{x^{2}+1}-1)=\sqrt{3x^{2}+3}$